备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第一册第二章函数第8节 函数与方程课时作业.docx
第8节函数与方程 选题明细表 知识点、方法题号函数零点个数、函数零点所在区间1,2,6,10,12由函数零点个数(区间)确定参数(范围)3,7,8,11,13函数零点的综合问题4,5,9,10,14,15,161.(2022·天津模拟)函数f(x)=ln x+2x-3的零点所在的大致区间是(A)A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解析:因为f(x)=ln x+2x-3在(0,+)上是增函数,f(1)=-1<0,f(2)=ln 2+1>0,所以f(2)·f(1)<0,根据零点存在定理,可得函数f(x)=ln x+2x-3的零点所在区间为(1,2).2.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为(C)A.0B.1C.2D.3解析:由题意可知f(x)的定义域为(0,+),在同一平面直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x>0),y2=ln x(x>0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.3.若函数f(x)=4x-m·2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1(0,1),x2(2,+),则实数m的取值范围为(C)A.(-,-2)B.(-,-2)(6,+)C.(7,+)D.(-,-3)解析:设t=2x,由x1(0,1),x2(2,+)可知t1(1,2),t2(4,+),即函数f(t)=t2-mt+m+3在区间(1,2),(4,+)上各有一个零点,所以f(1)>0,f(2)<0,f(4)<0,即1-m+m+3>0,4-2m+m+3<0,16-4m+m+3<0,解得m>7.4.(2023·山西模拟)已知函数f(x)=x2+4x+a,x<1,lnx+1,x1,若函数y=f(x)-2有三个零点,则实数a的取值范围是(C)A.(-,2)B.(-3,4)C.(-3,6) D.(-3,+)解析:当x1时,f(x)=ln x+1,令ln x+1-2=0,解得x=e,所以x=e是函数y=f(x)-2的一个零点,所以当x<1时,y=x2+4x+a-2有两个零点,即x2+4x+a-2=0在(-,1)上有两个不同的实数解,所以=16-4(a-2)>0,1+4+a-2>0,解得-3<a<6.5.(多选题)记函数f(x)=x+ln x的零点为x0,则关于x0的结论正确的是(BC)A.0<x0<12 B.12<x0<1C.e-x0-x0=0D.e-x0+x0=0解析:由于函数f(x)=x+ln x在(0,+)上单调递增,且f(12)=12-ln 2<0,f(1)=1>0,所以12<x0<1.由x0是函数f(x)=x+ln x的零点,得x0+ln x0=0,即ln x0=-x0,所以x0=e-x0,即e-x0-x0=0,则e-x0+x0=2e-x0>0,故A,D选项错误,B,C选项正确.6.函数f(x)=x+2,x0,x+e2,x>0的零点个数为. 解析:当x0时,f(x)=x+2有一个零点x=-2;当x>0时,f(x)=x+e2>0,无零点,故函数f(x)=x+2,x0,x+e2,x>0的零点个数为1.答案:17.若函数f(x)=2x-b,x<0,x,x0有且仅有两个零点,试写出一个满足题意的实数b的取值为. 解析:因为当x0时,f(x)=x,令f(x)=0,解得x=0,又因为f(x)有且仅有两个零点,所以当x<0时,f(x)=0仅有一个零点,即2x-b=0在(-,0)上仅有一个解,等价于2x=b在(-,0)上仅有一个解,又因为当x<0时,0<2x<1,所以只需满足0<b<1即可.答案:12(答案不唯一)8.已知函数f(x)=(12) x+34,x2,log2x,0<x<2,若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是. 解析:由题意可得函数f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,如图所示. 故实数k的取值范围是(34,1).答案:(34,1)9.(2022·陕西咸阳三模)设函数f(x)=x2-6x+6,x0,3x+4,x<0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是. 解析:函数f(x)=x2-6x+6,x0,3x+4,x<0的图象如图所示.若存在互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=k,则k(-3,4),不妨令x1<x2<x3,则x1(-73,0),x2+x3=6,故x1+x2+x3(113,6).答案:(113,6)10.下列四个函数中,使得方程f(f(x)=x的实根个数恰为4个的是(D)A.f(x)=2x2+x B.f(x)=2xC.f(x)=1x3 D.f(x)=|3x-1|解析:因为2f2(x)+f(x)=x2(2x2+x)2+(2x2+x)=x,所以x2(2x2+2x+1)=0,所以x=0,故A错误;2f(x)=x22x=x2x=log2x,方程不可能有四个解,故B错误;1f3(x)=x1x-9=xx=1,故C错误;|3f(x)-1|=x3f(x)-1=x或3f(x)-1=-x,则3|3x-1|=x+1或3|3x-1|=1-x,解得x=12或x=15或x=25或x=14,故D正确.11.(2022·山东模拟)已知函数f(x)=|x+2|+ex+2+e-2-x+a有唯一零点,则实数a等于(D)A.1B.-1C.2D.-2解析:因为f(x)=|x+2|+ex+2+e-2-x+a,定义域为R,f(-4-x)=|-4-x+2|+e-4-x+2+e-2-(-4-x)+a=|-x-2|+e-2-x+ex+2+a=|x+2|+e-2-x+ex+2+a=f(x),即f(-4-x)=f(x),因此,函数f(x)的图象关于直线x=-2对称.要使f(x)=|x+2|+ex+2+e-2-x+a有唯一零点,则f(-2)=0,即f(-2)=|-2+2|+e0+e0+a=a+2=0,所以a=-2,因此实数a的值为-2.12.设函数f(x)定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x(-1,1)时,f(x)=-x2+1,则函数y=f(x)+lg x的零点个数为(C)A.4B.5C.6D.7解析:y=f(x)+lg x的零点个数即y=f(x),y=-lg x的图象的交点个数,因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)关于原点对称,故f(x)关于(-1,0)对称,又f(x+1)为偶函数,故f(x)关于直线x=1对称,又当x(-1,1)时,f(x)=-x2+1,画出图象,易得函数y=f(x),y=-lg x的图象有6个交点.13.设f(x)和g(x)是定义在同一个区间a,b上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在xa,b上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在a,b上是“集团关联函数”,区间a,b称为“集团关联区间”.若f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在0,3上是“集团关联函数”,则m的取值范围是. 解析:因为f(x)=x2-2x+m,g(x)=-x2-x-m,所以y=f(x)-g(x)=(x2-2x+m)-(-x2-x-m)=2x2-x+2m,由题意可知函数y=f(x)-g(x)在x0,3上有两个不同的零点,得2x2-x+2m=0在0,3上有两个不同的根,则y=2x2-x与y=-2m的图象在0,3上有两个不同的交点,作出y=2x2-x,x0,3的图象如图所示,当x=14时,y=-18,由图象可知,-18<-2m0,解得0m<116.答案:0,116)14.(2022·浙江杭州模拟)已知函数f(x)=2-x,x1,x2+x-1,x<1,那么f(f(4)=,若存在实数a,使得f(a)=f(f(a),则a的个数是. 解析:由f(4)=-2,得f(f(4)=f(-2)=1.设f(a)=t,由f(a)=f(f(a),得t=f(t),即图象与y=x有交点,可得t=1或t=-1,由图象可知,当t=1时,即f(a)=1,可得a=1或a=-2,当t=-1时,即f(a)=-1,可得a=3或a=0或a=-1.综上,存在实数a,使得f(a)=f(f(a),且a的个数是5.答案:1515.已知函数f(x)=x2-2x-3,x,ln(x-1),x>恰有两个零点,则实数的取值范围为. 解析:当x时,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3;当x>时,令ln(x-1)=0,得x=2,若f(x)的两个零点是-1和3,则-1,3,2,解得3,若f(x)的两个零点是-1和2,则-1,3>,2>,解得-1<2,若f(x)的两个零点是2和3,则-1>,3,2>,此不等式组无解.综上所述,的取值范围为-1<2或3.答案:-1,2)3,+) 16.(多选题)(2022·辽宁鞍山二模)已知函数f(x)=|log2x|(0<x<2),x2-8x+13(x2),若f(x)=a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且满足x1<x2<x3<x4,则下列命题正确的是(ACD)A.0<a<1B.x1+2x222,92)C.x1+x2+x3+x4(10,212)D.2x1+x222,3)解析:在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=a的图象,如图所示,由图象知,若f(x)=a有四个不同的实数解,则0<a<1,故A正确;因为|log2x1|=|log2x2|,即-log2x1=log2x2,所以1x1=x2,所以x1+2x2=1x2+2x2,1<x2<2,因为y=1x2+2x2在(1,2)上单调递增,所以1x2+2x2(3,92),故B错误;因为x1+x2=1x2+x2,1<x2<2,y=1x2+x2在(1,2)上单调递增,所以1x2+x2(2,52),而x3+x4=8,所以x1+x2+x3+x4(10,212),故C正确;因为2x1+x2=2x2+x2,1<x2<2,y=2x2+x2在(1,2)上单调递减,在(2,2)上单调递增,则2x2+x222,3),故D正确.
