艺术生高考数学专题讲义-考点15任意角的三角函数与弧度制.docx

考点十五 任意角的三角函数与弧度制知识梳理1角的概念(1)任意角：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k·360°，kZ注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad常常省略不写）如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad，1 rad°.(3)扇形的弧长公式：l|·r，扇形的面积公式：Slr|·r2.3任意角的三角函数（1）单位圆定义：任意角的终边与单位圆交于点P(u，v)时，sin v，cos ，tan (x0)（2）比值式定义：设P(x，y)是角终边上任意一点，且|OP|r(r0)，则sin ，cos ，tan .它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，设|OP|r，则sin ，cos ，tan .（3）三角函数值在各象限的符号：记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.4三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T则有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线注意：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)；三角函数线是有向线段典例剖析题型一 终边相同角的表示例1在720°0°范围内所有与45°终边相同的角为_答案675°或315°解析 所有与45°有相同终边的角可表示为：45°k×360°(kZ)，则令720°45°k×360°<0°，得765°k×360°<45°，解得k<，从而k2或k1，代入得675°或315°.变式训练1 终边在直线yx上的角的集合为_答案在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ变式训练2已知角为第三象限角，判断为第几象限角？解析 2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)当k2n(nZ)时，2n<<2n，当k2n1(nZ)时，2n<<2n，为第二或第四象限角解题要点 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限题型二 三角函数的定义例2已知角的终边经过点P(x，6)，且cos，则sin_，tan_答案 解析 cos，解得x，故sin，tan.变式训练 已知角的终边过点P(8m，6sin 30°)，且cos ，则m的值为_.答案解析r，cos ，m>0，即m.解题要点 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，应先需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.然后根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号 题型三 三角函数值的符号判定例3若tan >0，则_. (填序号) sin >0 cos >0 sin 2>0 cos 2>0答案 解析排除法，取= ，满足tan >0，但cos 2<0，否定；tan 0，(kZ)是第一、三象限角sin ，cos 都可正、可负.故选变式训练 若sin tan <0，且<0，则角是第_象限角答案三解析由sin tan <0可知sin ，tan 异号，从而角为第二或第三象限角由<0可知cos ，tan 异号，从而角为第三或第四象限角，故角为第三象限角解题要点 熟记三角函数在各象限内符号是解题的关键，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦” 题型四 扇形面积公式与弧度制例4已知一扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.解析设弧长为l，弓形面积为S弓，则60°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)变式训练 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角解析设圆心角是，半径是r，则解得或(舍去) 扇形的圆心角为.解题要点 使用扇形的弧长公式：l|·r，扇形的面积公式：Slr|·r2时，应把角度化为弧度制，然后再利用公式求解当堂练习1与525°的终边相同的角可表示为_.(填序号)答案 195°k·360°(kZ)解析 525°195°2·360°，195°k·360° (kZ).2已知角(，0)，cos，则tan_.答案 解析 (，0)，cos，sin，tan.3. 已知cos ·tan <0，那么角所在的象限是_.答案 第三或第四象限角解析 易知sin <0，且cos 0，是第三或第四象限角.4下列三角函数值的符号判断错误的是_. (填序号) sin160°>0 cos290°>0 tan170°>0 tan300°<0答案 解析 170°为第二象限角，tan 170°<0.5角870°的终边所在的象限是_.答案第三象限解析由870°1 080°210°，知870°角和210°角终边相同，在第三象限课后作业一、 填空题1若cos ，且角的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是_.答案 2解析 r，由题意得，x2.2若是第三象限角，则下列各式中不成立的是_. (填序号)sincos<0 tansin<0 costan<0 tansin<0答案 解析 在第三象限，sin<0，cos<0，tan>0，则可排除、，故选.3已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.答案 解析 取终边上一点(a，2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，由tan 2，可得cos ±，故cos 22cos21.4将300°化为弧度为_.答案 解析 300×.5一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为_.答案 解析 由题意可知圆内接正三角形的边长为R，则圆心角的弧度数为.6已知是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cosx，则sin 等于_.答案 解析 由三角函数的定义可知cosx，因为是第二象限角，所以x0，解得x.所以cos，所以sin.7已知角的终边经过点(4，3)，则cos_.答案 解析 根据题意，cos .8若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为_.答案 80 cm2解析 72°，S扇形r2××20280(cm2)9已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(4m，3m)(m>0)是终边上一点，则2sin cos _.答案 解析 |OP|5|m|5m(m>0)，sin ，cos .2sin cos 2×.10若角的终边经过点P(1,2)，则sin2的值是_答案 解析 sin，cos，sin22××.11已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin，则y_.答案 8解析 因为r，且sin，所以sin，所以为第四象限角，解得y8.二、解答题12设为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，)，且cosx，求sin和tan.解析 为第四象限角，x0.r .cosx.x.r 2.sin，tan.13一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形的圆心角的弧度数和弦长AB.解析 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为，则解得圆心角2.弦长AB2sin ·12sin 1(cm)