高考数学专题4　三角形中的面积问题.docx

微专题4三角形中的面积问题与三角形面积有关的问题一直是高考的热点与重点，解决此类问题的难点是如何建立起角与边的数量关系本专题主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式等工具研究三角形面积问题，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法.例题：(2018·苏州调研测试三)已知ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足a4cosC0，b1.(1)若ABC的面积为，求a；(2)若A，求ABC的面积变式1在ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知bc2acosB.(1)若a2，B，试求ABC的面积；(2)若ABC中的面积S，求角A的大小变式2已知在ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足ca2b，5(ca)2b.(1)若ABC的面积为，求a的值；(2)若a，求ABC的面积串讲1(2018·北京西城模拟)在ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a·sinCc·sin2A.(1)求A的大小；(2)若a，b2，求ABC的面积串讲2(2018·苏州期中)设ABC角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D为AB的中点，若bacosCcsinA且CD，则ABC的面积最大值为_(2018·全国卷改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C_(2018·苏北四市)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA，tan(BA).(1)求tanB的值；(2)若c13，求ABC的面积答案：(1)3；(2)78.解析：(1)在ABC中，由cosA，得A为锐角，所以sinA，所以tanA，2分所以tanBtan(BA)A.3.6分(2)在三角形ABC中，由tanB3，所以sinB，cosB，8分由sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，10分由正弦定理，得b15，12分微专题4例题答案：(1)；(2)或.解法1(1)由SabsinCasinC得asinC，即sinC.又a4cosC，那么(a)216cos2C16(1sin2C)16，即a414a2490，得到a27，即有a.(2)由题意有a4cosC及余弦定理cosC有a4·，即a21c2，又由b2c2a22bccosA可知c2a21c，由得到c23c60，亦即(c)(c2)0，可知c或c2.经检验，c或c2均符合题意；那么，ABC的面积为SbcsinA或.解法2(1)a4cosC0得，acosC(a21)，又由SabsinCasinC可得asinC，由平方相加得a2(a21)23，即a414a2490，得到a27，即有a.(2)如图，HCBC·cosBCHacosBCA，由(1)HC(a21)，在RtBHA中，cosA，化简得a252c，又由a4cosC0可得：a0，又b1，所以a2c21，由可得c23c60(下面同解法1 )变式联想变式1答案：(1)1；(2)或.解析：由bc2acosB及正弦定理得sinBsinC2sinAcosB.因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，代入化简得：sinBsinAcosBcosAsinB，即sinBsin(AB)，因为A，B都为三角形的内角，所以BAB，即A2B.(1)当B时，A，C，由正弦定理，b4sin4sin()，SABCabsinC×2×()·sin1.(2)由S得absinCa2，即a2bsinC，即sinA2sinBsinC，因为A2B，所以sin2B2sinBsinC，即cosBsinC，又B，C是三角形的内角，所以C±B.当CB时，B，C，A；当CB时，B，C，A，综上所述，A或.变式2答案：(1)4；(2)15.解析：(1)由得所以cosC，所以sinC，由ABC的面积为可得absinC，于是可解得ab20，又ab，所以a4.(2)由已知与(1)可知a8，ba10，所以ABC的面积为absinC×8×10×15.串讲激活串讲1答案：(1)；(2)或.解析：(1)因为a·sinCc·sin2A，所以··sinC2sinAcosA.在ABC中，由正弦定理得··sinC2sinAcosA，所以cosA.因为0<A<，所以A.(2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，所以()2(2)2c22(2)·c·，整理得c26c50，解得c1，或c5，均适合题意当c1时，ABC的面积为SbcsinA.当c5时，ABC的面积为SbcsinA.串讲2答案：1.解析：由bacosCcsinA及正弦定理得sinBsinAcosCsinCsinA，又sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，所以sinAcosCcosAsinCsinAcosCsinCsinA，化简得sinC(sinAcosA)0，因为sinC0，所以sinAcosA即tanA1，又A是三角形的内角，所以A.在ACD中，由余弦定理得2b22××b·cos，化简得4b2c282bc，由基本不等式4b2c24bc，所以82bc4bc，即bc42.所以ABC的面积SbcsinA×(42)×1.新题在线答案：.解析：由题意absinC，即sinCcosC，所以tanC1，又C是三角形内角，所以C.