广东省六校(广州市第二中学等)2024届高三上学期第二次联考数学试题.docx

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海-中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合，则（ ）ABCD2已知，则（ ）ABCD3“且”是“且”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，则、两点间的距离为（ ）ABCD5已知，则（ ）ABCD6已知函数，其中若函数在上为增函数，则的最大值为（ ）ABCD27若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中，为正实数，则的取值范围是（ ）ABCD8已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A2是函数的一个周期B函数的图象关于直线对称C函数的图象关于点中心对称D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知中角，的对边分别为，则可作为“”的充要条件的是（ ）ABCD10将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（ ）A函数的图象的一个对称中心为B函数是奇函数C函数在上的单调递减区间是D函数的图象的一个对称轴方程为11已知函数，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A若，则有两个零点B，使得有一个零点C，使得有三个零点D，使得有三个零点12已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知定义域为，值域为，且，写出一个满足条件的的解析式是_14已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为_15在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为_小时，角的正弦值为_（对一个得3分，全对得5分）16若存在两个正实数，使等式成立，（其中）则实数的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题10分）已知中角，的对边分别为，满足（1）求的值；（2）若，求的面积18（本小题12分）如图为一块边长为的等边三角形地块，现对这块地进行改造，计划从的中点出发引出两条成角的线段和（，分别在边，上），与和围成四边形区域，在该区域内种上花草进行绿化改造，设（1）当时，求花草绿化区域的面积；（2）求花草绿化区域的面积的取值范围19（本小题12分）已知为的内角，函数的最大值为（1）求；（2）设，且，若方程在内有两个不同的解，求实数取值范围20（本小题12分）已知函数（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时21（本小题12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，讨论函数在上的单调性；（3）证明：对任意的，有22（本小题12分）已知函数（1）求在上的最大值；（2）已知在处的切线与轴平行，若存在，使得，证明：东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112BAADDACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13，或者，或者或者14152，16四、解答题17【解析】（1）解法一：由正弦定理得，所以，由于，所以，则因为，所以，因为，所以解法二：因为所以由余弦定理得，化简得，所以因为，所以（2）由余弦定理，及，得，即所以所以的面积18【解析】（1）当时，四边形为平行四边形，则和均为边长为的等边三角形，又，绿化面积为：（2）方法一：由题意知：，在中，由正弦定理得：在中，由正弦定理得：，令， ，在上单调递减；在上单调递增即，即花草地块面积的取值范围为方法二：由已知得，又，所以，在和中有：，得，又是的中点，且当在点时，所以，所以，设，且，令，则，时，在单调递减，时，在上单调递增，时，有最小值2，当或时，所以面积的取值范围是19【解析】（1）故，故因为，故（2），故，令，则的图象如图所示：可得，方程在内有两个不同的解，又，下面考虑在上的解的情况若，则或（舍）当时，方程的解为，此时仅有一解，故方程在内有一个解，舍若，则或，此时在有两个不同的实数根，当时，则，要使得方程在内有两个不同的解，则，令，则，解得综上，的取值范围为：20【解析】（1）的定义域为，当时，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，当满足且时，即若，时，；若，时，；则另法：时，所以，且在上是连续的，所以必存在使得，又即有，故当时存在唯一零点（2）当时由（1），可设在的唯一零点为，当时，；当时，故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为由于，所以故当时，21【解析】（1）因为，所以，即切点坐标为，又，切线斜率，切线方程为（2）令，则，令，则，在上单调递增，在上恒成立，在上单调递增（3）解：待证不等式等价于，令（，），只需证，由（2）知在上单调递增，在上单调递增，又因为，所以命题得证22【解析】（1），当时，则对任意恒成立，即恒成立所以在单调递增则的最大值为；当时，令，即，当，即时，当时，在上单调递增当时，在上单调递减，当，即时，对任意恒成立，即恒成立，所以在单调递增则的最大值为；综上所述：当时，；当时，（2）因为在处的切线与轴平行，所以，则，即当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减又因为时，有，时有，根据图象可知，若，则有；要证，只需证；又因为，所以；因为在上单调递减，从而只需证明，只需证只需证，设，则由的单调性可知，则，即所以，即在上单调递增所以从而不等式得证