备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题39等差数列、等比数列基本量(解析版).docx

专题39 等差数列、等比数列基本量 【知识点总结】一、基本概念1、数列(1)定义.按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.(2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2、等差数列(1)定义.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差数列的通项公式.若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().(3)等差中项.若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.3、等比数列(1)定义.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比数列的通项公式.等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.(3).(4)等比中项如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前项和二、基本性质1、等差数列的性质(1)等差中项的推广.当时,则有,特别地,当时,则有.(2)等差数列线性组合.设是等差数列,则也是等差数列.设是等差数列,则也是等差数列.(3)等差数列的单调性及前项和的最值.公差为递增等差数列,有最小值;公差为递减等差数列,有最大值;公差为常数列.特别地若,则有最大值(所有正项或非负项之和);若,则有最小值(所有负项或非正项之和).(4)其他衍生等差数列.若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.2、等比数列的性质(1)等比中项的推广.若时,则,特别地,当时,.(2)设为等比数列,则(为非零常数),仍为等比数列.设与为等比数列,则也为等比数列.(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).当或时,为递增数列;当或时,为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).3、等差数列与等比数列的转化(1)若为正项等比数列,则为等差数列.(2)若为等差数列,则为等比数列.(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.【典型例题】例1（2023·内蒙古包头·一模）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则数列的公差为（    ）A2BC4D【答案】B【解析】设公差为，则有整理得，又由可得，所以解得，故选:B.例2（2023·四川巴中·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ）A33B66C22D44【答案】A【解析】由题意知：，则，则.故选：A.例3（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为1，公差不为0若成等比数列，则的通项公式为（    ）ABCD 【答案】A【解析】因为成等比数列，则，即，因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以故选：A例4（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（    ）A7里B8里C9里D10里【答案】A【解析】设第六天走的路程为，第五天走的路程为第一天走的路程记为，根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，所以，从而解得，故选：A.例5（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（    ）ABCD【答案】D【解析】依题意，数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.故选：D例6（2023·青海西宁·统考一模）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ）AB5CD【答案】C【解析】由题意得：，即，因为数列是等比数列，所以，即，解得：，故选：C.例7（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，且，则的公比为（    ）ABCD【答案】A【解析】为递减的等比数列，解得：（舍）或，的公比.故选：A.例8（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列中，成等差数列，则（    ）A或B4CD【答案】A【解析】由题设，若等比数列的公比为，所以，而，则，解得或，所以，当时，当时.故选：A例9（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（    ）ABCD【答案】A【解析】设数列的公比为，由可得：，又，由可得：，解得：，解得：，（当且仅当，即时取等号），（当且仅当时取等号），即的最小值为.故选：A例10（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，且S321，S565，则Sn_.【答案】3n22n.【解析】设等差数列an的前n项和为SnAn2Bn.由已知可得，化简得，解得，所以Sn3n22n.故答案为：3n22n例11（2023·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则_【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，所以，所以故答案为：例12（2023·陕西商洛·统考一模）公比的等比数列满足，则_【答案】【解析】由等比数列性质知：，解得：或，又，.故答案为：.例13（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为_【答案】【解析】由题意令，即2不是数列与的公共项；令，即4是数列与的公共项；令，即8不是数列与的公共项；令，即16是数列与的公共项；依次类推，可得数列：，即是首项为4，公比为4的等比数列，故数列的前n项的和为 ，故答案为：例14（2023春·上海·高三校联考阶段练习）记为等比数列的前项和，若则_【答案】【解析】等比数列的前项和为，设其公比为，由得：，因此，于是，所以.故答案为：52例15（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列是等比数列，且，则_【答案】4【解析】根据等比数列的性质，有，则，解得，所以故答案为：4例16（2023·全国·高三专题练习）求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.【解析】由知：，且数列为等差数列，所以，由得：，即，解得，所以的取值集合为.例17（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.求和的通项公式.【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，或（舍去），故，的通项公式为，的通项公式为.例18（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，(1)求的通项公式；(2)记，若数列的前项和.【解析】（1）由题知即解得，所以.（2）.【技能提升训练】一、单选题1（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（    ）A2042B2062C2082D2092【答案】B【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，则等差数列的通项公式为，.可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.故选：B.2（2023·河北邯郸·统考一模）在等差数列中，“”是“”的（    ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当的公差时，由，得m是任意的正整数，由，得，则“”是“”的必要不充分条件故选:A.3（2023·陕西商洛·统考一模）已知等差数列满足，则的公差为（    ）A2B3C4D5【答案】C【解析】设的公差为d，因为，解得.故选:C.4（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（    ）A58.5尺B59.5尺C60尺D60.5尺【答案】C【解析】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，因此，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为，所以有，立春日晷长为，夏至的日晷长为，所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，故选：C5（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（    ）A16B18C20D22【答案】B【解析】因为是等差数列，设其公差为，所以，解得，所以.故选：B6（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（    ）A84B144C288D110【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，则，即，整理可得，由数列各项不相等，解得，即，故.故选：A.7（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）在递增等比数列中，且是和的等差中项，则（    ）A256B512C1024D2048【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，因为是和的等差中项，所以，即又因为，所以，解得或又因为等比数列是递增数列，所以又因为，所以故选：B.8（2023·河北石家庄·统考一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，则的值为（    ）ABCD【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，整理可得，解得，所以，所以，.故选：B.9（2023·江西赣州·统考一模）在中，角，所对的边分别为，若，成等差数列，则（    ）ABCD【答案】C【解析】由，得，由成等差数列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.故选：C.10（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和，若，则（      ）A150B160C170D与和公差有关【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，所以，所以.故选：B11（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（    ）A224里B214里C112里D107里【答案】A【解析】由题设，每天行程是公比为的等比数列，所以，可得，则第一天走的路程224里.故选：A12（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（    ）ABCD【答案】D【解析】依题意，设数列的前项和为，即，当时，当时，由得，两式相减得，也符合上式，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前项和为.故选：D13（2023·河南·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ）AB5CD【答案】B【解析】因为，当时，当时，则，当时，则，因为是等比数列，所以，则，所以，解得，则，则.故选：B.14（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（    ）A96BC72D【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，因为，且由题可得，所以，因为，解得，所以，故故选：B.15（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，依次成等比数列，则（    ）A81B63C41D32【答案】C【解析】因为，所以，故，设等差数列的公差为，则，所以，因为，依次成等比数列，所以，所以，所以，故选：C.16（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知等比数列的前三项和84，则（    ）A3B6C12D24【答案】B【解析】设等比数列的公比为，等比数列的前三项和84，则当时，不满足题意，当时，则，令，即，解得，则，则，故选：B.17（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，则（    ）A17B19C21D23【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，整理得.又，即，所以.由得，故.故选：A18（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在各项都为正数的等比数列中，则公比的值为（    ）ABCD【答案】B【解析】，由，得：，即，解得：.故选：B.二、多选题19（2023·全国·模拟预测）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（    ）AB当时，CD【答案】BC【解析】A选项：因为，所以，所以A不正确；B选项：因为，则，所以，所以，所以B正确；C选项：因为，所以，所以，所以C正确；D选项：，当且仅当时，等号成立所以D不正确故选:BC.20（2023秋·广东深圳·高三统考期末）等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是（    ）A是等比数列B数列，成等比数列C若，则是递增数列D若，则是递增数列【答案】AB【解析】由题意， ， ；对于A， ，所以是首项为 ，公比为 的等比数列，正确；对于B，因为， ， ， ， ,它们成等比数列，正确；对于C，若 ， ，则 ，为递减数列，错误；对于D， ，若 ， ，则 ， ，是递减数列，错误.故选：AB.21（2023·全国·高三专题练习）若数列是等比数列，则（    ）A数列是等比数列B数列是等比数列C数列是等比数列D数列是等比数列【答案】AD【解析】设等比数列的公比为，则是以为公比的等比数列，A对；时，则不是等比数列，B错；，时，此时不是等比数列，C错；，所以，是公比为的等比数列，D对.故选：AD22（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）A是递增数列B是数列中的项C数列中的最小项为D数列是等差数列【答案】ACD【解析】由已知，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，.对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；对于B选项，令，可得，B错；对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；对于D选项，则，所以，故数列为等差数列，D对.故选：ACD.23（2023·全国·高三专题练习）记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（    ）A数列是等差数列B数列是递减数列CD当 时，取得最大值【答案】ACD【解析】，数列是等差数列，故A正确；，从而，可知数列不是递减数列，故B错误，C正确；，当 时，取得最大值，故D正确.故选：ACD.24（2023·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，则下面结论正确的有（    ）Ad2BCD的前n项和为【答案】ABD【解析】由题意得，即，解得，所以，故A、B正确；得，故，故C错误；所以数列的前n项和为，故D正确.故选：ABD.三、填空题25（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，则_【答案】【解析】，即，又由，即，所以等差数列的公差为，又由，解得，所以数列的通项公式为.故答案为：26（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）在数列中，则_【答案】2021【解析】因为，且，所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列.，则.故答案为：202127（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）记Sn为等比数列an的前n项和.若S3=4，S6=12，则S9=_.【答案】28【解析】因为an为等比数列，所以数列,也为等比数列，所以有,得，所以，故答案为：2828（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记等差数列的前n项和为，已知，则的通项公式为_.【答案】【解析】设等差数列的公差为d，则，所以.故答案为：.29（2023春·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）设等比数列的公比，前项和为，则_.【答案】【解析】由等比数列求和公式以及通项公式可得.故答案为：.30（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列为等差数列为等比数列，且成等差数列则_【答案】【解析】设的公比为，则由成等差数列，可得，而为等差数列则，所以，即，解得，故，故答案为：31（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是_（写出一个即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】令，则数列单调递增，且，所以，即，当时，即，所以，所以是中唯一的最小项，故符合题意.故答案为：（答案不唯一）32（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）记为等比数列的前项和.，则_.【答案】【解析】由等比数列的性质可得，结合题意，得，又，所以，所以.故答案为：33（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）公比的等比数列的前n项和为，且，则_【答案】【解析】因为，所以，又，所以或（舍），所以.故答案为：.34（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）若等比数列的各项均为正数，且，则_.【答案】21【解析】由等比数列的下标和性质有，所以.因为数列的各项均为正数，所以，因为，所以.故答案为：21.35（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知等比数列中，等差数列中，则数列的前项和等于_【答案】【解析】在等比数列中，满足，由等比数列的性质可得，即，所以，又由，所以所以数列的前项和，故答案为：.36（2023·高三课时练习）若等比数列的前n项和，则常数k的值为_【答案】【解析】当时，.时，因为是等比数列，所以，即，解得故答案为：四、解答题37（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an的公差d不为0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比数列，求数列an的通项公式.【解析】由已知得，设公差为d，则有 ，即 ， ， ， ；综上， 的通项公式为： ， .38（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，等比数列中，且，成等差数列(1)求数列和的通项公式；(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和【解析】（1），即，故为等差数列，设公差为，故，解得：，所以，设等比数列的公比为，因为，成等差数列，所以，即，与联立得：或0（舍去），且，故，（2）由题意得：为中的整数个数，故，所以.39（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知正项等比数列的前n项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和的值【解析】（1）,或，.（2）由（1）知，故，.40（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，(1)求数列，的通项公式；(2)数列与中的所有项分别构成集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和【解析】（1）数列为等差数列，且，,，即，即,数列是公比为2的等比数列，,即.（2）由（1）知，数列的元素是由数列中去除数列数列中去掉2，4，8，16，,.41（2023·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满足，(1)求数列和的通项公式；(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小【解析】（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为,由，,得,解得，所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）由（1）得，所以.42（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则，又，可得，所以.（2）由（1）可得，故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，所以，所以数列的前2n项和为：.即: 数列的前2n项和为.43（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列的前项和为，数列为等比数列，其中，.(1)求，的通项公式；(2)若，求的前项和.【解析】（1）设数列的公差为，则，由得，或.当时， ；当时，所以当时，；当时，；（2）若，即，又，.44（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式；【解析】当时，；当时，即，数列是以为首项，为公差的等差数列，；数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列，数列的首项为，因为等差数列，的公差为，等差数列的公差为，所以数列是等差数列，且公差为，.