河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题(解析版).docx

南阳一中2023年春期高一第二次月考数学试题一、选择题（其中1-8题为单选题；9-12题为多选题；每小题5分共60分）1. 化成的形式是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据角度制和弧度制的关系求解.【详解】因为，所以，故选:B.2. 化简：（1），（2），（3）， （4），结果为零向量的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由平面向量的加法法则与减法法则求解即可【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；故选：C3. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值求得正确答案.【详解】的定义域为，所以为偶函数，图象关于轴对称，排除C，D选项；，排除B选项.所以A选项正确.故选：A4. 是所在平面上一点，若，则是的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，即可得出结论.【详解】因为，则，所以，同理可得，故是的垂心.故选：D.5. 已知灯塔在海洋观测站的北偏东的方向上，两点间的距离为5海里.某时刻货船在海洋观测站的南偏东的方向上，此时两点间的距离为8海里，该时刻货船与灯塔间的距离为（ ）A. 3海里B. 4海里C. 6海里D. 7海里【答案】D【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用余弦定理求解.【详解】根据题意，画出示意图，由已知可得，由余弦定理可得，所以，所以，故选：D.6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函数性质知，当时，同为正数，相同正数次方，大小不变，从而求得结果.【详解】由三角函数性质知，当时，当时，则，故，则则即故选：B7. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）A. 11B. 12C. 15D. 16【答案】B【解析】【分析】根据斐波那契螺旋线的特点，首先求出正方形的边长，再由弧长公式求题图中斐波那契螺旋线的长度.【详解】不妨设正方形的边长为，则，解得，所以图中斐波那契螺旋线的长度为故选：B8. 在中，点E、F分别在边AB、AC上，D为BC的中点，满足，则（ ）A. 0B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别表示出，然后由向量的数量积运算即可得到结果.【详解】设，则由题意得，同理因为，所以，整理得，即，解得故选:D9. 已知平行四边形的三个顶点坐标为，则第四个顶点的坐标可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】分析】设，进而分三类情况讨论求解即可得答案.【详解】设，所以当平行四边形以为邻边时，第四个顶点为，则，此时；当平行四边形以为邻边时，第四个顶点为，则，此时；当平行四边形以为邻边时，第四个顶点为，则，此时；故第四个顶点的坐标可能是，故选：ABC10. 已知函数，对于下列说法正确的有（ ）A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可B. 在内的单调递减区间为C. 的图象关于直线对称D. 为奇函数【答案】CD【解析】【分析】对于A，利用平移变换即可求解；对于B，求出的单调减区间即可；对于C，代入检验即可；对于D，化简即可【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可得函数，故A不正确；对于B，令，可得，取时，减区间为，时，减区间为，在内的单调递减区间为，故B不正确；对于C，当时，恰好是函数的最大值，的图象关于直线对称，故C正确；对于D，为奇函数，故D正确故选：CD11. 如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 当为线段上的中点时，B. 的最大值为C. 的取值范围为D. 的取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项.【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，则，设，则，因为，所以，所以，即，对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；对于选项B，当时，取最大值为，B正确；对于选项C，因为，所以，的取值范围为，C正确；对于选项D，所以，所以的取值范围为，D错误.故选：ABC.12. 已知函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ）A B. C. D. 取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图像，结合图像对选项逐一分析即可得解.【详解】对于A，当时，则，易得在上单调递减，且，当时，则，易得在上单调递增，且，即，当时，则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示，因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，所以，故A正确；对于B，结合选项A中分析可得，所以，则，故B正确；对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，故C正确；对于D，当时，令，得，所以，又由图像可知同增同减，所以，故D错误.故选：【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法，（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点二、填空题（每小题5分，共20分）13. 判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是_.，；，；，；，.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理解三角形即可确定中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知正确.【详解】对于，由正弦定理得：，即，则三角形有唯一解，正确；对于，由正弦定理得：，即，或，则三角形有两解，错误；对于，由正弦定理得：，无解，错误；对于，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，正确.故答案为：.14. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.【详解】由题设可得，即,解之得，故定义域为：.故答案为：.15. 如图，已知 中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足 ，若 ，则的值为_【答案】-2【解析】【详解】 . ,化为 ,故答案为 .16. 已知中，为的外心，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，O为外接圆的圆心，过O作，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值【详解】由题意可知，为的外心，设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,因为 ，两边乘以，即，的夹角为，而，则 ，得，同理两边乘 ，即，则 得，联立解得，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将两边分别乘以，结合数量积定义化简得到关于的方程，求得答案.三、解答题（共70分）17. （）已知，求值；（）已知，求的值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）利用诱导公式和切化弦公式化简求值；（）观察角度间的联系，用诱导公式化简求值.【详解】（），则.（），.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式，诱导公式，特别注意观察角度之间的联系，属于基础题.18. 已知向量，（1）若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；（2）若x=1且为钝角，求实数y的取值范围【答案】（1）； （2）且.【解析】【分析】（1）根据三点共线可得，结合共线向量的坐标表示可得答案；（2）根据为钝角，可得且，不共线，利用坐标表示可得结果.【小问1详解】因为A，B，C三点共线，即，所以，即；【小问2详解】因为为钝角，所以且，不共线，由（1）得：当，且时，因为，不共线，所以，解得：，所以且.19. 已知某海滨浴场的海浪高度是时间（h）（）的函数，记作下表是某日各时的浪高数据.（h）03691215182124（m）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，的曲线可近似地看成是函数.（1）根据以上数据，求出函数最小正周期T、振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？【答案】（1）T=12，A=0.5，； （2）一共有6个小时.【解析】【分析】(1)根据给定的数表直接求出周期T，振幅A，进而求出函数表达式.(2)根据给定条件解不等式即可计算作答.【小问1详解】依题意，观察数表得：最小正周期，最高浪高为1.5米，最低浪高为0.5米，则，所以函数解析式为：.【小问2详解】由(1)知，令，得：，而，则，所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.20. 在中，角所对的边分别是，设向量，且（1）求角A的值；（2）若，求的周长l的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用向量垂直关系的坐标表示，余弦定理化简、计算作答.（2）由（1）中信息，利用均值不等式求解作答.【小问1详解】因，且，则，由余弦定理得，整理得：，于是得，而，所以.【小问2详解】由（1）知，当且仅当时取“=”，而，因此，即有所以的周长l的取值范围是.21. 如图所示，在中，已知点D在边BC上，且，.（1）若，求线段BC的长；（2）若点E是BC的中点，求线段AC的长.【答案】（1）.（2）AC的长为8.【解析】【分析】（1）求出，利用正弦定理求解即可（2）求出，利用，解关于的一元二次方程即可.【详解】（1）由条件可得.在中，所以，得.（2）由（1）知，因为为钝角，所以.因为，所以，所以，整理得，解得（负值舍去），所以线段AC长为8.【点睛】本题考查解三角形、正弦定理、诱导公式以及平面向量数量积的应用.22. 已知函数在上单调递减.（1）求的最大值；（2）若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；（2）根据正弦型函数的对称中心及第一问可得解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果.【小问1详解】由条件知则，由正弦函数的性质可知：又有，当时，符合题意；当时，不等式，舍去，所以的最大值为.【小问2详解】因为的图象关于点中心对称，所以.即，由（1）得：，所以，则，当时，因为在上的值域为，所以，则，解得，所以m的取值范围是.