吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版).docx

东北师大附中20222023学年上学期期末考试高二年级数学科试卷第卷（选择题共48分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 经过点和点的直线的斜率是（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】代入直线的斜率公式求解.【详解】由点和点可得，直线的斜率，故选：A2. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若抛物线方程标准方程，则准线方程.【详解】抛物线的方程，则，焦点在x轴上，开口向右，其准线方程为故选：D3. 现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）A. 7种B. 9种C. 14种D. 70种【答案】C【解析】【分析】根据分类加法计数原理求解即可【详解】分为三类:从国画中选，有2种不同选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;故选：C4. 双曲线C的两焦点分别为(6，0)，(6，0)，且经过点(5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.【详解】2a所以，又c6，所以b2c2a2362016.所以双曲线的标准方程为故选：B5. .如图，在平行六面体中，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可解决.【详解】.故选：A6. 点关于直线的对称点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.7. 将6名实习教师分配到5所学校进行培训，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同分配方案共有（ ）A. 600种B. 900种C. 1800种D. 3600种【答案】C【解析】【分析】将名教师分组，只有一种分法，即，然后按照分组组合的方式计算即可.【详解】将名教师分组，只有一种分法，即，共有，再分配给5所学校，可得故选:C8. 已知点，在中，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由求出点的轨迹方程,最后可得点处在圆的上（下）顶点时面积的最大.【详解】设，由得：整理得，即， 故点在以为圆心，为半径的圆上.所以当点处在圆的上（下）顶点时面积的最大，最大值为故选:B.【点睛】结论：已知点，为两定点，若动点满足，则点的轨迹为圆.此题在求出点在圆上之后利用圆的动点求最值.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）9. 已知双曲线C过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线的方程为B. 双曲线的离心率为C. 双曲线的实轴长是D. 双曲线的虚轴长是1【答案】AC【解析】【分析】根据已知条件双曲线的方程，进而求得，由此对选项逐一分析即可得解.【详解】对于A，设双曲线方程为，将点代入，可得，又双曲线的渐近线方程为，所以，联立，解得，所以双曲线的方程为，故A正确；对于B，因为双曲线为，所以，所以双曲线的离心率为，故B错误；对于C，因为，所以双曲线的实轴长是，故C正确；对于D，因为，所以双曲线的虚轴长是2，故D错误.故选：AC.10. 已知圆：，圆：，则（ ）A. B. 圆与圆的公共弦所在直线方程为C. 圆与圆相离D. 圆与圆的公切线有2条【答案】ABD【解析】【分析】对A：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；对B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；对C：判断与大小关系判断两圆位置关系；对D：根据两圆的位置关系判断公切线的条数.【详解】对于A，由已知，故，故A正确；对于C，两圆半径，故两圆相交，故C错误；对于B，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，故B正确；对于D，两圆相交则两圆的公切线有2条，故D正确；故选：ABD11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，为C上一动点，点，则下列结论正确的是（ ）A. 焦点到准线的距离是8B. 当时，的值为5C. 的最小值为3D. 的最大值为【答案】CD【解析】【分析】对于AB，根据抛物线的方程和定义即可判断；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到.【详解】，所以，所以焦点到准线的距离是，故选项A错误；当时，的值为，故选项B错误；如图，过点P作PB准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C正确；由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确.故选：CD.12. 已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（ ）A. B. 的最小值为2C. 直线BE的斜率为D. 为钝角【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到；对于B，利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值；对于C，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到；对于D，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知.【详解】由椭圆C：得，则，对于A，设将圆C的右焦点为，如图，连接，由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形，故，故A正确；.对于B，当且仅当，且，即时，等号成立，故的最小值为，故B错误；对于C，设，故直线BE的斜率，故C正确；对于D，设，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则，又点P和点A在椭圆C上，故，两式相减得，则，故，易知，则，得，所以，故，故D错误.故选：AC第卷（非选择题共72分）三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法有_种【答案】12【解析】【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后根据分步乘法计数原理求从A地到B地不同的走法种数.【详解】根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，故答案为：12.14. 已知直线xyk0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则k的取值范围为_【答案】或【解析】【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】令,得， 令,得，由题意知，由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则，解得或，故实数的取值范围为或.故答案为：或15. 已知点在直线上，则的最小值为_【答案】5【解析】【分析】据题意可知，表示原点到直线上的点的距离，求出原点到直线的距离为5，从而可得出的最小值【详解】根据题意知，表示原点到直线上的点的距离，大于等于原点到直线的距离，原点到直线的距离为，的最小值为5故答案为：516. 已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.四、解答题（本大题共6小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 求解下列问题：（1）求过点且平行于直线l：3xy10的直线的方程；（2）求过点且垂直于直线m：x3y40的直线的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由平行关系得到直线的斜率为，由直线方程的点斜式，化简即得解；（2）由垂直关系得到直线的斜率，由直线方程的点斜式，化简即得解【小问1详解】由题意，直线的斜率为由直线方程的点斜式有：即过点且平行于直线的直线的方程为：【小问2详解】由题意，直线的斜率为故与直线垂直的直线斜率由直线方程的点斜式有：即过点且垂直于直线的直线的方程为18. 已知圆，直线l：mxy1m0（1）写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且，求直线l的方程【答案】（1）圆的圆心坐标为，半径为，直线与圆相交； （2）或【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出，求出直线方程.【小问1详解】整理得：，故圆的圆心坐标为，半径为，直线变形为，故直线过定点，因为，故在圆内，所以直线与圆相交；【小问2详解】圆心到的距离为，由垂径定理得：，即解得：，故直线的方程为或.19. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且（1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据抛物线得定义和几何关系即可求解；（2）根据面积公式的铅锤法求面积即可求解.【小问1详解】，又点在抛物线C上，根据抛物线的定义，所以，所以，所以，代入得，所以，所以抛物线C：.【小问2详解】根据题意，F坐标为，所以直线.联立和，所以，所以所以，所以20. 已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且（1）求双曲线的方程；（2）是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由【答案】（1）; （2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解.（2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解.【小问1详解】因为，所以，由题意可知，所以，解得，所以，故双曲线的方程为.【小问2详解】因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意，设直线的方程为，则，消去，整理得，因为直线与双曲线相交于，所以且，所以，因为点是线段中点，所以，即，解得，所以所以不存在这样的直线.21. 如图，在四棱锥中，已知平面平面，是等边的中线（1）证明：平面（2）若，求二面角的大小【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取的中点F，连接，进而证明四边形是平行四边形，进而证明平面；（2）取的中点O，连接，易知平面，进而以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【小问1详解】证明：如图1，取的中点F，连接因为E是棱的中点，所以，且因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面【小问2详解】解：取的中点O，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面,平面，所以平面所以，以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系因为等边的边长为，所以，设平面的一个法向量为由得令，则，所以又平面的一个法向量为，因为，所以二面角的大小为22. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.【答案】（1） （2）是定值，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件短轴一个端点到右焦点的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解.【小问1详解】由题可得,，又，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，设，则， 又，则，由可得，所以.同理可得，.所以所以，为定值.