山西省2021届高三高考考前适应性测试(二模)文科数学试题.docx

2021年山西省高考数学考前适应性试卷（文科）（二模）1. 已知集合A=1，2，3，4，B=xZ|12<2x<4，则(RA)B=()A. 1，2，3，4B. 0，1C. 1D. 02. 已知复数z满足zi=2+2i(i为虚数单位)，z为复数z的共轭复数，则zz=()A. 2B. 6C. 2D. 63. 已知p：a(1,3)，q：f(x)=logax在(0,+)单调递增，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设一组样本数据x1，x2，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，0.1xn的方差为()A. 0.1B. 1C. 10D. 1005. 若椭圆x29+y2m=1与双曲线y22x2=1有相同的焦点，则实数m的值为()A. 3B. 6C. 12D. 156. 已知a=40.3，b=log0.34，c=0.34，则a，b，c三者之间的关系为()A. b<a<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 平行四边形ABCD中，E为AD边上的中点，连接BE交AC于点G，若AG=AB+AD，则+=()A. 1B. 56C. 23D. 138. 如图所示，在三棱锥PABC中，PABC且PA=BC=1，PB=AC=2，PC=3，则下列命题不正确的是()A. 平面PAB平面PBCB. 平面PAB平面ABCC. 平面PAC平面PBCD. 平面PAC平面ABC9. 三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则cos(+34)=()A. 210B. 210C. 7210D. 721010. 将函数y=sin(2x+3)的图象沿x轴向右平移(>0)个单位长度得到y=cos2x的图象，则的值可能为()A. 1112B. 512C. 56D. 11611. 已知F为双曲线C：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点P(455,t)，则C的离心率为()A. 52B. 32C. 2D. 312. 已知函数f(x)=alnx+1x1(aR)，若f(x)的最小值为0，则a的值为()A. 1B. 1C. 0D. 213. 若x，y满足约束条件x+y+102xy0x1，则z=x3y的最大值为_ .14. 某校团委为高三学生筹备十八岁成人礼策划了三种活动方案，分别记作A，B，C，为使活动开展得更加生动有意义，现随机调查甲、乙、丙三位同学对三种活动方案的喜欢程度.甲说：“我不喜欢方案A，但喜欢的活动方案比乙多.”乙说：“我不喜欢方案B.”丙说：“我们三人都喜欢同一种方案”.由此可以判断乙喜欢的活动方案是_ .15. 若曲线y=ln(3x8)与曲线y=x23x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为_ .16. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinC=a2+b2+1+2aba+b，则ABC面积的最大值为_ .17. 已知等比数列an，an<an+1(nN)，a2=4，a2+1是a1与a3的等差中项.(1)求an的通项公式；(2)若bn=anlog2an，求数列bn的前n项和Sn.18. 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA=PB=PD=AB=2，四边形ABCD为菱形，且BAD=60.(1)求证：BD平面PAC；(2)求三棱锥PBCD的体积.19. 某医药科技公司研发出一种新型疫苗，为了合理定价，公司将在A地区进行为期一个月(30天)的试预约疫苗，收录数据如下：(由于正式开始预约疫苗后，人员会大量增加，估计全市预约人数为A地区试预约人数的300倍.)表1：A地区一个月预约疫苗人数统计表预约人数(10，15(15，20(20，25(25，30(30，35(35，40天数a58653(1)若将人数少于20人称为“清闲”，则A地区半年(按6×30天计算)中“清闲”的天数为多少？(将频率视为概率)(2)每支疫苗的成本约80元，疫苗前期研发、人员支出等成本约1500万元，若要在一年内(12×30天)恰好收回成本，则每支疫苗的合理定价应为多少元？(同组数据用中值代替)(保留一位小数)(3)疫苗开始预约后，医院人流量也受到影响.从某医院收集到疫苗预约前后各30天来医院看病的人数，数据如表2.若规定人数大于30为“看病高峰”，则通过计算判断“看病高峰”是否与疫苗开始预约有99%的相关性？表2：预约疫苗与看病人数2×2列联表看病高峰天数非看病高峰天数总计疫苗预约前8疫苗预约后3总计附：P(K2k)0.150.100.050.0100.001k2.0722.7063.8416.63510.82820. 已知P为抛物线C：y2=2px(p>0)上一动点，F为C的焦点，定点Q(3，1)在C的内部，若|PQ|+|PF|的最小值为4.(1)求C的方程；(2)不经过原点的直线l与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线y=1上.证明：直线l与C在点A处的切线垂直.21. 已知函数f(x)=(x1)exax2，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)+a=0有三个不同的实根，求a的取值范围.22. 已知曲线C1：x=22t+1y=12+1t+1(t为参数)，曲线C2：=cos2+cos.(1)求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；(2)设曲线C1，C2的公共点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积.23. (1)证明：a2+1a+12；(2)若a>0，b>0，求ab+ba2+b2+1的最大值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：B=xZ|12<2x<4=xZ|1<x<2=0,1，A=1,2,3,4，RA=x|x1,x2,x3,x4，(RA)B=0，故选：D先求出集合B和A的补集，再进行集合交集的运算即可本题考查考查集合的交、补集的运算，属于基础题2.【答案】D【解析】解：复数z满足zi=2+2i(i为虚数单位)，zi(i)=(2+2i)(i)，z=22i，z=2+2i，则zz=(22i)(2+2i)=(2)2+22=6，故选：D利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】A【解析】解：q：f(x)=logax在(0,+)单调递增，a>1，(1,3)(1,+)，p是q的充分不必要条件，故选：A根据对数函数单调性的性质，求出a的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数函数的单调性是解决本题的关键4.【答案】B【解析】解：数据x1，x2，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，0.1xn的方差为：0.12×100=1.故选：B根据方差性质可解决此题本题考查方差的性质，考查数学运算能力，属于基础题5.【答案】C【解析】解：双曲线y22x2=1的焦点坐标(0，±3)，椭圆x29+y2m=1与双曲线y22x2=1有相同的焦点，所以m9=3，m=12.故选：C求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，然后求解m即可本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题6.【答案】B【解析】解：因为a=40.3>40=1，b=log0.34<log0.31=0，0<c=0.34<0.30=1，即a>1，b<0，0<a<1，故b<c<a.故选：B利用指数函数与对数函数的单调性将a，b，c与特殊值0，1比较，即可得到答案本题考查了函数值大小的比较，主要考查了运用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题7.【答案】C【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC，E为AD边上的中点，AE=12AD，AD/BC，AEGCBG，AGCG=AEBC=12，AG=12CG=13AC，AG=13AC=13(AB+AD)=13AB+13AD，AG=AB+AD，=13，+=23.故选：C先判断AEGCBG，求出相似比，得到AG=13AC，再利用平面向量的线性运算即可求解本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，平面向量的线性运算，属于基础题8.【答案】C【解析】解：由PA=1，AC=2，PC=3，即PA2+AC2=PC2，可得PAAC，又PABC，ACBC=C，所以PA平面ABC，PA平面PAB，所以平面PAB平面ABC，故B正确；PA平面PAC，所以平面PAC平面ABC，故D正确；由PA平面ABC，可得PAAB，而PA=1，PB=2，所以AB=1，又BC=1，AC=2，所以AB2+BC2=AC2，即ABBC，由PA平面ABC，可得PABC，则BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB，故A正确；若平面PAC平面PBC，过A作AHPC，垂足为H，可得AH平面PBC，则AHBC，又BCPA，所以BC平面PAC，则BCAC，与BCAB矛盾，故C错误故选：C由线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的性质和判定，对选项一一判断，即可得到结论本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题9.【答案】D【解析】解：设大正方形的边长为a，则正方形的面积S1=a2，直角三角形的面积为：S2=12×asin×acos，由题意可得：4S2S1=2a2sincosa2=2sincos=2425，且：(sin+cos)2=1+2sincos=4925，sin+cos=75，从而：cos(+34)=coscos34sinsin34=22(sin+cos)=7210.故选：D首先设出大正方形的边长，然后结合面积的比值和同角三角函数基本关系、两角和的余弦公式即可求得三角函数式的值本题主要考查同角三角函数基本关系，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等题10.【答案】A【解析】解：将函数y=sin(2x+3)的图象沿x轴向右平移(>0)个单位长度，得到y=sin2(x)+3=sin(2x2+3)=cos2(2x2+3)=cos(2+62x)=cos(2x26)，若得到y=cos2x的图象，则26=2k，即=k12，kZ，>0，当k=1时，=1112，故选：A根据三角函数平移关系，结合三角函数的诱导公式建立方程进行求解即可本题主要考查三角函数的图象变换，利用平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题11.【答案】A【解析】解：由题意，F(c，0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y=bax，则F到y=bax的距离为bca1+b2a2=b=1，直线FP所在直线方程为y=ab(xc)，联立y=baxy=ab(xc)，解得x=a2c，a2c=c21c=455，得c=5，则a=c2b2=51=2.e=ca=52.故选：A由F到一条渐近线的距离等于1求得b，写出FP所在直线方程，与已知渐近线方程联立求得P点横坐标，由横坐标的值为455求得c，则a可求，离心率可求本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题12.【答案】A【解析】解：f(x)=alnx+1x1的定义域为(0，+)，f'(x)=ax1x2=ax1x2，当a0时，f'(x)<0恒成立，f(x)在(0，+)上单调递减，无最值；当a>0时，x(0，1a)时，f'(x)<0，x(1a，+)时，f'(x)>0，f(x)的单调递增区间为(1a，+)，单调递减区间为(0，1a)，此时f(x)min=f(1a)=alna+a1=0，a=1.故选：A求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，即可求出a的值本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题13.【答案】7【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立x=1x+y+1=0，解得A(1，2)，化z=x3y为y=x3z3，由图可知，当直线y=x3z3过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为7.故答案为：7.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题14.【答案】C【解析】解：从丙的说法中推测乙肯定有喜欢的方案，从甲的说法中推测甲喜欢2种方案，不喜欢方案A，那么可以确定是B和C，再从乙的说法中可知，乙只喜欢一种方案，是方案C，故答案为：C根据三个人所说内容，可以推断出乙只喜欢一种方案，又丙说：“我们三人都喜欢同一种方案”，所以可以判断乙喜欢的活动方案本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，是基础题15.【答案】y=3x9【解析】解：曲线y=ln(3x8)与曲线y=x23x的公共点为P(m，n)，两曲线在公共点处相同的切线的斜率为k，因为y'=ln(3x8)'=33x8，(x23x)'=2x3，则k=33m8=2m3，解得m=3或m=76，又3m8>0，故m=3，代入n=m23m得n=0，所以k=2×33=3，于是该切线的方程为y0=3(x3)，整理得，y=3x9，故答案为：y=3x9.设曲线y=ln(3x8)与曲线y=x23x的公共点为P(m，n)，利用导数可得两曲线的公共切线的斜率及公共点P的坐标，利用直线的点斜式方程可得答案本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得两曲线的公共点为的坐标为(3，0)及公共切线的斜率为3是关键，考查数学运算能力，属于中档题16.【答案】18【解析】解：2sinC=a2+b2+1+2aba+b=(a+b)2+1a+b=a+b+1a+b2，所以sinC1，当且仅当a+b=1a+b，即a+b=1时取等号，所以sinC=1，即C=2，a+b=1，所以1=(a+b)2=a2+b2+2ab4ab，当且仅当a=b时取等号，所以ab14，则ABC面积S=12ab18，即面积的最大值18.故答案为：18.由已知结合基本不等式可求sinC的范围，结合正弦函数的有界性可求sinC，进而可求C，然后结合基本不等式可求ab的范围，再由三角形面积公式可求本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了三角形面积公式，属于中档题17.【答案】解：(1)设公比为q的等比数列an，an<an+1(nN)，所以该数列单调递增，由于a2=4，a2+1是a1与a3的等差中项所以2(a2+1)=a1+a3，故5=2q+2q，解得：q=2或12(舍去)，故an=2n.(2)由bn=anlog2an=n2n，所以Sn=1×21+2×22+.+n2n，2Sn=1×22+2×23+.+n2n+1，-得：Sn=(21+22+.+2n)n2n+1=2×(2n1)21n2n+1.整理得：Sn=(n1)2n+1+2.【解析】(1)首先建立方程组求出数列的通项公式，(2)进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题18.【答案】(1)证明：四边形ABCD为菱形，ACBD，设AC与BD交于点F，连接PF，如图所示，PD=PB，PFBD，又PFAC=F，PF，AC平面PAC，BD平面PAC；(2)解：由PA=PB=PD=AB=AD=2，BAD=60，得三棱锥PABD为正四面体，过P作底面垂线，垂足为O，则O在AF上，得AO=232212=233，PO=PA2AO2=22(233)2=263，VPBCD=VPABD=13SABD×PO=13×12×2×2×32×263=223.【解析】(1)由已知可得ACBD，设AC与BD交于点F，连接PF，得PFBD，再由直线与平面垂直的判定可得BD平面PAC；(2)由已知可得三棱锥PABD为正四面体，求其高，再由VPBCD=VPABD求解本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19.【答案】解：(1)由表知，a=3058653=3天，A地区半年中“清闲”的天数为3+530×180=48天(2)试预约人数每月平均数为x=12.5×3+17.5×5+22.5×8+27.5×6+32.5×5+37.5×3=745人，全市预约人数为A地区试预约人数的300倍，正式预约后一年内人数为745×300×12=2682000人=268.2万人，设每支疫苗定价为m元，则268.2(m80)=1500，解得m85.6元，每支疫苗的合理定价应为85.6元(3)预约疫苗与看病人数2×2列联表如下：看病高峰天数非看病高峰天数总计疫苗预约前82230疫苗预约后27330总计352560K2=60×(8×322×27)230×30×35×2524.754>6.635，故有99%的把握认为“看病高峰”与疫苗开始预约有关【解析】(1)由表知，a=3，再以频率估计概率，即可得解；(2)先计算试预约人数每月平均数x，从而得正式预约后一年内人数，设每支疫苗定价为m元，由数量×(单价-单位成本)=总成本，列得关于m的方程，解之即可；(3)先填写2×2列联表，再根据K2的公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断本题考查独立性检验，频数分布表，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题20.【答案】解：(1)过P作C的准线x=1的垂线，垂足为N，连接NQ，由抛物线的定义，可得|PN|=|PF|，则|PQ|+|PF|=|PQ|+|PN|NQ|，当N，P，Q三点共线时，|NQ|取得最小值，所以3+p2=4，解得p=2，则抛物线的方程为y2=4x；(2)证明：设直线l的方程为x=my+n(n0)，且直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=my+ny2=4x可得y24my4n=0，则=16m2+16n>0，即m2+n>0，又y1+y2=4m，y1y2=4n，可得x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n，x1x2=(y1y2)216=n2，所以圆心坐标为(2m2+n，2m)，因为圆心在直线y=1上，所以2m=1，即m=12.又因为以线段AB为直径的圆经过点F(1，0)，所以FAFB=(x11)(x21)+y1y2=x1x2(x1+x2)+1+y1y2=n2(4m2+2n)+14n=0，化简可得n26n=0，可得n=6(0舍去)，所以直线l的方程为x=12y+6，即2x+y12=0，且直线l的斜率为k1=2，由x=12y+6y2=4x解得A(4，4)，因为当y>0时，抛物线y2=4x在x轴上方曲线方程为y=2x，所以y'=1x，则抛物线y2=4x在A处的切线的斜率为k=14=12，因为直线l与切线的斜率的乘积为2×12=1，所以直线l与抛物线在A处的切线垂直【解析】(1)由抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，可得所求方程；(2)设直线l的方程为x=my+n(n0)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，中点坐标公式，求得以AB为直径的圆心的坐标，可得m，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，可得n，进而得到直线l的方程和斜率，求得A的坐标和A处的切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得证本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题21.【答案】解：(1)函数f(x)=(x1)exax2，则f'(x)=xex2ax=x(ex2a)，(i)当a0时，ex2a>0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增；(ii)当0<a<12时，由ex2a=0，可得x=ln(2a)<0，所以f(x)在(，ln(2a)上单调递增，在(ln(2a)，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增；(iii)当a=12时，由ex2a=0，可得x=ln(2a)=0，所以f(x)在R上单调递增；(iv)当a>12时，由ex2a=0，可得x=ln(2a)>0，所以f(x)在(，0)上单调递增，在(0，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，+)上单调递增综上所述，当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增；当0<a<12时，所以f(x)在(，ln(2a)和(0，+)上单调递增，在(ln(2a)，0)上单调递减；当a=12时，f(x)在R上单调递增；当a>12时，所以f(x)在(，0)和(ln(2a)，+)上单调递增，在(0，ln(2a)上单调递减(2)f(x)+a=(x1)exa(x+1)，所以x=1为f(x)+a=0的一个根，故exa(x+1)=0有两个不同于1的实根，令f(x)=exa(x+1)，则g'(x)=exa，(i)当a0时，g'(x)>0，故g(x)在R上单调递增，不符合题意；(ii)当a>0时，当x>lna时，g'(x)>0，故g(x)单调递增，当x<lna时，g'(x)<0，故g(x)单调递减，并且当x时，g(x)+；当x+时，g(x)+，所以若要满足题意，只需g(lna)<0且g(1)0，因为g(lna)=elnaa(lna+1)=alna<0，所以a>1，又g(1)=e2a0，所以ae2，即a>1且ae2，所以实数a的取值范围为(1，e2)(e2，+).【解析】(1)求出f'(x)，然后分a0，0<a<12，a=12，a>12四种情况，分别研究导数的正负，从而判断函数的单调性；(2)将方程进行化简变形，得到x=1为f(x)+a=0的一个根，则exa(x+1)=0有两个不同于1的实根，构造函数f(x)=exa(x+1)，利用导数研究其单调性，确定函数值的变化情况，列出关于a的不等关系，求解即可本题考查了利用导数研究函数的性质，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题22.【答案】解：(1)曲线C1：x=22t+1y=12+1t+1(t为参数)，消去参数转换为普通方程为x+2y3=0(x2).曲线C2：=cos2+cos，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为直角坐标方程为y2=x.(2)由x+2y3=0y2=x，化简为y2+2y3=0，解得x=1y=1或x=9y=3.故|AB|=82+42=45，则：点O到直线AB的距离d=312+22=35，所以SOAB=12×45×35=6.【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三三角形的面积公式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题23.【答案】(1)证明：a2+b22a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，令b=1，则有a2+12a+12，当且仅当a=1时，等号成立，即a2+1a+12；(2)解：由(1)得a2+1a+12，即a2+1(a+1)22，当且仅当a=1时，等号成立，ab+ba2+b2+1=(a+1)b(a2+1)+b2(a+1)b(a+1)22+b2，又(a+1)22+b22(a+1)22b2=2(a+1)b，当且仅当(a+1)22=b时，等号成立，即a+1=2b，即a=1b=2时，等号成立，(a+1)b(a+1)22+b2(a+1)b2(a+1)b=22，即ab+ba2+b2+122，当a=1b=2时，ab+ba2+b2+1取得最大值，且最大值为22.【解析】(1)由a2+b22a+b2，令b=1即可得证；(2)利用(1)的结论可得ab+ba2+b2+122，由此求得最大值本题考查不等式的证明，考查最值的求解，考查逻辑推理能力，属于中档题