备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第一册第四章三角函数第5节函数y=asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用课时作业.docx
第5节函数y=Asin(x+)的图象与性质及三角函数模型的应用选题明细表 知识点、方法题号函数y=Asin(x+)的图象及变换1,2,4,9求函数y=Asin(x+)的解析式3,7函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用6,8,10,13,14,15三角函数模型的应用5,11,121.函数y=sin(2x-3)在区间-2,上的简图是(A)解析:令x=0得y=sin(-3)=-32,排除B,D项,由f(-3)=0,f(6)=0,排除C项.2.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+5)图象上所有的点(D)A.向左平移 5 个单位长度B.向右平移 5 个单位长度C.向左平移 15 个单位长度D.向右平移 15 个单位长度解析:因为y=2sin(3x+5)=2sin3(x+15),所以要得到函数y=sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+5)的图象上所有的点向右平移15个单位长度即可.3.函数y=Asin(x+)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为(A)A.y=2sin(2x+23)B.y=2sin(2x+3)C.y=2sin(x2-3)D.y=2sin(2x-3)解析:由已知可得函数y=Asin(x+)的图象经过点(-12,2)和点(512,-2),则A=2,T=,所以=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+),将(-12,2)代入得-6+=2+2k,kZ,所以=23+2k,kZ,当k=0时,=23,此时y=2sin(2x+23).4.设>0,函数y=sin(x+3)-1的图象向左平移23个单位长度后与原图象重合,则的最小值是(D)A.23 B.43C.32 D.3解析:因为图象向左平移23个单位长度后与原图象重合,所以23是一个周期,所以2=T23,3,所以最小值是3.5.(多选题)健康成年人的收缩压和舒张压一般为90140 mmHg和6090 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=a+bsin t(>0),其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),其函数图象如图所示,则下列说法正确的是(BCD)A.=80B.收缩压为120 mmHgC.舒张压为70 mmHgD.每分钟心跳80次解析:由题图知T=2×(180-1160)=180,所以2=180,可得=160,故选项A不正确;所以p(t)=a+bsin 160t(t0),由题图知p(t)在一个周期内最大值为120,最小值为70,所以收缩压为120 mmHg,舒张压为70 mmHg,故选项B,C正确;每分钟心跳数为频率f=1T=2=1602=80,故选项D正确.6.将函数y=3sin(2x+4)的图象向右平移6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是. 解析:将函数y=3sin(2x+4)的图象向右平移6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=3sin2(x-6)+4=3sin(2x-12).由2x-12=2+k,kZ,得x=k2+724,kZ,当k=-1时,对称轴方程为x=-524,当k=0时,对称轴方程为x=724,故平移后的图象中与y轴最近的对称轴方程是x=-524.答案:x=-5247.已知函数y=Asin(x+)+n的最大值为4,最小值是0,最小正周期是2,直线x=3是其图象的一条对称轴,若A>0,>0,0<<2,则函数解析式为. 解析:依题意可得,A=4-02=2,n=4+02=2,=22=4,所以y=2sin(4x+)+2,又直线x=3是函数图象的一条对称轴,所以4×3+=k+2,kZ,得=k-56,kZ.因为0<<2,所以k=1,=6.所以函数解析式为y=2sin(4x+6)+2.答案:y=2sin(4x+6)+28.已知函数f(x)=2sin(x+)(>0,|<2)的部分图象如图所示,则=,函数f(x)的单调递增区间为.解析:由图象知T2=3-(-6)=2,则最小正周期T=,即2=,则=2,所以f(x)=2sin(2x+).又2×(-6)+=2k,kZ,|<2,所以=3,则f(x)=2sin(2x+3).令2k-22x+32k+2,kZ,得-512+kxk+12,kZ,即函数f(x)的单调递增区间为-512+k,12+k(kZ).答案:2-512+k,12+k(kZ)9.(2023·天津模拟)将函数y=sin 2x的图象向左平移(0<2)个单位长度后,得到函数y=cos(2x+6)的图象,则等于()A.12 B.6 C.3 D.53解析:y=sin 2x=cos(2x-2).将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=cos2(x+)-2=cos(2x+2-2)=cos(2x+6),由题意知2-2=6+2k(kZ),则=3+k(kZ),又0<2,所以=3.故选C.10.(多选题)(2022·新高考卷)已知函数f(x)=sin(2x+)(0<<)的图象关于点(23,0)中心对称,则(AD)A.f(x)在区间(0,512)上单调递减B.f(x)在区间(-12,1112)上有两个极值点C.直线x=76是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y=32-x是曲线y=f(x)的切线解析:因为函数f(x)的图象关于点(23,0)中心对称,所以sin(2×23+)=0,可得43+=k(kZ),结合0<<,得=23,所以f(x)=sin(2x+23).对于A,由2k+22x+232k+32(kZ),得k-12xk+512(kZ),当k=0时,-12x512.因为(0,512)(-12,512),所以函数f(x)在区间(0,512)上单调递减,故A正确;对于B,由2x+23=k+2(kZ),得x=k2-12(kZ),当k=0时,x=-12,当k=1时,x=512,当k=2时,x=1112,所以函数f(x)在区间(-12,1112)上只有一个极值点,故B不正确;对于C,由选项B的分析知,函数f(x)图象的对称轴方程为x=k2-12(kZ),而方程k2-12=76(kZ)无解,故C不正确;对于D,因为f(x)=2cos(2x+23),若直线y=32-x为曲线y=f(x)的切线,则由2cos(2x+23)=-1,得2x+23=2k+23或2x+23=2k+43(kZ),所以x=k(kZ)或x=k+3(kZ).当x=k(kZ)时,f(x)=32,则由32=32-k(kZ),解得k=0;当x=k+3(kZ)时,f(x)=-32,方程-32=32-k-3(kZ)无解.综上所述,直线y=32-x为曲线y=f(x)的切线,故D正确.11.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点做逆时针匀速圆周运动,旋转一周的时间恰好是12 s,已知时间t=0 s时,点A的坐标是(32,12),则动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数在下列哪个区间上单调递增(D)A.0,3B.3,6C.6,9D.9,12解析:因为动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,故A=1,12 s旋转一周,故T=12,=6.时间t=0时,点A的坐标是(32,12),故=6,故动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数解析式为y=sin(6t+6)(t0).由-2+2k6t+62+2k,kN*,得t-4+12k,2+12k,kN*,即函数y=sin(6t+6)的单调递增区间为-4+12k,2+12k,kN*,所以当k=1时,单调递增区间为8,14.12.如图,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面1 m,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40 s后到达点P,则点P到地面的距离是 m.解析:以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为2 m,圆上最低点O离地面1 m,12 s转动一周,设OO1P=,运动t s后与地面的距离为f(t).又周期T=12,所以=6t,则f(t)=3+2sin(-2)=3-2cos 6t(t0),当t=40 s时,f(t)=3-2cos(6×40)=4.答案:413.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(x+)(>0,0<<)的最小正周期为T.若f(T)=32,x=9为f(x)的零点,则的最小值为. 解析:因为T=2,f(2)=32,所以cos(2+)=32,即cos =32.又0<<,所以=6.因为x=9为f(x)的零点,所以9+6=2+k(kZ),解得=9k+3(kZ).又>0,所以当 k=0时,取最小值,且最小值为3.答案:314.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间;(2)把函数y=f(x)图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求关于x的方程g(x)=m(0<m<2)在x-3,113上所有的实数根之和.解:(1)由题中图象知,A=2,最小正周期T=1112-(-12)=,所以=2T=2.因为点(-12,0)在函数图象上,所以2sin(-2×12+)=0,即sin(-6)=0.又因为-2<<2,所以-23<-6<3,所以-6=0,从而=6.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+6).令2k-22x+62k+2,kZ,得k-3xk+6,kZ,故f(x)的单调递增区间为k-3,k+6,kZ.(2)依题意得g(x)=2sin(x+3).因为g(x)=2sin(x+3)的最小正周期T=2,所以g(x)=2sin(x+3)在x-3,113内有2个周期.令x+3=k+2(kZ),得x=k+6(kZ),即函数g(x)=2sin(x+3)的图象的对称轴为直线x=k+6(kZ).由x-3,113,得x+30,4.又0<m<2,所以g(x)=m在x-3,113内有4个实数根.将实数根从小到大依次设为xi(i=1,2,3,4),则x1+x22=6,x3+x42=136.所以关于x的方程g(x)=m(0<m<2)在x-3,113上所有的实数根之和为x1+x2+x3+x4=143.15.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图象如图所示,则满足条件(f(x)-f(-74)·(f(x)-f(43)>0的最小正整数x为. 解析:由题图可知,34T=1312-3=34(T为f(x)的最小正周期),得T=,所以=2,所以f(x)=2cos(2x+).点(3,0)可看作“五点法”中的第二个点,则2×3+=2,得=-6,所以f(x)=2cos(2x-6),所以f(-74)=2cos2×(-74)-6=2cos(-113)=2cos 3=1,f(43)=2cos(2×43-6)=2cos 52=0,所以(f(x)-f(-74)(f(x)-f(43)>0,即(f(x)-1)f(x)>0,可得f(x)>1或f(x)<0,所以cos(2x-6)>12或cos(2x-6)<0.当x=1时,2x-6=2-6(3,2),cos(2x-6)(0,12),不符合题意;当x=2时,2x-6=4-6(,76),cos(2x-6)<0,符合题意.所以满足题意的最小正整数x为2.答案:2
