四川省成都市第七中学2023-2024学年高三上学期入学考试理科数学试题.docx

成都七中高2024届高三上入学考试数学试题理科一、单选题（60分）1设集合，则集合中元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D42欧拉公式（其中是虚数单位，是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3椭圆的焦距是2，则的值为（ ）A8 B5 C5或3 D8或54某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形中，可能是其俯视图的是（ ）A都可能 B可能，不可能 C不可能，可能 D都不可能5已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（ ）A B C D6如图所示，图中曲线方程为，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（ ）A B C D7已知是两个非零向量，设给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量已知，则在上的投影向量为（ ）A B C D8已知，若，则的最大值为（ ）A B C D9如图，圆柱的轴截面为矩形，点分别在上、下底面圆上，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D10若，则（ ）A B C D11筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图3所示，盛水桶（视为质点）的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（ ）A B C D12如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（ ） 四边形的面积为100 的取值范围为A B C D二、填空题（20分）13命题“”则为_14甲、乙两位同学计划从“韩阳十景”中挑4个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率_15在中，内角的对边长分别为，且，则的值为_16函数的图像如图所示，已知，则方程在上有_个非负实根三、解答题（70分）17（12分）在四棱柱中，（1）当时，试用表示；（2）证明：四点共面；18（12分）共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果目前来看，共享电动车的收费方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所用的时间称为一次租用时间，具体计费标准如下：租用时间30分钟2元，不足30分钟按2元计算；租用时间为30分钟以上且不超过40分钟，按4元计算；租用时间为40分钟以上且不超过50分钟，按6元计算甲、乙两人独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过50分钟，两人租用时间的概率如下表：租用时间不超过30分钟分钟分钟甲0.4乙0.50.20.3若甲、乙租用时间相同的概率为0.35（1）求的值；（2）设甲、乙两人所付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望19（12分）记为数列的前项和，且，已知（1）若，求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求的取值范围20（12分）已知函数（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值；（2）设，若有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围21（12分）已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，且点关于原点对称（1）求双曲线的方程；（2）求证：直线过定点注：22与23题为选做题，2选1，均为10分22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求23已知（1）求的最小值；（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围成都七中高2024届高三上入学考试数学试题理科一、单选题CACAD CDBBA AB二、填空题13 14 154 161三、解答题17【答案】（1）【详解】（1）；（2）设（不为0），则共面且有公共点，则四点共面；18【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为7.4【详解】（1）解：分别记“甲租用时间不超过30钟、3040分钟、4050分钟”为事件，它们彼此互斥，则，且；分别记“乙租用时间不超过30钟、3040分钟、4050分钟”为事件，则，且与相互独立记“甲、乙租用时间相同”为事件，则由解得：（2）解：可能取值为4，6，8，10，12，所以的分布表如下：46810120.20.230.330.150.09所以19【答案】（1）【详解】（1）由题意得为公差为的等差数列，则，即，两式作差得即，所以，即，因为，所以（2）由题知，所以，则，当时，有，因为，所以恒成立等价于，从而20【答案】（1） （2）【详解】（1）的定义域为，由，得，则，因为经过点的直线与函数的图像相切于点，所以，所以，解得，（2），则，因为有两个极值点为，所以在上有两个不同的根，此时方程在上有两个不同的根，则，且，解得，若不等式恒成立，则恒成立，因为不妨设，则，因为，所以，所以在上递减，所以，所以，即实数的取值范围为21【答案】（1）（2）直线过定点【详解】（1）设，由，则，即，所以渐近线方程为又到双曲线的渐近线的距离为，则，即所以双曲线方程为（2）设，直线的方程为，直线的方程与双曲线联立，又，则所以，即同理，则，则直线方程为，令，则，即所以直线过定点22【答案】（1）；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为（2）【详解】（1）由得，而，即曲线的直角坐标方程为，由（为参数），当时，消去参数，可得直线的直角坐标方程为，当时，可得直线的参数方程为（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程有两解，设为，则，故，解得的倾斜角为23【答案】（1）3 （2）【详解】（1），则，则，所以，当且仅当时等号成立，的最小值为（2），当且仅当且时取最大值的最大值为，解得