河北省石家庄市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版).docx

河北省石家庄市2022-2023学年高二上学期期末数学试题第卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1. 已知直线的方程，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，则，又因为，因此，.故选：C.2. 用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第10个图形需要用多少根火柴（ ）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】B【解析】结合图形，发现：搭第个图形，需要，则搭第10个图形需要根火柴棒，故选：.3. 已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），圆心C为点（-2，1），由中点坐标公式得解得a=-4，b=2半径r=，圆的方程是：（x+2）2+（y-1）2=5，即x2+y2+4x-2y=0故选C4. 已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：由平行四边形法则可得：，故选：A5. 已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆可化为，所以点与圆心连线所在直线的斜率为，则所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得，整理得.故选：A.6. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）A. B. 3C. D. 2【答案】B【解析】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B.7. 如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长为定值，则点Q到平面的距离（ ）A. 等于B. 和的长度有关C. 等于D. 和点Q的位置有关【答案】A【解析】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则由得令，则，所以是平面的一个法向量设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错故选：A8. 已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】由题知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，分别为曲线，的离心率，假设，所以由椭圆，双曲线定义得，解得，所以中，由余弦定理得，即，化简得，因为，所以，即，当且仅当时，取等号，故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知等差数列的前n项和为 ，且 ，则（）A. 在数列中， 最大B. 在数列中， 或 最大C. D. 当 时，【答案】AD【解析】为等差数列，且， ，即，an是递减等差数列，最大，当 时，当 时，故AD正确，B错误， ，则 ，故C错误，故选：AD10. 已知直线l：，其中，下列说法正确的是（ ）A. 当时，直线l与直线垂直B. 若直线l与直线平行，则C. 直线l过定点D. 当时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.故选：AC.11. 已知直线过抛物线焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）A. 抛物线的方程为B. 线段的中点到y轴的距离为C. 线段的长度为D. 【答案】ACD【解析】显然抛物线的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点，即，则，解得，抛物线的方程为，准线方程为，A正确；由消去并整理得：，设，则有，线段中点横坐标为，因此线段的中点到y轴的距离为，B错误；，因此线段的长度为，C正确；显然点，则，即，因此，D正确.故选：ACD.12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（ ）A. 曲线C围成的图形的面积是B. 曲线C围成的图形的周长是C. 曲线C上的任意两点间的距离不超过2D. 若是曲线C上任意一点，则的最小值是【答案】ABD【解析】对于曲线上任一点，则，点关于轴对称的点为，则，即点在曲线C上，故曲线C关于轴对称；点关于轴对称的点为，则，即点在曲线C上，故曲线C关于轴对称；点关于原点对称的点为，则，即点在曲线C上，故曲线C关于原点对称；综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.对于方程，令，则，解得或，即曲线C与轴的交点坐标为，同理可得：曲线C与轴的交点坐标为，当时，则，整理得，且，故曲线C在第一象限内为以为圆心，半径的半圆，由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点，对A：曲线C围成的图形的面积，A正确；对B：曲线C围成的图形的周长是，B正确；对C：联立方程，解得或，即曲线C与直线在第一象限内的交点坐标为，由对称可知曲线C与直线在第三象限内的交点坐标为，则，C错误；对D：由图结合对称性可知：当在第一象限时，点到直线的距离相对较小，到直线的距离，则点到直线的距离，故的最小值是，D正确.故选：ABD.第卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是_【答案】【解析】双曲线的渐近线为的焦点到渐近线距离为.14. 设，向量，且，则_【答案】【解析】因为，所以，解得，则因为，所以，解得，则故答案为:.15. 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则_【答案】8【解析】因为，所以，即，因为，所以，则.故答案为：8.16. 已知为圆的直径，点为直线上的任意一点，则的最小值为_【答案】【解析】圆心，半径为，且点为线段的中点，圆心到直线的距离为，当与直线垂直时，取最小值，即取最小值，且.故答案为：.四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 设等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，由，即，所以，解得，所以.（2）因为，所以.18. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上（1）求圆的方程；（2）若圆与圆相交于A、B两点，求弦长解：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为,，,可知圆心在直线上，故可设该圆的圆心为，则有，解得，故圆的半径为，所以圆的方程为；（2）的方程为即，圆D：，即，两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为，圆C的圆心到直线距离为，所以.19. 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，AB=2，E为PC的中点（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；（2）求二面角平面角的正切值解：（1）连结对角线AC、BD相交于点O，连结DE、OE，分别为的中点，则，且平面ABCD，则平面ABCD，底面是菱形ABCD，AB=2，则BD=2，以O为原点，OA、OB、OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有，可得，平面PAC的法向量为，设直线DE与平面PAC所成的角，则，故直线DE与平面PAC所成的角为.（2）设二面角的平面角为，平面ADC的法向量为，设平面EAD的法向量为，则，令，则，得到，即，则，故二面角的平面角的正切值是220. 已知O为坐标原点，点和点，动点P满足.（1）求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；（2）若抛物线（）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，求直线l的方程.解：（1）动点满足，点的轨迹曲线为双曲线的一支，由双曲线的定义有，曲线的方程为；（2）由（1）可知曲线的顶点，所以抛物线的方程为由题意，直线的倾斜角不能为0，设直线的方程为，设，代入到消去得：，或，直线的方程为或21. 已知数列满足，（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解（1）证明：由取倒数得，即，所以为公差为的等差数列，则，所以，.（2）解：当时，所以，满足条件的整数的个数为，即，所以，故数列单调递增，所以，则，上式下式得，所以，因为，则，因此，满足的最大正整数的值为.22. 已知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆的方程；（）过点，作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解：（）由题意可得，又，解得，所以，椭圆的方程为（）存在轴上在定点，使得直线与直线恰关于轴对称，设直线的方程为，与椭圆联立可得设，假设在轴上存在定点，与关于轴对称，即，在轴上存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称特别地，当直线是轴时，点，也使得直线与直线恰关于轴对称综上，在轴上存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称