高考数学人教a版一轮复习第九章 平面解析几何解答题专项五 第2课时 最值与范围问题.docx
解答题专项五圆锥曲线中的综合问题第2课时最值与范围问题解答题专项练1.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(m,2)(m>0)在抛物线C上,且满足|PF|=3.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值.解:(1)由抛物线定义,得|PF|=2+p2=3,得p=2,抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+4,联立y=kx+4,x2=4y,得x2-4kx-16=0,>0,x1+x2=4k,x1x2=-16.设A,B处的切线斜率分别为k1,k2,由y=x24,得y'=x2,则k1=x12,k2=x22,切线AQ的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2-x124,同理,切线BQ的方程为y=x2x2-x224.设Q(xQ,yQ),由得xQ=x1+x22=2k,代入中可得yQ=kx1-x124=y1-4-y1=-4,Q(2k,-4),即Q在定直线y=-4上.设点G关于直线y=-4的对称点为G',则G'(0,-12).由(1)知P(22,2),|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|G'P|=251,当P,Q,G'三点共线时,等号成立.三角形PQG周长最小值为|GP|+|G'P|=23+251.2.(2022·广东茂名一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且过点1,32.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1且互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于A,B两点和M,N两点,求|AB|+|MN|的取值范围.解:(1)由题意可得,c=1.又由a2=b2+1,1a2+94b2=1,得a=2,b=3,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)当l1垂直于x轴时,|AB|=2b2a=3,|MN|=2a=4,|AB|+|MN|=7.同理,当l2垂直于x轴时,|AB|+|MN|=7.当l1,l2均不垂直于x轴时,设l1的方程为y=k(x+1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x+1),x24+y23=1,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,=144(k2+1)>0,x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·121+k24k2+3=12(1+k2)4k2+3.l1与l2互相垂直,|MN|=12(1+1k2)4k2+3=12(k2+1)3k2+4.|AB|+|MN|=12(1+k2)4k2+3+12(k2+1)3k2+4=7(12k4+24k2+12)12k4+25k2+12=71-k212k4+25k2+12=71-112k2+12k2+25.因为|AB|+|MN|=71-112k2+12k2+25487,当且仅当k=±1时,等号成立,所以487|AB|+|MN|<7.综上,|AB|+|MN|的取值范围为487,7.3.(2023·河北保定模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l.直线l1与抛物线C相切于点P且与x轴交于点E,点M是点E关于点F的对称点,直线MP与抛物线C交于另一点Q,与准线l交于点N.(1)证明:直线l1直线MP;(2)设MEQ,PNF的面积分别为S1,S2,若S1S2>65,求点M的横坐标的取值范围.(1)证明:不妨设P(x0,y0)且x0>0,而在x>0上,y=2x,则y'=1x,所以切线l1的斜率为kl1=1x0,y0=2x0,则切线l1的方程为y-y0=1x0(x-x0),整理得l1:y0y=2(x0+x),令y=0得E(-x0,0).由题意F(1,0),则M(2+x0,0).所以kMP·kl1=y0x0-(2+x0)·2y0=-1,则直线l1直线MP,得证.(2)解:由(1)知MPF=FMP,|ME|=2|PF|,所以S1S2=12|ME|·|MQ|sinEMQ12|PF|·|PN|sinFPN=|ME|·|MQ|PF|·|PN|=2|MQ|PN|>65,则|MQ|PN|>35.直线MP:y=-y02(x-x0-2),(*)将x=-2yy0+x0+2代入y2=4x,得y2+8y0y-4x0-8=0,设Q(xQ,yQ),y0yQ=-(4x0+8),即yQ=-4x0+8y0.设N(xN,yN),在(*)中取xN=-1,得yN=-y02(-1-x0)+y0=y02(1+x0)+y0.所以|MQ|PN|=|yQ|yN-y0|=|8x0+16|y02(1+x0)|=|2x0+4|x0(1+x0)|>35.又x0>0,化简得3x02-7x0-20<0,解得-53<x0<4,0<x0<4.故点M的横坐标的取值范围是(2,6).4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为32,且通径长为1.(1)求椭圆E的方程;(2)直线l与椭圆E交于M,N两点(点M,点N在x轴的同侧),当F1MF2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值.解:(1)由题可知ca=32,2b2a=1,a2=b2+c2,a>b>0,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)由(1)可知F1(-3,0),F2(3,0).延长MF1交E于点M0(图略).设M(x1,y1),M0(x2,y2),直线MF1的方程为x=my-3.联立x=my-3,x24+y2=1得(m2+4)y2-23my-1=0.因为m2+4>0,=12m2+4(m2+4)>0,所以y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4.设F1M与F2N的距离为d,则四边形F1F2NM的面积S=12(|F1M|+|F2N|)d=12(|F1M|+|F1M0|)d=12|MM0|d=SMF2M0.又因为SMF2M0=12|F1F2|y1-y2|=12·23|y1-y2|=3(y1+y2)2-4y1y2=43m2+1m2+4=43m2+1+3m2+14323=2,当且仅当m2+1=3m2+1,即m=±2时,等号成立,所以四边形F1F2NM面积的最大值为2.
