备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第一册第四章三角函数第3节三角恒等变换课时作业.docx
第3节三角恒等变换选题明细表 知识点、方法题号三角函数式的化简6,7三角函数式的求值1,2,3,4,5,9,10,11三角恒等变换的综合应用8,12,13,141.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°等于(B)A.1B.12 C.32 D.-12解析:sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=sin 45°·cos 15°+(-cos 45°)sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=12.2.已知,为锐角,tan =43,则cos 2等于(B)A.725B.-725 C.2425 D.-2425解析:因为tan =sincos=43,所以sin =43cos ,因为sin2+cos2=1,所以cos2=925,所以cos 2=2cos2-1=-725.3.tan 18°+tan 12°+33tan 18°tan 12°等于(D)A.3 B.2C.22 D.33解析:因为tan 30°=tan(18°+12°)=tan18°+tan12°1-tan18°tan12°=33,所以tan 18°+tan 12°=33(1-tan 18°tan 12°),所以原式=33.4.已知锐角,满足sin =55,cos =31010,则+等于(C)A.34 B.4或34C.4 D.2k+4(kZ)解析:由sin =55,cos =31010,且,为锐角,可知cos =255,sin =1010,故cos(+)=cos cos -sin sin =255×31010-55×1010=22,又0<+<,故+=4.5.sin10°1-3tan10°等于(B)A.1B.14 C.12 D.32解析:sin10°1-3tan10°=sin10°cos10°cos10°-3sin10°=2sin10°cos10°4(12cos10°-32sin10°)=sin20°4sin(30°-10°)=14.6.(2022·新高考卷)若sin(+)+cos(+)=22cos(+4)sin ,则(C)A.tan(-)=1 B.tan(+)=1C.tan(-)=-1D.tan(+)=-1解析:由题意得sin cos +sin cos +cos cos -sin sin =22×22(cos -sin )·sin ,整理得sin cos -sin cos +cos cos +sin sin =0,即sin (-)+cos(-)=0,所以tan(-)=-1.7.(多选题)下列四个选项中,化简正确的是(BCD)A.cos(-15°)=6-24B.cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°=0C.cos(-35°)cos(25°+)+sin(-35°)·sin(25°+)=12D.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=12解析:对于A,原式=cos(30°-45°)=cos 30°·cos 45°+sin 30°sin 45°=32×22+12×22=6+24,A错误;对于B,原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos 90°=0,B正确;对于C,原式=cos(-35°)-(25°+)=cos(-60°)=cos 60°=12,C正确;对于D,原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=cos 60°=12,D正确.8.(2022·北京卷)若函数f(x)=Asin x-3cos x的一个零点为3,则A= ;f(12)=. 解析:依题意,得f(3)=A·32-3×12=0,解得A=1,所以f(x)=sin x-3cos x=2sin(x-3),所以f(12)=2sin(12-3)=-2.答案:1-29.若sin 2=55,sin(-)=1010,且4,32,则+的值是(A)A.74 B.94C.54或74D.54或94解析:因为4,所以22,2,因为sin 2=55>0,所以22,所以4,2,且cos 2=-255.又因为sin(-)=1010,32,所以-2,54,所以cos(-)=-31010,所以cos(+)=cos(-)+2=cos(-)cos 2-sin(-)sin 2=(-31010)×(-255)-1010×55=22,又因为+54,2,所以+=74.10.已知34,且1+cos2+1-cos2=62,则等于(D)A.103或113B.3712或4712C.134或154D.196或236解析:因为34,所以3222.因为cos =2cos2 2-1=1-2sin2 2,所以1+cos2+1-cos2=|cos 2|+|sin 2|=cos 2-sin 2=2cos(2+4)=62,所以cos(2+4)=32.因为3222,所以742+494,所以2+4=116或2+4=136,所以=196或236.11.若,均为锐角且cos =17,cos(+)=-1114,则sin(32+2)= . 解析:因为,均为锐角且cos =17,cos(+)=-1114,所以sin =1-cos2=1-149=437,sin(+)=1-cos2(+)=1-(-1114) 2=5314,所以cos =cos(+-)=cos(+)cos +sin(+)sin =(-1114)×17+5314×437=12,所以sin(32+2)=-cos 2=1-2cos2=1-2×(12)2=12.答案:1212.设,0,且满足sin cos -cos sin =1,则sin(2-)+sin(-2)的取值范围为. 解析:由sin cos -cos sin =1,得sin(-)=1,又,0,所以-,所以-=2,所以0,0=-2,即2,所以sin(2-)+sin(-2)=sin(2-+2)+sin(-2+)=cos +sin =2sin(+4).因为2,所以34+454,所以-12sin(+4)1,即sin(2-)+sin(-2)的取值范围为-1,1.答案:-1,113.已知向量a=(cos x2+sin x2,2sin x2),b=(cos x2-sin x2,3cos x2),函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值时x的取值集合;(2)若,为锐角,cos(+)=1213,f()=65,求f(+6)的值.解:(1)f(x)=cos2x2-sin2 x2+23sinx2cos x2=cos x+3sin x=2sin(x+6),令x+6=2+2k(kZ),得x=3+2k,kZ,所以f(x)的最大值为2,此时x的取值集合为x|x=3+2k,kZ.(2)由,为锐角,cos(+)=1213,得sin(+)=513,因为0<<2,所以6<+6<23,又f()=2sin(+6)=65,所以sin(+6)=35(12,22),所以6<+6<4,所以cos(+6)=45,所以cos(-6)=cos(+)-(+6)=cos(+)cos(+6)+sin(+)sin(+6)=6365,所以f(+6)=2sin(+3)=2sin(2+-6)=2cos(-6)=12665.14.如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为(1213,-513),AOC=.若|BC|=1,则 3cos22-sin2cos2-32的值为. 解析:由题意,得|OB|=|OC|=|BC|=1,从而OBC为等边三角形,所以sinAOB=sin(3-)=513,所以3cos22-sin2cos2-32=3·1+cos2-sin2-32=-12sin +32cos =-sin(-3)=sin(3-)=513.答案:513
