福建省福州市闽侯县第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题.docx

闽侯一中2022-2023学年第二学期高一年级第一次月考试卷数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知向量，则A.52B.-3C.-10D.33.已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则A.B.C.D.4.已知a，b是实数，且，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图，在中，点D是线段上靠近A的三等分点，点E是线段的中点，则（ ）A.B.C.D.6.已知在平行四边形中，对角线与相交于点M，A.B.C.D.7.已知向量，则的值是（ ）A.B.-2C.D.8.已知函数的定义域是R，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.的最小值为6D.若与的夹角为锐角，则10.设实数a，b满足，则下列不等式中正确的是（ ）A.B.C.D.11.已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）A.若，则是等腰三角形B.若，则C.若是锐角三角形，则D.若，则的面积为或12.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.函数是偶函数D.关于x的不等式的解集为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_.14.设向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是_.15.在中，C边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为_.16.如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）18.在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.19.已知向量，满足，且.（1）求；（2）记向量与向量的夹角为，求.20.某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时.（1）求B点到D点的距离；（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.21.如下图，在中，P为边上的一点，且与的夹角为.（1）求的模长；（2）求的值.22.已知函数，其中e为自然对数的底数，记.（1）解不等式；（2）若存在，使得成立，求实数k的取值范围.闽侯一中2022-2023学年第二学期高一年级第一次月考数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D 7.A 8.D4.【详解】因为，满足，但不满足，故充分性不满足；因为等价于，所以，因为，所以a，b不同时为0，所以能得到，故必要性满足，所以“”是“”的必要不充分条件故选：B8.【解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，所以的图象的对称中心是，故是R上的奇函数，所以，对任意的。，且，都有成立，所以，令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，由是R上的奇函数可得是上的偶函数所以在上单调递减，当时，不等式得到，矛盾；当时，转化成即，所以；当时，转化成，所以，综上所述，不等式的解集为。故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.BC【详解】解：向量，若，则，解得或，故A错误；若，则向量，由，所以，故B正确；，当且仅当时取等号，故的最小值为6；故C正确；若与的夹角为锐角，且与不共线，即，且，解得且，故D错误，10.BC【详解】对于，即，A错误；对于B：函数在R上的单调递减，又，B正确；对于C：函数在上的单调递增，又，C正确；对于D：函数，在上的单调递增，又，D错误；11.BCD解：对于A：若，则，整理得：或，即或，故为直角三角形或等腰三角形，故A错误；对于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正确；对于C：是锐角三角形，所以，整理得，故，整理得：，故C正确；对于D：由余弦定理，即，解得或，所以或，故D正确；12.【答案】ACD【解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足，则当时，则，故，则，同理当时，则，故，则，综合可知，A正确；B错误.将的图象向左平移1个单位，即得函数，的图象，则的图象关于y轴对称，故为偶函数，C正确；当时，令，解得，故；当时，令，解得，故，综合可得，即不等式的解集为，D正确，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.116.13.解：由题意得，则，所以，所以，则.14.解：向量，且，向量在向量方向上的投影是15.【详解】如图，在中，设D为边的中点，则，所以，故，而，所以，则，由于，故，所以，设的外接圆的半径为R，则，16.解：在中，令，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）5（2）2【小问1详解】；【小问2详解】.18.【答案】（1）（2）【详解】（1）由已知及正弦定理知：.因为C为锐角，则，所以.因为A为锐角，则（2）由余弦定理，.则，即即，因为，则，所以的面积.19.【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，所以.因为向量，满足，所以，所以.所以.（2）因为，所以.20.【答案】（1）50海里；（2）2小时【详解】（1）由题意知：，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以海里，（2）在中，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的时间为小时，所以B点到D点的距离海里，救援船到达D点需要的时间为2小时.21.【答案】（1）；（2）1）因为，所以因为，与的夹角为所以所以2）（也可以用坐标运算）。22.【答案】（1）；（2）【小问1详解】函数，则不等式化为：，即，而，因此，解得，所以原不等式的解集是【小问2详解】依题意，当时，则，令，因为，则，因此，即，则有函数在上单调递增，于是当时，即，从而所以实数k的取值范围是.