备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第二册第七章第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积.docx
第七章立体几何与空间向量(必修第二册+选择性必修第一册)第1节立体图形及其直观图、 简单几何体的表面积与体积 选题明细表 知识点、方法题号空间几何体的结构特征、直观图1,2,10空间几何体的表面积与体积3,4,5,7,8,9折叠与展开问题6,12综合问题11,13,14,151.给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是(A)A.0B.1C.2D.3解析:不一定,只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线;不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图所示;不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体;错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.2.如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6 cm,OC=2 cm,则原图形是(C)A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四边形解析:在原图形OABC中,应有OACB,所以四边形OABC为平行四边形,OD=2OD=2×22=42(cm),CD=CD=2 cm,所以OC=OD2+CD2=(42)2+22=6(cm),所以OA=OC,故四边形OABC是菱形.3.算术书竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的数学著作,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3,那么,近似公式V25942l2h相当于将圆锥体积公式中的近似取(C)A.227 B.258 C.15750 D.355113解析:V=13r2h=13·(l2)2h=112l2h.由11225942,得15750.4.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图,已知扇形所在圆的半径R=5,扇形弧长l=4,则该圆锥的表面积为(B)A.2B.(4+25)C.(3+5)D.8+5解析:圆锥的侧面展开图中,扇形所在圆的半径R=5,扇形弧长l=4,所以扇形的面积为S扇形=12×5×4=25.设圆锥的底面圆半径为r,则2r=4,解得r=2,所以底面圆的面积为S底面圆=×22=4.所以该圆锥的表面积为S=25+4=(4+25).5.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积是球的表面积的(A)A.316 B.916 C.38 D.58解析:如图所示的是过球心的截面图,r=R2-14R2=32R,S圆S球=(32R) 24R2=316.6.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=4,AB=1.一只蚂蚁从A点出发,沿每个侧面爬到A1,路线为AMNA1,则蚂蚁爬行的最短路程是 . 解析:将三棱柱的侧面展开得如图,所以蚂蚁爬行的最短路程是线段AA1=32+42=5.答案:57.某公园设置了一些石凳供大家休息,每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的,如图所示.如果一张石凳的体积是0.18 m3,那么原正方体石料的体积是 m3. 解析:设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3,每一个截去的四面体的体积为13×12·a2·a2·a2=a348,由题意可知a3-8·a348=0.18,得a3=0.216.答案:0.2168.已知圆锥同时满足条件:侧面展开图为半圆;底面半径为正整数,请写出一个这样的圆锥的体积V= . 解析:设底面半径r=1,母线长为l,由展开图为半圆,可知2=l·,所以l=2,所以圆锥的高h=l2-r2=3,则体积V=13r2·h=33.答案:33(答案不唯一)9.如图,在ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB平面ABC,且AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解:法一如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.由题意知三棱柱ABCNDM的体积为V1=12×8×6×3=72.四棱锥DMNEF的体积为V2=13·S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA=BB=CC=8,所以V几何体=12V三棱柱=12·SABC·AA=12×24×8=96.10.(多选题)如图所示的是水平放置的三角形直观图,D是ABC中BC边上的一点,且DC<DB,又ADy轴,那么原ABC的AB,AD,AC三条线段中(AD)A.最长的是AB B.最长的是ACC.最短的是AC D.最短的是AD解析:由题意得到原ABC的平面图如图所示.其中,ADBC,BD>DC,所以AB>AC>AD,所以AB,AD,AC三条线段中最长的是AB,最短的是AD.11.(多选题)(2022·广东广州三模)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,则下列说法正确的是(BCD)A.该圆台的高为1 cmB.该圆台轴截面面积为33 cm2C.该圆台的体积为733 cm3D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5 cm解析:如图(1)所示,作BECD交CD于点E,易得CE=CD-AB2=1,则BE=22-12=3,则圆台的高为3 cm,A错误;圆台的轴截面面积为12×(2+4)×3=33 cm2,B正确;圆台的体积为13×3×(+4+·4)=733 cm3,C正确;将圆台一半侧面展开,如图(2)阴影部分所示,设P为AD的中点,由O2BO1C=12可得OBOC=12,则OC=4,COD=424=2,又OP=OA+AD2=3,则CP=42+32=5,即点C到AD的中点所经过的最短路程为5 cm,D正确.12.(2022·河南郑州二模)在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,P是线段BC1上的一动点,则A1P+PC的最小值为. 解析:如图,连接A1B,A1C1,将BCC1沿BC1翻折到与A1BC1在同一个平面,如图所示.已知A1BC1为等边三角形,BCC1为等腰三角形,两个三角形有公共边BC1,则当P是BC1的中点时,A1,P,C三点共线,此时A1P+PC取最小值6+2.答案:6+213.如图所示,OABC为四边形OABC的斜二测直观图,其中OA=3,OC=1,BC=1.(1)画出四边形OABC的平面图形,标出边长,并求平面四边形OABC的面积;(2)若该四边形OABC以OA所在直线为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.解:(1)平面四边形OABC的平面图形如图所示.由图可知,平面四边形OABC为直角梯形,其面积为(1+3)×22=4.(2)旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥,由(1)可知几何体底面圆半径r=2,圆柱高h1=1,圆锥的高h2=2,圆锥的母线长l=22,所以体积V=V柱+V锥=r2h1+13r2h2=4+83=203,所以表面积S=r2+2rh1+rl=4+4+42=(8+42).14.已知圆锥的侧面展开图为半圆,母线长为23.(1)求圆锥的底面积;(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.解:(1)设OB=R,由题意,AB=23,因为圆锥的侧面展开图为半圆,则2R=23,所以R=3,故圆锥的底面积为R2=3.(2)设圆柱的高OO1=h,OD=r,在RtAOB中,AO=AB2-OB2=3,因为AO1D1AOB,所以AO1AO=O1D1OB,即3-h3=r3,h=3-3r,S圆柱侧=2rh=2r(3-3r)=-23(r2-3r)=-23(r-32)2+332,所以当r=32,h=32时,圆柱的侧面积最大,此时圆柱的体积V=r2h=98.15.中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分,计算其体积所用的“幂势既同,则积不容异”是中国古代数学的研究成果,根据此原理,取牟合方盖的一半,其体积等于与其同底等高的正四棱柱中,去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积(如图1所示).现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上,三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等,三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体,该几何体中间截面三角形边长为833,则该几何体的体积为 . 解析:根据题意,题图2立体图形的一半,其体积等于与其同底等高的正三棱柱中,去掉一个与其同底等高正的三棱锥之后的体积,因为该几何体中间截面三角形边长为833,所以该底面积S=12×833×833sin 60°=1633,因为圆柱的直径为4,所以该几何体一半的高为2,所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2,所以对应正三棱柱的体积V=1633×2=3233,正三棱锥的体积V1=13×1633×2=3239,所以该几何体的体积为2(V-V1)=12839.答案:12839
