备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第一册第一章集合与常用逻辑用语、不等式第4节基本不等式.docx
第4节基本不等式 选题明细表 知识点、方法题号利用基本不等式求最值1,2,3,5,6,7,9,12基本不等式的应用4,8,10,11,13,14,151.当x>1时,f(x)=xx2+4的最大值为(A)A.14 B.12C.1D.2解析:因为x>1,故f(x)=xx2+4=1x+4x12x·4x=14,当且仅当x=4x,即x=2时,取等号,故f(x)=xx2+4的最大值为14.2.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个式子中最大的是(B)A.2a+b B.1a+1bC.2ab D.2a2+b2解析:因为a,b为互不相等的正实数,所以1a+1b>2ab,2a+b<22ab=1ab<2ab,2a2+b2<22ab=1ab<2ab,所以最大的是1a+1b.3.(2023·重庆模拟)已知x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,则x+y的最小值是(C)A.1B.4C.7D.3+17解析:因为x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,所以x+y=(x-2)+(y-1)+32(x-2)(y-1)+3=7,当且仅当x=4,y=3时,等号成立.4.已知x>0,y>0,且x+2y=1,若不等式2x+1ym2+7m恒成立,则实数m的取值范围是(A)A.-8m1B.m-8或m1C.-1m8D.m-1或m8解析:因为x>0,y>0,x+2y=1,所以2x+1y=(x+2y)·(2x+1y)=4yx+xy+44+24=8(当4yx=xy,即x=2y=12时,取等号),因为不等式2x+1ym2+7m恒成立,所以m2+7m8,解得-8m1.5.若0<x<2,则x4-x2的最大值为. 解析:因为0<x<2,所以x4-x2=x2(4-x2)x2+4-x22=2,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,取“=”.答案:26.(2020·江苏卷)已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是. 解析:法一由5x2y2+y4=1得x2=15y2-y25,则x2+y2=15y2+4y25215y2·4y25=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12时,取等号,则x2+y2的最小值是45.法二4=(5x2+y2)·4y2(5x2+y2)+4y222=254(x2+y2)2,则x2+y245,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时,取等号,则x2+y2的最小值是45.答案:457.已知a>b>0,当4a+42a+b+12a-b取到最小值时,a=. 解析:因为a>b>0,所以2a+b>0,2a-b>0,所以4a+42a+b+12a-b=(2a+b)+42a+b+12a-b+(2a-b)2(2a+b)·42a+b+2(2a-b)·12a-b=4+2=6,当且仅当2a+b=42a+b,12a-b=2a-b,即2a+b=2,2a-b=1,即a=34,b=12时,等号成立.答案:348.已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(aR),若对于任意的xN*,f(x)3恒成立,则a的取值范围是.解析:因为对任意xN*,f(x)3,即x2+ax+11x+13恒成立,即a-(x+8x)+3.设g(x)=x+8x,xN*,则g(x)=x+8x42,当且仅当x=22时,等号成立,又g(2)=6,g(3)=173,g(2)>g(3),所以g(x)min=173.所以-(x+8x)+3-83,所以a-83,故a的取值范围是-83,+).答案:-83,+)9.(1)若直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),求1m+2n的最小值;(2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,求x+3y的最小值.解:(1)因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,所以1m+2n=(1m+2n)(m+n)=3+nm+2mn3+22,当且仅当nm=2mn,即n=2m时,取等号,所以1m+2n的最小值为3+22.(2)法一(换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y23xy,所以3xy(x+3y2)2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时,取等号,所以x+3y+13(x+3y2)29,即(x+3y)2+12(x+3y)-1080,令x+3y=t,则t>0且t2+12t-1080,解得t6,即x+3y的最小值为6.法二(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=9-3y1+y,所以x+3y=9-3y1+y+3y=9-3y+3y(1+y)1+y=9+3y21+y=3(1+y)2-6(1+y)+121+y=3(1+y)+121+y-623(1+y)·121+y-6=12-6=6,当且仅当3(1+y)=121+y,即x=3,y=1时,等号成立,所以x+3y的最小值为6.10.(2022·山东潍坊二模)已知正实数a,b满足a2+2ab+4b2=6,则a+2b的最大值为(B)A.25 B.22C.5 D.2解析:令t=a+2b,则t2=a2+4ab+4b2=6+2ab.又因为6-2ab=a2+4b22a2·4b2=4ab(当且仅当a=2b时,取等号)所以ab1,所以6+2ab8,所以t28,又t>0,所以0<t22.11.(2022·广东佛山模拟)已知正数x,y满足x+1x+y+1y=5,则x+y的最小值与最大值的和为(B)A.6B.5C.4D.3解析:因为xy(x+y2)2,当且仅当x=y时,取等号,所以1xy4(x+y)2,所以x+yxy4x+y,又x+1x+y+1y=5=x+y+x+yxy,所以x+y+4x+y5,即(x+y)2-5(x+y)+40,解得1x+y4.所以x+y的最大值与最小值的和为5.12.写出一个关于a与b的等式,使1a2+9b2是一个变量,且它的最小值为16,则该等式为 . 解析:该等式可为a2+b2=1,下面证明该等式符合条件.1a2+9b2=(1a2+9b2)(a2+b2)=1+9+9a2b2+b2a210+29a2b2·b2a2=16,当且仅当b2=3a2时,取等号,所以1a2+9b2是一个变量,且它的最小值为16.答案:a2+b2=1(答案不唯一)13.某市计划建立一个文化产业园区,计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S m2的矩形文化园展厅CDEF,如图,点C,D在底边AB上,E,F分别在腰OB,OA上,已知OA=OB=30 m,AB=302 m,OE=x m,x14,20.(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)若矩形展厅CDEF每平方米的造价为37kS,绿化区(题图中阴影部分)每平方米的造价为12kS(k为正常数),求总造价W关于S的函数W=f(S),并求当OE为何值时总造价W最低.解:(1)由题意得,OAB为等腰直角三角形,则EF=2x,DE=22(30-x),所以S=x(30-x)=-(x-15)2+225,因为x14,20,所以S200,225.故S=-(x-15)2+225,S200,225.(2)由题意得,矩形展厅的造价为37kS·S,绿化区(图中阴影部分)的造价为12kS·(450-S),所以W=37kS·S+12kS·(450-S)=25k(S+12×18S)3006k,当且仅当S=12×18=x(30-x),即x=18时,等号成立,所以W=f(S)=25k(S+216S),当OE为18 m时,总造价W最低.14.证明下列各题:已知a,b,c为正数.(1)若abc=1,求证:a+b+c1a2+1b2+1c2;(2)若a+b+c=9,求证:1a+1b+1c1.证明:(1)由条件abc=1得1a2+1b22ab=2c,当且仅当a=b时,等号成立,1b2+1c22bc=2a,当且仅当b=c时,等号成立,1c2+1a22ca=2b,当且仅当c=a时,等号成立,以上三个不等式相加可得2(1a2+1b2+1c2)2(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立,因此a+b+c1a2+1b2+1c2.(2)(a+b+c)(1a+1b+1c)=3+(ab+ba)+(cb+bc)+(ac+ca),因为a,b,c为正数,所以(a+b+c)(1a+1b+1c)3+2ab·ba+2cb·bc+2ac·ca=3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=3时,取等号,所以1a+1b+1c1.15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1),最小值为0,则ac的最大值为,实数满足1-b=a,则的取值范围为. 解析:因为二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1),所以a+b+c=1(a>0,b>0,c>0),因为开口向上且最小值为0,所以=b2-4ac=0.所以b=2ac,所以a+b+c=a+2ac+c=1.因为a+c2ac,所以1=a+c+2ac4ac(当且仅当a=c时,取等号),结合a+2ac+c=1可知当a=c=14时,等号成立,所以ac14,即ac116,当且仅当a=c=14时,等号成立,所以ac的最大值为116.因为a+2ac+c=1,所以(a+c)2=1,所以c=1-a.因为a=1-b=a+c=a+(1-a)2=2a-2a+1,所以=2a-2+1a=2a+1a-2.因为a+c=2a-2a+1=1-b<1,即2a-2a<0,所以a-a<0,所以a-a=a(a-1)<0,所以0<a<1,所以0<a<1.所以22a·1a-2=22-2,当且仅当2a=1a,即a=12时,等号成立. 所以22-2.答案:11622-2,+)
