重庆市2021届高三第二次联合诊断检测数学试卷(康德卷.docx

2021年重庆市高考数学第二次联合诊断检测试卷（4月份）（康德卷）一、选择题（每小题5分）.来源:中%教*网#1已知集合Ax|2x2，Bx|1x1，则（）AABABBRACARBDARBR2复数z满足z（2i）|3+4i|，则（）中%&国教*育出版网A2+iB2iC10+5iD105i3已知命题p：x0，x2+x0，则命题p的否定为（）Ax0，x2+x0Bx0，x2+x0Cx0，x2+x0Dx0，x2+x04已知公差不为0的等差数列an中，a2+a4a6，a9a62，则a10（）AB5C10D405已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）中国教育&出*版网#A（0，1）B（1，2C2，4）D（1，4）6已知一组数据1，2，a，b，5，8的平均数和中位数均为4，其中a，bN*，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（）A平均数不变B中位数不变C众数不变D标准差不变7已知实数a，b，c成等差数列，则点P（2，1）到直线ax+by+c0的最大距离是（）AB1CD28已知双曲线C：1（a0，b0）的左焦点为F，直线ykx与双曲线C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），AFB90°，且FAB的面积为a2，则直线AF的斜率为（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知函数f（x）sin（2x+），则下列说法正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）的图象关于直线x对称C函数f（x）的图象关于点（，0）对称D函数f（x）在（0，）上单调递增中国*教育#&出版网10函数f（x）ekxln x（k为常数）的图象可能是（）来源:中#国教育出*版网&ABCD11已知PAB中，AB2，PAPB，C是边AB的中点，Q为PAB所在平面内一点，若CPQ是边长为2的等边三角形，则的值可能是（）A3+B1+C3D1来#源:中国%教*育出版网12已知函数f（x）x4+ax2+ax+1（a0），则（）A存在a使得f（x）恰有三个单调区间Bf（x）有最小值来源#:zzst*%C存在a使得f（x）有小于0的极值点D当x10x2且x1+x20时，f（x1）f（x2）三、填空题（共4小题）.13若平面向量（1，2），| |3，则| |的最小值为 14已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号，乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个，丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站，丁基站只接收信号对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率为 来源&:%中教网15已知多项式（1+x）+（1+x）2+（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，若a1+a2+an57，则正整数n的值为 16已知球O的半径为，以球心为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为8，则正四面体的体积为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，且 _（1）求a的值；（2）若A，求ABC周长的最大值从3acos B+3bcos Aac；3acos B+abcos A3c；bcos C+ccos B3，这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答18已知数列an的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成等差数列来*源:中%教网&（1）求an；（2）是否存在mN*，使得a1a2+a2a3+anan+16am对任意nN*成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，BC1B1CO，AO平面BB1C1C中%&国#教育出版网（1）求证：ABB1C；（2）若B1BC60°，直线A1B1与平面BB1C1C所成角为30°，求二面角A1B1C1A的余弦值20到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9 899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务在接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2 021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2 021年初开始种植已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1 000元，根据前期各方面调查发现，由于天气市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：该经济农作物市场价格（元/kg）1015该经济农作物每年亩产量（kg）400600概率0.40.6概率0.250.75（1）设2 021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；（2）已知当地某农户在2 021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2 021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12 000元的概率来源:z%zst&ep.com（注：纯收入种植收入种植成本）21已知椭圆C：1（ab0）的右焦点F恰为抛物线E：y24x的焦点，P（x0，）是椭圆C与抛物线E的一个公共点（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与x轴平行的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中垂线分别交x，y轴于M，N两点，求的取值范围22已知函数f（x）ex+1+ax2+2ax（aR）（1）若f（x）在（1，+）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1x2），且x2x1ln 2，求a的取值范围中&国教育*出版网#参考答案一、选择题（共8小题）.1已知集合Ax|2x2，Bx|1x1，则（）AABABBRACARBDARBR解：集合Ax|2x2，Bx|1x1，则ABx|1x1B，故A错误；RAx|x2或x2，AB，所以BRA，故B错误；RBx|x1或x1，ARBx|2x1或1x2，故C错误；ARBx|2x2x|x1或x1R，故D正确ww#*w.zzst故选：D2复数z满足z（2i）|3+4i|，则（）A2+iB2iC10+5iD105i解：因为z（2i）|3+4i|5，所以，故故选：B3已知命题p：x0，x2+x0，则命题p的否定为（）Ax0，x2+x0Bx0，x2+x0www.z*zstep.c%#omCx0，x2+x0Dx0，x2+x0解：命题为特称命题，则命题的否定：x0，x2+x0，故选：D4已知公差不为0的等差数列an中，a2+a4a6，a9a62，则a10（）AB5C10D40解：设等差数列an的公差为d0，a2+a4a6，a9a62，2a1+4da1+5d，a1+8d，解得a1d，则a10a1+9d10×，故选：A5已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（1，2C2，4）D（1，4）中国%教*育出版网解：因为f（x）在R上单调递增，来源:#中教%*网&所以，解得2a4故选：C中*国教&%育#出版网6已知一组数据1，2，a，b，5，8的平均数和中位数均为4，其中a，bN*，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（）A平均数不变B中位数不变C众数不变D标准差不变解：根据数据1，2，a，b，5，8的平均数为4，得（1+2+a+b+5+8）6×4，解得a+b8；由中位数是4，所以ab4或a3，b5；来源&:中教%网去掉一个最大数8后，该组数据的平均数和标准差都变小，中位数可能是4，也可能是3，来源:zz&st*ep#.com当ab4时，众数与原来相同，都是4；当a3，b5时，众数与原来也相同，都是5故选：C7已知实数a，b，c成等差数列，则点P（2，1）到直线ax+by+c0的最大距离是（）w&#w%w.zzAB1CD2解：由a，b，c成等差数列，得a+c2b，所以c2ba；则点P（2，1）到直线ax+by+c0的距离是来源#:中国教%育出*版网d，由（a+b）22（a2+b2），即a2+b2（a+b）2，所以|a+b|当且仅当ab时取等号，www.%z&zste#所以d，来源:中国教&育出版网%#即点P（2，1）到直线ax+by+c0的最大距离是故选：C8已知双曲线C：1（a0，b0）的左焦点为F，直线ykx与双曲线C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），AFB90°，且FAB的面积为a2，则直线AF的斜率为（）ABCD解：设双曲线的右焦点为F2，连接AF2，BF2，由图形可知AFBF2是矩形，|AF|AF2|2a，|AF|AF2|3a2，中&国#教育*出版网|AF|3a，|AF2|a，在RtAFF2中，kAFtanAFF2故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.来源:中教网*&%9已知函数f（x）sin（2x+），则下列说法正确的是（）来源:z&zstep*.comA函数f（x）的最小正周期为来源#%:中教网*B函数f（x）的图象关于直线x对称来源:zzstep&%.comC函数f（x）的图象关于点（，0）对称D函数f（x）在（0，）上单调递增解：f（x）sin（2x+），A：T，故A对；B：当2x+k（kZ），即x+（kZ），该函数图象对称轴为x+（kZ），当k0时，x，故B对；C：当2x+k（kZ），即x（kZ），该函数图象对称中心的横坐标为x（kZ），无论k取何值，x都不等于，故C错；D：当2x+2k，+2k（kZ），解得x+k，+k（kZ），即在区间+k，+k（kZ）上该函数单调递增当k0时，x，（0，）不在该区间上，故D错；故选：AB来源&#%:中*教网10函数f（x）ekxln x（k为常数）的图象可能是（）ABCD解：令f（x）ekxln x0，解得x1，即函数f（x）有且只有一个零点，故D不可能，来源&:中*国教育%出版网f（x）（kxln x+1），令yxln x，则y'ln x+1，令y'0，则x，即函数y在（，+）上单调递增，令y'0，则x，即函数y在（0，）上单调递减，当x时，y取得最小值，为，即xln x，+），且x0时，xln x0，x+时，xln x+，www.zzstep.%com*&故当0ke时，f'（x）0，f（x）单调递增，选项A可能，当ke时，f'（x）存在两个零点x1，x2，且0x1x21，f（x）在（0，x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，选项B可能，当k0时，f'（x）存在唯一零点x0，且x01，f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，选项C可能，故选：ABC11已知PAB中，AB2，PAPB，C是边AB的中点，Q为PAB所在平面内一点，若CPQ是边长为2的等边三角形，则的值可能是（）A3+B1+C3D1解：如图，若Q与B在CP的同侧时，则（+）（+）1+0+1+1×2×cos +2×2×cos +1，如图，若Q与B在CP的异侧时，来源:*&中教%网则（+）（+）1+0+1+1×2×cos +2×2×cos +1，故选：BD12已知函数f（x）x4+ax2+ax+1（a0），则（）A存在a使得f（x）恰有三个单调区间Bf（x）有最小值C存在a使得f（x）有小于0的极值点来%源:#中教*网&D当x10x2且x1+x20时，f（x1）f（x2）解：f（x）4x3+2ax+a，f（x）12x2+2a，当a0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（）3a2a0，f（0）a0，所以f（x）在（，0）内存在唯一零点，记为x0，则f（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，所以f（x0）既是极小值又是最小值；当a0时，f（x）在（，）和（，+）上单调递增，在（，）上单调递减，f（0）a0，f（）a（1），www.%z&zst*e#若a，则f（）0，f（x）在（，0）上有两个零点，记为x1，x2，www.zz&ste%p.#com在（0，+）上有一个零点，记为x3，则f（x）只在（，x1）和（x2，x3）上单调递减，在（x1，x2）和（x3，+）上单调递增，x1为小于0的极小值点，f（x1）和f（x3）中的较小者即为f（x）的最小值；若a0，则f（）0，f（x）只在（0，+）上存在唯一零点，记为x0，f（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，f（x0）为最小值，来源#&:中教网%故B，C正确，A错误；对于D，当x10x2，x1+x20时，f（x1）f（x2）+a（）+a（x1x2）（x1x2）（x1+x2）（+a）+a，取a（+），则有f（x1）f（x2）0，故D错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若平面向量（1，2），| |3，则| |的最小值为中国教#育出版*&网解：，来源:中国#教育出版网&，来#源:zzs*tep.com时，取最小值故答案为：来*源:%zzstep.&com14已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号，乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个，丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站，丁基站只接收信号对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率为解：丙基站能接收到信号有两种可能，甲直接发给它，概率为，甲发给乙，乙发给丙，概率为，丙能接收到的概率为P来#源:中教%&*网故答案为：来源:中#国教*%育出版网15已知多项式（1+x）+（1+x）2+（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，若a1+a2+an57，则正整数n的值为5解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，令x0，可得a0n 若a1+a2+an57，则令x1，可得2+22+2nn+a1+a2+ann+57，即2n+12n+57，2n+1n+59，正整数n5，故答案为：516已知球O的半径为，以球心为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为8，则正四面体的体积为18解：由题意可知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2，半径为1，故球心O到正四面体各个面的距离为，设正四面体的棱长为a，如图所示，则斜高AE3EFa，正四面体的高为AF，在RtAEF和RtAGO中，即，所以a6，所以V18故答案为：18四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.来源:#*中教网17在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，且 _（1）求a的值；（2）若A，求ABC周长的最大值从3acos B+3bcos Aac；3acos B+abcos A3c；bcos C+ccos B3，这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答来源:中教网#&%解：（1）若选，则由正弦定理得：3sin Acos B+3sin Bcos Aasin C，中国%&*教育出版网3sin（A+B）asin C，3sin Casin C，且sin C0，a3；若选，则由正弦定理得：3sin Acos B+asin Bcos A3sin C，asin Bcos A3sin（A+B）3sin Acos B，asin Bcos A3sin Bcos A，且sin Bcos A0，来#源:中国教育出版&%网a3；若选，则由正弦定理得：，且sin A0，来%源:z&z#a3.w#ww.zz&st（2）若，由余弦定理得，b2+c29bc，（b+c）29bc，又，即，当且仅当时取等号，ABC周长的最大值为18已知数列an的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成等差数列（1）求an；（2）是否存在mN*，使得a1a2+a2a3+anan+16am对任意nN*成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由来%源:中国教育出版#网解：（1）数列an的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成等差数列故4Sn6+an，当n1时，解得a12，当n2时，4Sn16+an1，得：（常数），所以数列an是以2为首项，为公比的等比数列；所以（2）由（1）得：，所以a1a2+a2a3+anan+1，来源*:中国教育出版&网所以对任意的nN恒成立中#国*教育%&出版网由于且n+时，1，所以，故m为偶数，来源:zzste&p#.co*m当m2时成立，当m4时，故m219如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，BC1B1CO，AO平面BB1C1C（1）求证：ABB1C；（2）若B1BC60°，直线A1B1与平面BB1C1C所成角为30°，求二面角A1B1C1A的余弦值解：（1）证明：由题知四边形BCC1B1是菱形，B1CBC1，AO平面BB1C1C，AOB1C，AOB1CO，B1C平面AOB，来源:中教#%网AB平面AOB，B1CAB中国教*育%&出版网（2）A1B1AB，AB与平面BB1C1C所成角为30°，AO平面BB1C1C，ABO30°，设O为原点，OB1为x轴，OC1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（1，0，0），C1（0，0），A（0，0，1），B（0，0），由，知A1（1，1），（0，1），（1，0），（1，0，1），设平面AB1C1的法向量为（x，y，z），则，取y1，得（），同理得平面A1B1C1的法向量（），cos，二面角A1B1C1A的余弦值为20到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9 899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务在接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2 021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2 021年初开始种植已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1 000元，根据前期各方面调查发现，由于天气市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：该经济农作物市场价格（元/kg）1015该经济农作物每年亩产量（kg）400600概率0.40.6概率0.250.75（1）设2 021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；（2）已知当地某农户在2 021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2 021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12 000元的概率（注：纯收入种植收入种植成本）解：（1）由题知一亩地的种植收入可能为4 000，6 000，9 000，X的可能取值为3 000，5 000，8 000，P（X3 000）0.4×0.250.1，P（X5 000）0.4×0.75+0.6×0.250.45，P（X8 000）0.6×0.750.45，X的分布列为： X 3 000 5 000 8 000 P 0.1 0.45 0.45（2）纯收入超过12 000元，即3亩地种植收入超过15 000元，若价格为10元/kg，则3亩地的总产量超过1 500 kg，来源:zzstep&.co#%m400×2+6001 500，400+2×6001 500，符合条件的概率为：中&国#教育*出版网（×0.25+0.752）×0.40.393 75，若价格为15元/kg，则3亩地的总产量超过1 000 kg，3×4001 000，来源:zzstep.%&c#omP（纯收入超过12 000元）0.6+0.393 750.993 7521已知椭圆C：1（ab0）的右焦点F恰为抛物线E：y24x的焦点，P（x0，）是椭圆C与抛物线E的一个公共点来源&:#%中教网*（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与x轴平行的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中垂线分别交x，y轴于M，N两点，求的取值范围解：（1）由点P在抛物线E上可知，x，则P到抛物线的准线的距离为，www.z*z%step.#com设椭圆的左焦点为F1，则|PF1|，所以2a，所以a2，来*源%:zzs#tep&.com又c1，所以b2a2c23，来源*:中国教育&出版网故椭圆的方程为.（2）设直线l的方程为：xmy+1，与椭圆方程联立可得：（4+3m2）y2+6my90，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y，由ABMN可知，而|y，设AB的中点坐标为（x0，y0），则y，x，故AB的中垂线方程为y+m（x），来源#:中国教育出版&%网令y0得x，所以）22已知函数f（x）ex+1+ax2+2ax（aR）（1）若f（x）在（1，+）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1x2），且x2x1ln 2，求a的取值范围解：（1）由题意知f（x）ex+1+2ax+2a0在（1，+）上恒成立，即2a在（1，+）上恒成立，令h（x），x1，则h（x），h（x）在（1，0）递增，在（0，+）递减，h（x）h（0）e，2ae，即a，即a的取值范围是，+）.w#ww.zzstep.&%com*（2）由题意知x1，x2是方程f（x）0的两根，又f（1）10，故x1，x2是2a的两根，w%ww.*令h（x），由（1）知，h（x）在（，1）和（1，0）递增，在（0，+）递减，当x时，h（x）0且h（x）0，当x1且x1时h（x）+，当x1且x1时，h（x），当x+时，h（x），h（0）e，中%国教育出版&#网故2ae时，方程h（x）2a有2根x1，x2，其中1x10x2，若x1+ln 20，则x2x1ln 2，符合题意，若x1+ln 20，则x2x1ln 2x2x1+ln 2h（x2）h（x1+ln 2）h（x1）h（x1+ln 2），即x1ln 21，故1x1ln 21，2ah（x1）h（ln 21），故a，即a的取值范围是（，）ww#w.zzst&ep.co*m