备战2024年高考数学一轮复习人教a选择性必修第二册第三章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值课时作业.docx
第3节导数与函数的极值、最值选题明细表 知识点、方法题号导数研究函数的极值1,2,6,8,9,10,11,13导数研究函数的最值3,4,5,7,12,141.函数f(x)=x3-3x2+3x的极值点的个数是(A)A.0B.1C.2D.3解析:f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,当x=1时导函数值为0,但在此零点两侧导函数均大于0,所以此处不是函数的极值点,所以函数极值点个数为0.2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(B)A.1B.2C.3D.4解析:由函数极值的定义和导函数的图象可知,f(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.3.(2022·重庆联考)函数f(x)=x+2cos x在0,上的最大值为(D)A.-2B.6C.2 D.6+3解析:由题意得,f(x)=1-2sin x,所以当0sin x12,即x在0,6和56,上时,f(x)0,f(x)单调递增;当12<sin x1,即x在(6,56)上时,f(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)有极大值f(6)=6+3,极小值f(56)=56-3,而端点值f(0)=2,f()=-2,则f(6)>f(0)>f()>f(56),所以f(x)在0,上的最大值为6+3.4.设圆柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面半径为(D)A.3V B.3V C.34V D.3V2解析:设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则V=r2h,即h=Vr2,所以S=2rh+2r2=2r·Vr2+2r2=2Vr+2r2,S=4r-2Vr2=4r3-2Vr2,由S>0得,r>3V2;由S<0得,0<r<3V2,所以r=3V2时,圆柱的表面积最小.5.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(C)A.-5,0)B.(-5,0)C.-3,0)D.(-3,0)解析:由题意,f(x)=x2+2x=x(x+2),当x<-2或x>0时,f(x)>0;当-2<x<0时,f(x)<0.故f(x)在(-,-2),(0,+)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,所以函数f(x)的极小值为f(0)=-23.作其图象如图,令13x3+x2-23=-23,得x3+3x2=0,解得x=0或x=-3,结合图象可知-3a<0,a+5>0,解得a-3,0).6.(2021·河南郑州一模)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在极小值,则a的取值范围是. 解析:函数f(x)的导函数为f(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2).因为函数f(x)的定义域为R,所以若f(x)存在极小值,即函数f(x)有极小值点,所以x2+4x+a+2=0有两个不相等的实数根,=16-4(a+2)>0,解得a<2.答案:(-,2)7.(2021·新高考卷)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为.解析:函数f(x)=|2x-1|-2ln x的定义域为(0,+).当x>12时,f(x)=2x-1-2ln x,所以f(x)=2-2x=2(x-1)x,当12<x<1时,f(x)<0,当x>1时,f(x)>0,所以f(x)min=f(1)=2-1-2ln 1=1;当0<x12时,f(x)=1-2x-2ln x在(0,12上单调递减,所以f(x)min=f(12)=-2ln 12=2ln 2=ln 4>ln e=1.综上,f(x)min=1.答案:18.已知x=0是f(x)=(x-a)ex+1的极值点,则a=. 解析:因为f(x)=(x-a)ex+1,所以f(x)=(x-a+1)ex,因为x=0是函数f(x)的极值点,则f(0)=0,得1-a=0,解得a=1,当a=1时,f(x)=xex,当x<0时,f(x)<0,则f(x)单调递减,当x>0时,f(x)>0,则f(x)单调递增,所以x=0是函数f(x)的极值点,故a=1.答案:19.已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)当a=12时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解:(1)当a=12时,f(x)=ln x-12x,函数的定义域为(0,+)且f(x)=1x-12=2-x2x,令f(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表所示,x(0,2)2(2,+)f(x)+0-f(x)单调递增ln 2-1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-a=1-axx(x>0).当a0时,f(x)>0在(0,+)上恒成立,则函数在(0,+)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当a>0时,若x(0,1a),则f(x)>0,若x(1a,+),则f(x)<0,故函数在x=1a处有极大值.综上可知,当a0时,函数f(x)无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点x=1a.10.(多选题)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,下列结论正确的是(AD)A.0<x0<1e B.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>0解析:函数f(x)=xln x+x2(x>0),所以f(x)=ln x+1+2x,因为x0是函数f(x)的极值点,所以f(x0)=0,即ln x0+1+2x0=0,又f(1e)=2e>0,所以当x>1e时,f(x)>0,因为当x0时,f(x)-,所以0<x0<1e,故A正确,B不正确;f(x0)+2x0=x0ln x0+x02+2x0=x0(ln x0+x0+2)=x0(1-x0)>0,故D正确,C不正确.11.已知函数f(x)=xln x+mex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数m的取值范围是. 解析:f(x)=xln x+mex(x>0),所以f(x)=ln x+1+mex(x>0),令f(x)=0,得-m=lnx+1ex,设g(x)=lnx+1ex,则g(x)=1x-lnx-1ex(x>0),令h(x)=1x-ln x-1,则h(x)=-1x2-1x<0(x>0),所以h(x)在(0,+)上单调递减且h(1)=0,所以当x(0,1时,h(x)0,即g(x)0,g(x)在(0,1上单调递增;当x(1,+)时,h(x)<0,即g(x)<0,g(x)在(1,+)上单调递减,故g(x)max=g(1)=1e,而当x0时,g(x)-,当x+时,g(x)0,若f(x)有两极值点,只要y=-m和g(x)的图象在(0,+)上有两个交点,只需0<-m<1e,故-1e<m<0.答案:(-1e,0)12.已知函数f(x)=ln(x+1)x.(1)证明:函数f(x)在(0,+)上单调递减;(2)当x>0时,求g(x)=f(x)+f(1x)的最大值.(1)证明:f(x)=xx+1-ln(x+1)x2,令h(x)=xx+1-ln(x+1)(x>-1),h(x)=-x(x+1)2,令h(x)>0,解得-1<x<0,故h(x)在(-1,0)上单调递增,(0,+)上单调递减,故h(x)的最大值为h(0)=0,故f(x)<0,故f(x)在(-1,+)上单调递减,即函数在(0,+)上单调递减.(2)解:g(x)=f(x)+f(1x)=ln(x+1)x+xln(1x+1),因为g(x)=g(1x),故研究g(x)在(0,+)的最大值等价于研究函数g(x)在(0,1的最大值,g(x)=(1-1x2)ln(1+x)-ln x+1x-2x+1,g(x)=2x3ln(1+x)-2x2+x(x+1)2,令(x)=ln(1+x)-2x2+x(x+1)2,(x)=x(x-1)(x+1)3,因为0<x1,故(x)<0,故(x)<(0)=0,故g(x)<0,故g(x)在(0,1上单调递减,故g(x)g(1)=0,故g(x)在(0,1上单调递增,故g(x)的最大值为g(1)=2ln 2.综上所述,g(x)的最大值为2ln 2.13.已知函数f(x)=ln x+ax,aR.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=f(x)-1x,若g(x)在1,e2上存在极值,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,函数f(x)=ln x+1x,其定义域为(0,+),可得f(x)=1x-1x2=x-1x2,当x(0,1)时,f(x)<0,f(x)单调递减;当x(1,+)时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).(2)由g(x)=f(x)-1x=lnxx+ax2-1x,x1,e2,可得g(x)=1-lnxx2+1x2-2ax3=2x-xlnx-2ax3,设h(x)=2x-xln x-2a,则h(x)=2-(1+ln x)=1-ln x,令h(x)=0,即1-ln x=0,解得x=e,当x1,e)时,h(x)>0;当x(e,e2时,h(x)<0,所以h(x)在区间1,e)上单调递增,在区间(e,e2上单调递减,且h(1)=2-2a,h(e)=e-2a,h(e2)=-2a,显然h(1)>h(e2),若g(x)在1,e2上存在极值,则满足h(e)>0,h(1)<0或h(1)0,h(e2)<0,解得0<a<e2.综上可得,当0<a<e2时,g(x)在1,e2上存在极值,所以实数a的取值范围为(0,e2).14.若函数f(x)=13x3-ax2+x-5无极值点,则实数a的取值范围是()A.(-1,1)B.-1,1C.(-,-1)(1,+)D.(-,-11,+)解析:因为f(x)=13x3-ax2+x-5,所以f(x)=x2-2ax+1.由函数f(x)=13x3-ax2+x-5无极值点知f(x)=0至多有1个实数根,所以=(-2a)2-40,解得-1a1,所以实数a的取值范围是-1,1.
