全国统考版高考数学二轮复习专题四函数与导数易错题学案文.docx

一、解答题1已知函数（1）若a=3，求fx的单调区间；（2）证明：fx只有一个零点【答案】（1）fx在，323，3+23，+单调递增，在323，3+23单调递减；（2）证明见解析【解析】（1）当a=3时，f'x=x26x3令f'x=0，解得x=323或x=3+23当x，3233+23，+时，f'x>0；当x323，3+23时，f'x<0，故fx在，323，3+23，+单调递增，在323，3+23单调递减（2）由于x2+x+1>0，所以fx=0，等价于设，则，仅当x=0时，所以gx在，+单调递增故gx至多有一个零点，从而fx至多有一个零点又，故fx有一个零点，综上，fx只有一个零点【点评】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数f(x)的定义域；求导数；由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数g(x)有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证2函数fx=ax3+3x2+3xa0（1）讨论函数fx的单调性；（2）若函数fx在区间1，2是增函数，求a的取值范围【答案】（1）a1时，在，+是增函数；0<a<1时，fx在，上是增函数，fx在上是减函数；（2）【解析】（1）f'(x)=3ax2+6x+3，f'(x)=3ax2+6x+3=0的判别式=361a若a1，则f'(x)0，且f'(x)=0，当且仅当a=1，x=1，故此时fx在R上是增函数；由于a0，故当a<1时，f'(x)=0有两个根：，若0<a<1，则当或时，f'(x)>0，故fx在，上是增函数；当时，f'(x)<0，故fx在上是减函数（2）当a>0，x>0时，f'(x)>0，所以当a>0时，fx在区间1，2是增函数；若a<0时，fx在区间1，2是增函数，当且仅当且，解得，综上，a的取值范围是【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用