高中数学知识梳理46　隐零点与极值点偏移问题.docx

隐零点与极值点偏移问题隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，计算量较大，难度大题型一隐零点例1(2023·郑州模拟)已知函数f(x)ex11，g(x)2.(1)求函数g(x)的极值；(2)当x>0时，证明：f(x)g(x)(1)解g(x)2定义域为(0，)，g(x)，则当x(0，e)时，g(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，当x(e，)时，g(x)<0，g(x)在(e，)上单调递减，故函数g(x)的极大值为g(e)2，无极小值(2)证明f(x)g(x)等价于证明xex12ln xx(x>0)，即xex1ln xx20.令h(x)xex1ln xx2(x>0)，h(x)(x1)ex1(x1)，令(x)ex1，则(x)在(0，)上单调递增，而10<e210<0，(1)e21>0，故(x)在(0，)上存在唯一零点x0，且x0，当x(0，x0)时，(x)<0，h(x)<0，h(x)在(0，x0)上单调递减；当x(x0，)时，(x)>0，h(x)>0，h(x)在(x0，)上单调递增，故h(x)minh(x0)ln x0x02，又因为(x0)0，即，所以h(x0)ln x0x01(x01)x010，从而h(x)h(x0)0，即f(x)g(x)题型二极值点偏移例2已知函数f(x)xex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1x2且f(x1)f(x2)，求证：x1x2>2.(1)解f(x)ex(1x)，令f(x)>0得x<1；令f(x)<0得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)，所以f(x)有极大值f(1)，无极小值(2)证明方法一(对称化构造函数法)由(1)知，不妨设0<x1<1<x2，要证x1x2>2，只要证x2>2x1>1.由于f(x)在(1，)上单调递减，故只要证f(x2)<f(2x1)，由于f(x1)f(x2)，故只要证f(x1)<f(2x1)，令H(x)f(x)f(2x)xex(2x)ex2(0<x<1)，则H(x)，因为0<x<1，所以1x>0,2x>x，所以e2x>ex，即e2xex>0，所以H(x)>0，所以H(x)在(0,1)上单调递增，所以H(x)<H(1)0，即有f(x1)<f(2x1)成立，所以x1x2>2.方法二(比值代换法)设0<x1<1<x2，由f(x1)f(x2)，得，等式两边取对数得ln x1x1ln x2x2.令t>1，则x2tx1，代入上式得ln x1x1ln tln x1tx1，得x1，x2，所以x1x2>2ln t>0，设g(t)ln t(t>1)，所以g(t)>0，所以当t>1时，g(t)单调递增，所以g(t)>g(1)0，所以ln t>0，故x1x2>2.