备战2024年高考数学一轮复习热点知识归纳常用结论提升真题练30线线角、线面角、二面角与距离问题(四大经典题型)(原卷附答案).docx

考向30 线线角、线面角、二面角与距离问题经典题型一：异面直线所成角经典题型二：线面角经典题型三：二面角经典题型四：距离问题方法技巧1：线与线的夹角（1）位置关系的分类：（2）异面直线所成的角定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）范围：求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形方法技巧2：线与面的夹角定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角范围：求法：常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角接下来在中解三角形即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；方法技巧3：二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面（二面角或者是二面角）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围（3）二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可） 法二：三垂线法在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角如图1，具体步骤：找点做面的垂线；即过点，作于；过点（与中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；计算：为二面角的平面角，在中解三角形 图1 图2 图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角如图3此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了方法技巧4：空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解经典题型一：异面直线所成角1（2022·江西·高三开学考试（理）已知三棱锥中，平面，且，D，E分别为SA，BC的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（    ）ABCD2（多选题）（2022·湖北·高三开学考试）在长方体中，则（    ）A平面平面B直线与所成的角为CA到平面BDD1B1的距离为D直线与所成的角为3（2022·全国·高三专题练习）已知异面直线，的夹角为，若过空间中一点，作与两异面直线夹角均为的直线可以作4条，则的取值范围是_.4（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形中，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为_.经典题型二：线面角5（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，平面，则与平面所成的角为（    ）ABCD6（2022·甘肃白银·高三开学考试（文）在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBC，且，则直线AB与平面ACD所成的角为（    ）ABCD7（2022·四川·高三阶段练习（理）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）ABCD8（2022·河南·高三阶段练习（文）在四棱柱中，交平面于点M，M为的垂心，.(1)证明：平面平面；(2)，求与平面所成角的正弦值.9（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥中，平面，且.(1)求证：平面；(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.10（2022·全国·高三专题练习（文）已知正三棱柱中，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积经典题型三：二面角11（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）在等腰梯形（图1）中，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.(1)证明：平面.(2)证明：平面.(3)求二面角的正切值.12（2022·江苏南通·高三开学考试）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，且，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.13（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，点为的中点(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；14（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）如图，在直角梯形中，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）(1)证明：平面平面；(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由15（2022·浙江·高三开学考试）在三棱锥中，为的垂心，连接.(1)证明：；(2)若平面把三棱锥分成体积相等的两部分，与平面所成角的，求平面与平面所成角的余弦值.16（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形是边长为的菱形，四边形是矩形，且平面平面(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面的夹角的大小；经典题型四：距离问题17（2022·重庆模拟题）如图，在直三棱柱ABC中， AB = 1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5（1）求异面直线DE与的距离；18（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理）已知在正四面体PABC中，D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，若PE4，PFPD2，则点P到平面DEF的距离为（    ）ABCD19（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.直线与平面的距离为（ ）ABCD20（2022·全国·高三专题练习）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，.固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，四点，则的值为（    ）ABCD21（2022·全国·高三专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（    ）ABCD1（2022·全国·高考真题（理）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ）ABAB与平面所成的角为CD与平面所成的角为2（2021·全国·高考真题（理）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）ABCD3（2020·海南·高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ）A20°B40°C50°D90°4（2019·全国·高考真题（文）已知ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_5（2021·全国·高考真题（理）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值6（2021·全国·高考真题（理）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?7（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.8（2020·山东·高考真题）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.9（2020·北京·高考真题）如图，在正方体中， E为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值10（2020·浙江·高考真题）如图，三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACB=ACD=45°，DC =2BC （I）证明：EFDB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值11（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值12（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；经典题型一：异面直线所成角1【答案】B【解析】如图所示，分别取SC，AC的中点F，G，连接DF，EF，EG，DG，则，所以（或其补角）为异面直线DE与AC所成的角，设，则由和平面ABC，易得，因为，所以在中，由余定理得，所以异面直线DE与AC所成角的余弦值为故选：B2【答案】AB【解析】对于选项A， 设，连接，平面平面，所以分别是平面、平面的中心，因为平面，所以平面，平面，所以，即即为平面与平面二面角的平面角，因为，所以四边形为正方形，所以，故A正确；对于选项B，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角,由四边形为正方形，所以，所以直线与所成的角为，故B正确；对于选项C， 做交于， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以的长度即为点到平面的距离，因为，可得，故C错误；对于选项D，连接，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，,，由余弦定理得，故D错误.故选：AB.3【答案】【解析】如图，将异面直线a、b平移到过P点，此时两相交直线确定的平面为，如图，a平移为，即PA，b平移为，即BE设APB=，PC且PC是APB的角平分线，则PC与和的夹角相等，即PC与a、b夹角均相等，将直线PC绕着P点向上旋转到PD，当平面PCD时，PD与、的夹角依然相等，即PD与a、b的夹角依然相等；将直线PC绕着P点向下旋转时也可得到与a、b的夹角均相等的另外一条直线，易知PC与PA夹角为，当PC向上或向下旋转的过程中，PC与PA夹角增大，则若要存在与两异面直线夹角均为的直线，有；同理，APE=，将APE的角平分线绕着P向上或向下旋转可得两条直线与a、b的夹角均为，则，如此，即可作出4条直线与异面直线a、b夹角均为，又0，故答案为：4【答案】2或【解析】由题设，即，由平行四边形的性质及勾股定理易知：、为等腰直角三角形，将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为，如上图示，作，且、交于，显然为正方形，或，又，则，或，因为，所以，结合，所以平面，在中，当时，；当时，故答案为：2或.经典题型二：线面角5【答案】A【解析】将棱台补全为如下棱锥，由，易知：，由平面，平面，则，所以，故，所以，若到面的距离为h，又，则，可得，综上，与平面所成角，则，即.故选：A6【答案】C【解析】因为AB平面BCD，所以ABCD.又CDBC，平面ABC，平面ABC，所以CD平面ABC又平面ACD，所以面平面ABC作BEAC，垂足为E.则平面ACD.所以BAE是直线AB与平面ACD所成的角.在直角三角形ABC中，因为，所以故选：C7【答案】B【解析】设，的中点为，连接，过作交于,因为平面，且，可知,由于是中点,因此平面,故平面,又平面,因此平面平面，且平面平面,平面,因此平面,所以是直线与平面所成的角，因为，所以.故选：B8【解析】（1）证明：如图所示，设交于点E，易知三点共线，则，又E为的中点，M为的重心，又M为的垂心，为等边三角形.取的中点H，则由可得，又，则，则，又平面，可得平面，又平面，则平面平面.（2）作垂直于的延长线于点Q，由（1）知，平面，则即为所求线面角，在中，则，则，在中，由余弦定理得：，.9【解析】（1）证明：连接，设交于点，连接，因为，所以，因为，所以，所以，又平面，平面所以平面；（2）因为平面，所以即为直线与底面所成的角的平面角，即为直线与底面所成的角的平面角，所以，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，故，所以.10【解析】（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，故平面.（2）因为平面，与平面所成的角为，因为是边长为的等边三角形，则，平面，平面，则，所以，平面，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，因为为的中点，则，则.经典题型三：二面角11【解析】（1）由题意可得，在等腰梯形中，在中，因为，所以，四边形为正方形.在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，所以，且，在正方形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，四边形是平行四边形，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，在中，因为为的中点，所以，在等腰梯形中，所以在四棱锥中，因为， 平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面；（3）在中，过点作，垂足为，连接，由（2）知平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，平面，故是二面角的平面角，由（1）知，在四棱锥中，设，则，在中，所以，在中，故二面角的正切值为.12【解析】（1）在四棱锥中，取PB的中点E，连OE，CE，如图，因为棱的中点，则，因平面，有平面，而平面，则，则有，在直角梯形中，又是边长为2的等边三角形，即，又，因此，而，则，于是得四边形为平行四边形，有，又平面，平面，所以平面.（2）因，则，由（1）知，即，解得，有，延长BC，AD交于点Q，连PQ，由且得：点D是AQ中点，即有，因此，即，由平面，平面，得,而，平面，则平面，平面，即得，因此是二面角的平面角，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.13【解析】（1）取中点，连接，如图，因为是中点，则且，又，所以且，所以是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（2）取中点，连接，交于点，连接，由已知，得是正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，又，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为14【解析】（1）证明：因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以,因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）假设存在点满足题意，如图，过作于，因为，所以，由（1）知平面，所以平面，因为平面，所以，过作于，连接，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，不妨设，则，在中，设，因为，所以，所以，得，所以，解得，即此时为的中点，综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，15【解析】（1）连接并延长交于点，连接，如图，因为为的垂心，所以.因为，所以面.因为面，所以，因为，所以面，又面，所以.（2）由（1）知，面把三棱锥分成两个三棱锥.因为两个三棱锥的体积相等，所以到面的距离相等，即为的中点.因为，所以.因为面，所以为与面所成的角，因为，所以所求平面与平面所成二面角的平面角为，且，所以平面与平面所成二面角的余弦值为.16【解析】（1）连接交于，连接，四边形是菱形，平面平面，平面平面，平面，平面，即为与平面所成角四边形为矩形，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，在中，故与平面所成角的正弦值为（2）取的中点，连接、，由（1）知，平面，四边形是菱形，四边形为矩形，即为二面角的平面角，在中，由余弦定理知，故二面角的大小为，则平面与平面的夹角为经典题型四：距离问题17【解析】（）因，且，故面，从而，又，故是异面直线与的公垂线设的长度为，则四棱椎的体积为而直三棱柱的体积为由已知条件，故，解之得从而在直角三角形中，又因，故18【答案】B【解析】如图，由题意，易知正，结合余弦定理，可得DF2，取DF的中点G，过点P作EG的垂线交EG的延长线于点H，易知点P到平面DEF的距离为PH的长，因为，则，即，即，两边平方，化简得.故选：B19【答案】B【解析】如图所示：取PA的中点F，连接EF，FD，因为底面，所以，因为底面为矩形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面，平面平面，所以点A到FD的距离，即为点A到平面的距离，因为，平面，平面，所以平面，所以点A到平面的距离，即为直线AB到平面的距离，在中，所以点A到FD的距离为.故直线与平面的距离为.故选：B20【答案】B【解析】如图：作于点，作于点，因为，则，又因为，所以为等边三角形，则，取的中点，连接，则，因为，所以面，则，由余弦定理可得：，所以，作于点，因为面，面，所以，因为，所以面，所以点到面的距离为，故平面到平面的距离为，由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器的一半，所以，故选：B.21【答案】C【解析】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，平面平面，连接，平面，又平面，同理可证得：，又平面，平面，平面，设垂足分别为，则平面与平面间的距离为.正方体的体对角线长为.在三棱锥中，由等体积法求得：，平面与平面间的距离为：.故选：.1【答案】D【解析】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，解得对于A，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，C错误；对于D，与平面所成角为，而，所以D正确故选：D2【答案】D【解析】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选：D3【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B4【答案】.【解析】作分别垂直于，平面，连，知，平面，平面，为平分线，又，5【解析】（1）几何法+相似三角形法如图，连结因为底面，且底面，所以又因为，所以平面又平面，所以从而因为，所以所以，于是所以所以 （2）构造长方体法+等体积法  如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，所以平面过H作的垂线，垂足记为G联结，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角易证四边形是边长为的正方形，联结，由等积法解得在中，由勾股定理求得所以，即二面角的正弦值为6【解析】（1）几何法因为，所以又因为，所以平面又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则又因为，所以又因为，所以平面又因为平面，所以（2）如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角设，过作交于点G由得又，即，所以又，即，所以所以则，所以，当时，7【解析】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面因为平面，所以.（2）如图所示，作，垂足为点G作，垂足为点F，连结，则因为平面，所以平面，为二面角的平面角因为，所以由已知得，故又，所以因为，8【解析】证明：（1）连接，设点为的中点，连接，在中，又因为点为中点，所以.同理可证得，又因为，分别为正方形的边，的中点，故，所以.又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面.（2）因为为正方形，分别是，的中点，所以四边形为矩形，则.又因为二面角为直二面角，平面平面，平面，所以平面，则为直线在平面内的射影，因为为直线与平面所成的角.不妨设正方形边长为，则，在中，因为平面，平面，所以，在中，即为直线与平面所成角的正弦值.9【解析】（）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（）延长到，使得，连接，交于，又，四边形为平行四边形，又,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,平面,平面,，又,直线平面,又直线平面,平面平面,在平面中的射影在直线上,直线为直线在平面中的射影，为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,即直线与平面所成角的正弦值为.10【解析】（）作交于，连接平面平面，而平面平面，平面，平面，而平面，即有，在中，即有，由棱台的定义可知，所以，而，平面，而平面，（II）因为，所以与平面所成角即为与平面所成角作于，连接，由（1）可知，平面，因为所以平面平面，而平面平面，平面，平面即在平面内的射影为，即为所求角在中，设，则，故与平面所成角的正弦值为11【解析】（1）证明： 在正方形中，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为，所以平面（2）如图2，因为平面，所以平面在平面中，设在平面中，过P点作，交于F，连接因为平面平面，所以又由平面，平面，所以平面又平面，所以又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角设，在中，易求由与相似，得，可得所以，当且仅当时等号成立12【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；