备战2023年高考数学二轮专题复习专题强化训练(八).docx
专题强化训练(八)一、单项选择题1.(2022·河北张家口三模)已知tan2=5-2,则coscos2sin-cos=(A)A.-65 B.-35 C.35 D.65解析:tan =2(5-2)1-(5-2)2=12,所以coscos2sin-cos=cos(cos2-sin2)sin-cos=cos(cos-sin)(cos+sin)sin-cos=-cos (cos +sin )=-cos2+sincossin2+cos2=-1+tan1+tan2=-65.故选A.2.(2022·广东梅州一模)在ABC中,若A=3,B=4,a=32,则b=(B)A.43 B.23 C.3 D.32解析:在ABC中,若A=3,B=4,a=32,由正弦定理asinA=bsinB得b=asinBsinA=32×sin4sin3=32×2232=23,所以b=23.故选B.3.(2022·湖南宁乡模拟预测)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2bsin A=3a,则B=(D)A.6 B.6或56C.3 D.3或23解析:因为在ABC中,2bsin A=3a,所以2sin Bsin A=3sin A,因为sin A0,所以sin B=32,因为B(0,), 所以B=3或23.故选D.4.(2022·山东泰安一模)已知sin(3-)=14,则sin(6-2)等于(B)A.78 B.-78 C.±78 D.-18解析:sin(6-2)=sin2(3-)-2=-cos2(3-)=-1-2sin2(3-)=-(1-18)=-78.故选B.5.(2022·湖南衡阳二模)黄金分割的数值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin 18°,若m2+n=4,则mn2cos227°-1=(C)A.8B.4C.2D.1解析:因为m=2sin 18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin2 18°=4cos2 18°.所以mn2cos227°-1=2sin18°4cos218°2cos227°-1=4sin18°cos18°2cos227°-1=2sin36°cos54°=2sin36°sin36°=2.故选C.6.(2022·湖南衡阳二模)设a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+3c)sin(A+C)=(a+c)(sin A-sin C),设D是BC边的中点,且ABC的面积为1,则AB·(DA+DB)等于(B)A.2 B.23 C.-23 D.-2解析:因为(b+3c)sin(A+C)=(a+c)(sin A-sin C),所以由正弦定理可得(b+3c)b=(a+c)(a-c),整理可得b2+c2-a2=-3bc,所以由余弦定理可得cos A=-32,由A(0,),可得A=56.又ABC的面积为1,即12bcsin56=1,所以bc=4.又AB·(DA+DB)=(DB-DA)·(DA+DB)=DB2-DA2=CB24-(AB+AC)24=(AB-AC)24-(AB+AC)24=-4AB·AC4=-AB·AC=-bccos A=23.故选B.二、多项选择题7.(2022·重庆八中模拟预测)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是(ACD)A.bsinB=a+b+csinA+sinB+sinCB.若A>B,则sin 2A>sin 2BC.a=bcos C+ccos BD.若(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0,且AB|AB|·AC|AC|=12,则ABC为等边三角形 解析:由asinA=bsinB=csinC,根据等比的性质有bsinB=a+b+csinA+sinB+sinC,A正确;当A=3,B=6时,有sin 2A=sin 2B,B错误;sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),而B+C=-A,即sin Bcos C+sin Ccos B=sin A,由正弦定理易得a=bcos C+ccos B,C正确;如图,AE=AB|AB|,AF=AC|AC|,两者都是单位向量,则AB|AB|+AC|AC|=AE+AF=AG,即AG·BC=0,AE·AF=12,则AGBC且AG平分BAC,AE,AF的夹角为3, 易知ABC为等边三角形,D正确.故选ACD.8.(2022·河北石家庄二中模拟预测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列条件能判断ABC是钝角三角形的有(AC)A.a=2,b=3,c=4B.AB·BC=-2aC.sinA-sinBsinC+sinB=ca+bD.b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C解析:因为a=2,b=3,c=4,所以角C最大,由cos C=22+32-422×2×3=-14<02<C<,所以ABC是钝角三角形,A正确;由AB·BC=-2a-cacos B=-2accos B=2B(0,2),不能判断ABC是钝角三角形,B不正确;根据正弦定理,由sinA-sinBsinC+sinB=ca+ba-bc+b=ca+ba2=b2+c2+bc,由余弦定理可知cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12A=23,所以ABC是钝角三角形,C正确;根据正弦定理,由b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos Csin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos Csin Bsin C=cos Bcos Ccos(B+C)=0cos(-A)=0cos A=0A=2,所以ABC是直角三角形,D不正确.故选AC.三、填空题9.(2022·河北石家庄一模)已知角(0,2),tan12=sin-sin12cos+cos12,则=. 解析:因为tan12=sin-sin12cos+cos12,所以sin12cos12=sin-sin12cos+cos12,所以sin12(cos +cos12)=cos12(sin -sin12),所以sin12cos +sin12cos12=cos12sin -cos12sin12,所以sin12cos12+cos12sin12=cos12sin -sin12cos ,所以sin6=sin(-12),因为(0,2),所以-12(-12,512),所以6=-12,则=12+6=4.答案:410.(2022·浙江嘉兴二模)在锐角三角形ABC中,AB=3,B=3,点D在线段BC上,且DC=2BD,AD=7,则sinADC=,AC=.解析:在ABD中,由正弦定理得ABsinADB=ADsinB,即3sinADB=732,解得sinADB=32114,所以sinADC=sin(-ADB)=sinADB=32114.由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,即7=9+BD2-3BD,解得BD=1或BD=2.当BD=1时,BC=3,此时AB=BC且B=3,即ABC为等边三角形,则AC=3.当BD=2时,BC=6,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即AC2=9+36-2×3×6×12=27,解得AC=33,此时AC2+AB2=BC2,即ABC为直角三角形,不符合题意,故舍去.答案:32114 3四、解答题11.(2022·广东潮州二模)已知在ABC中,A,B,C为三个内角,所对的三边分别为a,b,c,c=2bcos B,C=23.(1)求角B的大小;(2)在下列两个条件中选择一个作为已知,求出BC边上的中线的长度.ABC的面积为334;ABC的周长为4+23.解:(1)由c=2bcos B,及正弦定理可得sin C=2sin Bcos B,所以sin 2B=sin23=32.因为C=23,所以B(0,3),2B(0,23),所以2B=3,解得B=6.(2)若选择,由(1)可得A=6,即a=b,则SABC=12absin C=12a2·32=334,解得a=3,则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为b2+(a2) 2-2·b·a2·cos23=3+34+3×32=212.若选择,由(1)可得A=6,设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得a=b=2Rsin6=R,c=2Rsin23=3R,则周长为a+b+c=2R+3R=4+23,解得R=2,则a=2,c=23,由余弦定理可得BC边上的中线的长度为(23)2+12-2×23×1×cos6=7.12.(2022·广东江门模拟预测)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C.(1)求B的大小;(2)若c=23,求a的取值范围.解:(1) 因为(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C,所以由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(a-c)c,化简得a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,因为B(0,),所以B=3.(2) 因为B=3,所以A+C=-B=23,由正弦定理,得asinA=csinC,所以a=csinC·sin A=23sin(23-C)sinC=23(32cosC+12sinC)sinC=3+3tanC,因为ABC为锐角三角形,所以0<C<2,0<23-C<2,得6<C<2,所以tan C>33,所以0<3tanC<33,所以3<3+3tanC<43,所以3<a<43,即a的取值范围为(3,43).
