备战2024年高考数学高频考点题型精讲+精练【艺体生专供】(新高考通用)专题12三角函数的图像与性质解析版.docx

专题12 三角函数的图像与性质 一、考向解读考向：三角函数的图像与性质作为高考的必考内容，在高考中主要是选择、填空题型。大部分是考查基础知识和基本方法，考查内容涉正弦型函数或余弦型函数的图像和性质、图像变换等。考点：正弦型函数或余弦型函数的图像和性质。导师建议：通过图像记忆性质才是正确方法，切忌死记硬背！二、知识点汇总正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在(k，k)(kZ)上递增最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【常用结论】正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是半个周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期函数具有奇偶性的充要条件函数yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)(xR)是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是奇函数k(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)三、题型专项训练正弦、余弦函数的图像一、单选题1三角函数在区间上的图像为（）ABCD【答案】C【分析】根据已知条件，结合三角函数的奇偶性，以及函数的最值点，即可求解.【详解】解：为奇函数，的图像关于原点对称，故排除A、D选项，三角函数在区间上的最大值为，故排除B选项.故选：C.2函数，的图像是（    ）ABCD【答案】D【分析】结合与图像的关系即可选出答案.【详解】因为与的图像关于轴对称，只有D符合题意.故选：D3函数的值域是（    ）ABCD【答案】B【分析】易知，则可求出的值域.【详解】因为，所以,所以的值域为.故选：B.4函数的图象（    ）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线对称【答案】B【分析】根据余弦函数的性质可得.【详解】可得是由向上平移1个单位得到，根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称.故选：B.5函数的简图是（    ）ABCD【答案】B【解析】由cos（x）cosx及余弦函数的图象即可得解【详解】由知，其图象和的图象相同，故选B6若函数的大致图像是ABCD【答案】D【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案【详解】，在，为减函数，在，为增函数，并且函数值都大于等于0，只有符合，故答案为7函数ycosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A(，1)B(，1)C(0,1)D(2，1)【答案】B【分析】画出的图像，根据图像求得与轴最近的最高点的坐标.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，与轴最近的最高点的坐标为.故选B.8从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ）A0个B1个C2个D3个【答案】C【分析】画出和的图象，看它们有几个交点即可.【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分，再画出的图象，如下图：由图象可知它们有2个交点B、C，所以当时，的x的值有2个.故选：C正弦函数的性质9函数，的单调递增区间是（    ）ABCD【答案】B【分析】先根据正弦函数的单调区间求的单调递增区间，再结合题意分析判断【详解】令，解得，当时，即函数的单调递增区间是故选：B.10函数的单调增区间是（    ）ABCD【答案】B【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，令，解得，所以函数的单调递增区间为；故选：B11求出的解集（    ）ABCD【答案】C【解析】画出正弦函数的图象，找到所对应的正弦函数值，结合正弦函数的周期性求得的范围，即可求不等式的解集【详解】画出正弦函数的图象，如图：，等价因为的周期为，故不等式的解集为故选：C.   12使不等式成立的的取值集合是（     ）ABCD【答案】C【分析】本题首先可以根据得出，然后根据正弦函数的相关性质即可得出结果.【详解】因为，所以，故的取值集合是，故选：C.13下列函数中周期为，且为偶函数的是（    ）ABCD【答案】C【分析】根据正弦、余弦函数的性质判断即可；【详解】解：对于A：为周期为的偶函数，故A错误；对于B：为周期为的奇函数，故B错误；对于C：为周期为的偶函数，故C正确；对于D：为周期为的偶函数，故D错误；故选：C14函数是（    ）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数【答案】C【分析】先化简得，再求函数的最小正周期和奇偶性得解.【详解】由题得，设，函数的定义域是,所以函数的最小正周期为，由于，所以函数是奇函数.故选：C.15函数的最小正周期是（    ）ABC6D【答案】D【分析】根据正弦型函数最小正周期公式求解即可.【详解】函数的最小正周期为.故选:D16若函数的图象经过点，则的最小正周期为（    ）ABCD【答案】A【分析】，据此求出的表达式，再根据的范围求得的值即可求最小正周期.【详解】依题意可得，则，得.因为，所以，.故选：A.17函数的图象的一个对称轴方程是（    ）ABCD【答案】C【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选：C18函数的零点为（    ）ABCD【答案】A【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：令，解得，故函数的零点为；故选：A19函数的周期为2，下列说法正确的是（    ）AB是奇函数Cf（x）在，上单调递增D的图像关于直线对称【答案】C【分析】分别利用正弦函数周期公式，余弦函数的奇偶性，正弦函数的单调性，正弦函数的对称轴的求法，依次判断即可.【详解】由可知，,由此可知选项不正确；由可知，即是偶函数，由此可知选项不正确；由，解得,当时，区间上为单调递增，由此可知选项正确；由，解得，则直线不是的对称轴，由此可知选项不正确；故选：.20函数，xR在（    ）A上是增函数B上是减函数C上是减函数D上是减函数【答案】B【分析】化简，根据余弦函数的知识确定正确选项.【详解】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误.故选：B余弦函数的性质21函数的单调减区间是ABCD【答案】A【分析】利用诱导公式把函数解析式中的的系数化为正数，利用余弦函数的性质，求出单调减区间【详解】cos（x）由2k，可得，kZ函数的单调减区间是故选A22满足的角的集合为（    ）ABCD【答案】C【分析】利用余弦函数的性质即可求解【详解】结合余弦函数的性质可得，故满足的角的集合为故选：C23函数f(x)=lg(1+2cosx)的定义域为（    ）AB C D 【答案】B【分析】根据真数大于零，再解三角不等式得结果.【详解】由题意得，所以，即得 故选：B24设函数，则是(    )A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【答案】B【分析】根据余弦型函数的图像与性质即可判断求解.【详解】f(x)定义域为R，f(x)f(x)，f(x)是R上偶函数；f(x)最小正周期T，故选：B.25已知函数，则下列正确的是（    ）A是周期为1的奇函数B是周期为2的偶函数C是周期为1的非奇非偶函数D是周期为2的非奇非偶函数【答案】B【解析】结合奇偶性和周期公式即可求解【详解】为偶函数，周期为：故选：B26，最小正周期为（    ）A4B2CD【答案】D【分析】根据给定条件，利用正余弦型函数周期公式直接计算作答.【详解】函数中，则有，所以所求最小正周期为.故选：D27函数的最小正周期是（）A1B2CD【答案】A【分析】根据余弦函数的性质计算可得；【详解】因为，所以函数的最小正周期；故选：A28函数的图象（    ）A关于点对称B关于点对称C关于直线对称D关于直线对称【答案】D【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误.【详解】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，当时，易知C错误，D正确；故选：D29函数图象的一条对称轴可能是直线（    ）ABCD【答案】A【分析】先计算出函数的对称轴，再适当地取k的值进而得到答案.【详解】令，解得.当时，.故选：A.30已知函数，下面结论错误的是（    ）A函数的最小正周期为B函数在区间上是增函数C函数的图像关于直线对称D函数是偶函数【答案】B【分析】先化简函数得，然后逐个分析判断即可【详解】解：，对于A，的最小正周期为，所以A正确；对于B，在区间上是减函数，所以B错误；对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，故选：B31下列四个函数中，周期为的是（    ）ABCD【答案】D【分析】利用三角函数的周期性求解.【详解】函数周期为；函数周期为；函数周期为；函数周期为.故选：D正切函数的图像与性质32函数的定义域是（    ）ABCD【答案】D【分析】由正切函数的定义域，令，解不等式，即可求出结果.【详解】由正切函数的定义域，令，即，所以函数的定义域为.故选:D33函数的定义域是（    ）ABCD【答案】D【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D34函数的最小正周期为（    ）ABC D【答案】B【分析】利用函数的周期公式即可求解.【详解】由题意可知，所以函数的最小正周期为.故选：B.35已知函数f(x)3tan的最小正周期为，则正数（    ）A4B3C2D1【答案】C【分析】直接利用周期公式列方程求解【详解】，故选：C.36函数的单调递增区间为（    ）A，B，C ，D ，【答案】A【分析】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案.【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，令 ，解得 ，所以函数的单调递增区间为，故选：A.37下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）ABCD【答案】D【分析】利用是偶函数判定选项A错误；利用判定选项B错误；利用的定义域判定选项C错误；利用奇偶性的定义证明是奇函数，再通过基本函数的单调性判定的单调性，进而判定选项D正确.【详解】对于A：是偶函数，即选项A错误；对于B：是奇函数，但，所以在区间上不单调递增，即选项B错误；对于C：是奇函数，但的定义域为，即选项C错误；对于D：因为，有，即是奇函数；因为在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，即选项D正确.故选：D.38函数图象的一个对称中心是（    ）ABCD【答案】C【分析】利用整体法列式得，求解并对赋值，即可得答案.【详解】利用整体法得，解得，令，令，所以函数的对称中心有，.故选：C39已知函数，则下列结论不正确的是（    ）AB是的一个周期C的图象关于点对称D的定义域是【答案】C【分析】画出函数的图象，观察图象可解答.【详解】画出函数的图象，易得的周期为 ，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；点不是函数的对称中心，C错误.故选：C多选题二、多选题40函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（    ）ABCD【答案】BD【分析】由题目分析可得实际上是求的最小值，由解出来取最靠近y轴的值.【详解】的最大值为1，即，解得.因为要与y轴最近，所以，即坐标为或.故选：BD41多项选择题函数,的图像与直线(t为常数)的交点可能有A0个B1个C2个D3个【答案】ABC【解析】作出函数,的图像和直线,观察交点即可.【详解】解析:在同一平面直角坐标系中,作出函数,的图像和直线,如图所示.由图可知,当或时,交点个数为0;当或时,交点个数为2;当或或时,交点个数为1.综上,交点个数可能为0,1,2.故选：ABC.42若函数，则下列说法正确的是（    ）A若，则B若，对恒成立.C若，方程的根的个数是8个.D若，则【答案】ABD【分析】将代入A，B，C中检验即可；选项D利用诱导公式推理即可.【详解】当时，令，所以，所以选项A，正确；，所以，故B正确；选项C，时，令，则如图所示：由图可得只有7个交点，故方程只有7个实数根，故C选项错误；选项D，因为，所以 ，由，所以，所以，所以，故选项D正确；故选：ABD.43函数，的图象与直线（为常数，且）的交点可能有（    ）A0个B1个C2个D3个【答案】BC【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断函数图象与直线（为常数，且）的交点个数，即可判断选项.【详解】如图画出函数，的图象，当时，函数图象与直线有1个交点，当时，函数图象与直线有2个交点，当时，函数图象与直线有1个交点，当时，函数图象与直线有2个交点，当时，函数图象与直线有1个交点，综上可知，函数图象与直线，有1个或2个交点.故选:BC44函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ）A0个B1个C2个D3个【答案】ABC【分析】作出函数，的图像与直线图像，数形结合求解即可.【详解】解：作出函数，的图像与直线图像，如图，所以，当或时，的图像与直线（为常数）的交点个数为0个；当或时，的图像与直线（为常数）的交点个数为1个；当时，的图像与直线（为常数）的交点个数为2个；故函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有1个，2个，3个.故选：ABC45关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ）A当或时，有0个交点B当或时，有1个交点C当时，有2个交点D当时，有2个交点【答案】AB【分析】作出函数函数，的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.【详解】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误故选:AB46已知函数，则（    ）A是偶函数B的最小正周期为C在区间上单调递减D对任意【答案】ABD【分析】对于A：利用函数的奇偶性的定义证明；对于B、C、D：作出函数的图象，直接判断.【详解】对于A：因为，所以是偶函数，A正确对于B、C、D：当时，当，画出的图象，如图所示，由图可得B，D正确，C错误故选：ABD47下列在(0，2)上的区间能使cosx>sinx成立的是（    ）A(0，)B(，)C(，2)D(，)(，)【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，用图像法解.【详解】在同一平面直角坐标系中画出y=sinx和y= cosx的图象，在(0，2)上，当cosxsinx时，x或x，结合图象可知满足cosx>sinx的是(0，)和(，2).故选：AC四、高考真题及模拟题精选一、单选题1（2020·山东·统考高考真题）下列命题为真命题的是（    ）A且B或C，D，【答案】D【分析】本题可通过、得出结果.【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；B项：根据、易知B错误；C项：由余弦函数性质易知，C错误；D项：恒大于等于，D正确，故选：D.2（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，则角是第四象限角，故选：D.3（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ）A和B和2C和D和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C4（2020·全国·统考高考真题）若为第四象限角，则（    ）Acos2>0Bcos2<0Csin2>0Dsin2<0【答案】D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，选项B错误；当时，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.5（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ）ABCD【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意【详解】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意故选：C6（2021·北京·统考高考真题）函数是A奇函数，且最大值为2B偶函数，且最大值为2C奇函数，且最大值为D偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.7（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（    ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，充分性成立；当时，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.8（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）ABCD【答案】A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，CD选项均不满足条件.故选：A.9（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）ABCD【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.10（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ）A在上单调递减B在上单调递增C在上单调递减D在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，则在上不单调，D错.故选：C.二、多选题11（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）A在区间单调递减B在区间有两个极值点C直线是曲线的对称轴D直线是曲线的切线【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出【详解】由题意得：，所以，即，又，所以时，故对A，当时，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即故选：AD三、填空题12（2020·山东·统考高考真题）已知，若，则_.【答案】【分析】根据反三角函数的定义即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：.五、题型精练，巩固基础一、单选题1（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）下列函数中，最小正周期为的是（    ）ABCD【答案】B【分析】根据周期公式即可求解.【详解】解：对A：最小正周期；对B：最小正周期；对C：最小正周期；对D：最小正周期.故选：B.2（2022·陕西西安·统考模拟预测）函数的最小正周期是（    ）ABCD【答案】D【分析】利用余弦函数的倍角公式化简，再由即可得解.【详解】因为，故，所以，故，即的最小正周期为.故选：D.3（2022·江苏南京·模拟预测）已知集合，则（    ）ABCD【答案】D【分析】先求出A，再根据交集的定义计算即可.【详解】由题意 ，；故选：D.4（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）函数的图像的一条对称轴为（   ）ABCD【答案】C【分析】由倍角公式和辅助角公式化简，令，即可得出答案.【详解】令，解得.故选：C.5（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）下列可能是函数对称中心的是（    ）ABCD【答案】B【分析】根据三角恒等变换将函数整理成余弦型函数，按照余弦函数对称中心求解，即可判断.【详解】解：令，则，对称中心为，当时，对称中心为.故选：B6（2022·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）函数图象的一条对称轴方程为（    ）ABCD【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.【详解】，令，即，故函数图象的一条对称轴方程为故选：C7（2022·云南玉溪·玉溪市民族中学校考模拟预测）若，则的概率为（    ）ABCD【答案】B【分析】本题可根据当时以及当时得出结果.【详解】当时，；当时，则的概率，故选：B.8（2022·四川雅安·统考一模）已知，则的值为（    ）ABCD【答案】D【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.【详解】，故选：D.9（2022·广东韶关·统考一模）下列区间中，函数的单调递减区间是（    ）ABCD【答案】B【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递减区间为，故选：B.10（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知函数，则（    ）A在上单调递减B在上单调递增C在上单调递减D在上单调递增【答案】B【分析】利用二倍角正弦公式化简得到，利用代入检验的方式可确定结果.【详解】；对于A，当时，则先减后增，A错误；对于B，当时，则单调递增，B正确；对于C，当时，则先增后减，C错误；对于D，当时，则单调递减，D错误.故选：B.二、多选题11（2023·福建福州·统考二模）已知函数，则（    ）A在区间单调递增B在区间有两个零点C直线是曲线的对称轴D直线是曲线的切线【答案】BCD【分析】对于A，求出的范围结合正弦函数的单调性即可；对于B，求出的零点，然后取特殊的值代入即可；对于C，算出即可；对于D，利用导数的几何意义进行求解即可【详解】对于A，当，则，因为在先单调递减，后单调递增，所以不是的增区间，故错误；对于B，令，解得，所以的零点为，当时，；当时，；当时，；当时，所以在区间有两个零点，故正确；对于C，令，则，所以直线是曲线的对称轴，故正确；对于D，由可得，令，即，解得，当时，代入可得所以在点处的切线为，化简得，故D正确故选：BCD三、填空题12（2022·上海普陀·统考一模）函数的最小正周期为_【答案】【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期.【详解】因为，因此，该函数的最小正周期为.故答案为：.13（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为_【答案】【分析】根据的对称中心为可求解.【详解】令，解得，所以对称中心为.故答案为: .14（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）函数的最大值为_.【答案】【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式可将函数化为，结合二次函数的性质可求得最大值.【详解】，当时，.故答案为：.15（2022·四川乐山·统考一模）函数在上所有零点之和为_.【答案】4【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，利用函数的对称性，可求零点的和.【详解】函数，即，函数和关于点对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.故答案为：416（2022·四川乐山·统考一模）函数 上所有零点之和为_.【答案】4【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，再利用函数的对称性，可求零点的和.【详解】函数，即，函数和都关于对称，所以函数和的交点也关于对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.故答案为：4