高考数学专题26　以平面几何为载体的应用题.docx

微专题26以平面几何为载体的应用题数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现数学应用问题的是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点本专题集中介绍以平面几何为载体的应用问题，常见的处理方法是结合实际问题，利用图形中的几何关系建立数学模型，应用相关数学知识予以解决.例题：如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)(1)探求CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？变式1如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.现要在该区域内修建观赏景观，在APQ区域和CPQ区域中分别种花和铺设草坪，设三角形APQ和CPQ的面积分别为S1和S2，记视觉效果为(的值越大，视觉效果越好)，试问怎样设计该景观，使得游客观赏景观的视角效果最好？变式2如图，有一块矩形草坪ABCD，AB100米，BC50米，欲在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且EOF90°.(1)设BOE，试求OEF的周长l关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用串讲1如图所示，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知AB20 km，CD10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为y km.(1)设BAO(rad)，将y表示成的函数关系式；(2)确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短串讲2中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受，如图(1)为一花窗；图(2)所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称，设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L.(1)试用x，y表示L；(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?(2018·江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大(2018·苏州期末)如图，B，C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100 km，海岛A在城市B的正东方50 km处从海岛A到城市C，先乘船按北偏西角(，其中锐角的正切值为)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h，车速为75 km/h.(1)试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；(2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由答案：(1)f()，；(2)在BC上选择距离B为17.68 km处为登陆点，所用时间最少解析：(1)由题意，轮船航行的方位角为，所以BAP90°，AB50，则AP，BP50tan(90°).PC100BP100.由A到P所用的时间为t1，4分由P到C所用的时间为t2，6分所以由A经P到C所用时间与的函数关系为f()t1t2.8分函数f()的定义域为，其中锐角的正切值为.(2)由(1)，f()，f()，令f()0，解得cos，设0，使cos010分(，0)0f()0f()减函数极小值增函数12分所以，当0时函数f()取得最小值，此时BP17.68 km，答：在BC上选择距离B为17.68 km处为登陆点，所用时间最少.14分(注：结果保留根号，不扣分)微专题26例题答案：(1)2；(2)2.解法1(1)设PAB，tant.由题意得BPt，CP1t，0t1.DAQ45°，DQtan(45°)，CQ1，所以PQ.所以lCPCQPQ1t1t1t2，是定值(2)由题意，SS正方形ABCDSADQSABP1t·2.因为1t0，所以S222，当且仅当(1t)，即t1时取等号答：探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2)平方百米解法2设DQx，BPy，DAQ，BAP，则tanx，tany，因为PAQ45°，所以45°，所以tan()1，即1xyxy.(1)lCPCQPQ1x1y2(xy)2(xy)2(定值)(2)因为1xyxy，所以xy，所以xy1，解得xy(21)由题意SS正方形ABCDSABPSADQ1xy1(xy)1×2(1)2，当且仅当xy1时取等号答：探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2)平方百米解法3(1)同解法1或解法2.(2)由解法1，设PAB，则QAD，所以S111111，当cos1，即时，Smax11(1)1(1)2，所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S取得最大值(2)平方百米变式联想变式1答案：APBP1.解析：由上例解法2，可知S1xy(xy)，S2(1x)(1y)，所以2，因为1xyxy，所以xy，所以xy1，解得xy2(1)，所以21，当且仅当xy1时取得等号答：当APBP(1) m时，游客观赏景观的视角效果最好变式2答案：(1)l，；(2)BEAE50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40 000(1)元解析：(1)由题意，在RtBOE中，OB50，B90°，BOE，OE，RtAOF中，OA50，A90°，AFO，OF.又EOF90°，EF，所以lOEOFEF，即l.当点F在点D时，这时角最小，求得此时；当点E在C点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF的周长l的最小值即可由(1)得，l，设sincost，则sin·cos，l.由，得，得t，t11，从而11，当，即BE50时，lmin100(1)，答：当BEAE50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40 000(1)元说明：涉及平面图形的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合所给平面图形的结构特征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知识予以解决，如例题和变式题，就运用了基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值等数学知识和方法串讲激活串讲1答案：(1)y，；(2)当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边 km处解析：(1)由条件可知PQ垂直平分AB，BAOrad，则OAOB，又OP1010tan，所以yOAOBOP1010tan，0.(2)由(1)得y，所以y，令y0，得sin，又0，所以，当0时，y0，y是的减函数；时，y0，y是的增函数当时，ymin1010.答：当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边 km处串讲2答案：(1)l8242(xy) cm；(2)164 cm.解析：(1)由题意，水平方向每根支条长为m15x cm，竖直方向每根支条长为n13 cm，菱形的边长为 cm.从而，所需木料的长度之和L2(15x)48×8242(xy) cm.(2)由题意，有可得x13.又xy13，即y，所以L8242.令tx，其导函数10在x13上恒成立，故tx在上单调递增，所以可得t.则L8222822t822.因为函数y和y在t上均为增函数，所以L822在t上为增函数，故当t33，即x13，y20时L有最小值164.答：做这样一个窗芯至少需要164 cm长的条形木料新题在线答案：(1)S矩形ABCD800(4sincoscos)，SCDP1 600(cossincos)，sin；(2)当时， 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大解析：(1)如图，由题意知，PHMN，所以OH10.过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE，故OE40cos，EC40sin，则矩形ABCD的面积为2×40cos(40sin10)800(4sincoscos)，CDP的面积为×2×40cos(4040sin)1 600(cossincos)过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GKKN10.令GOK0，则sin0，0.当时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin的取值范围是.答：矩形ABCD的面积为800(4sincoscos)平方米，CDP的面积为1 600(cossincos)平方米，sin的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为 4k, 乙的单位面积的年产值为 3k(k>0)，则年总产值为4k×800(4sincoscos)3k×1600(cossincos) 8 000k(sincoscos)，.设f() sincoscos，则f()cos2sin2sin(2 sin2sin1) (2sin1)(sin1)令f()0, 得 ，当时，f()>0，所以f()为增函数；当时，f()<0，所以f()为减函数，因此，当时，f()取到最大值答：当时， 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大