辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高一上学期第一次质量监测数学试题数学答案.docx

沈阳市120中学2023-2024学年度上学期高一年级第一次质量监测数学满分150分 时间120分钟 命题人：刘洋 樊丽 审题人：李晓东一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列关系中，正确的个数为(    )72R;Q;|3|N; 4Z.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 解：72R与 4=2Z是正确的；：是无理数，故错误；：|3|=3N，故错误；所以本题选B2.已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）A B C D【答案】C3.若函数满足，则（ ）A0B2C3D【答案】D4.若a,b,cR且a>b，则下列不等式成立的是(    )A. a2>b2B. 1a<1bC. ac>bcD. ac2+1>bc2+1【答案】D 解：对于A，a2b2=a+bab，ab>0，a+b正负不确定，所以不正确；对于B，1a1b=baab，ba<0，ab正负不确定，所以不正确；对于C，c可能为0，所以有可能a|c|=b|c|，所以不正确；对于D，ac2+1>bc2+1abc2+1>0  ，正确故选D5.函数的一个单调递增区间是（ ）ABCD【答案】C 6.已知m，n是方程x2+5x+3=0的两根，则m nm+n mn的值为(    )A. 2 3B. 2 3C. ±2 3D. 以上都不对【答案】A 解：m、n是方程x2+5x+3=0的两根，m+n=5，mn=3，即m，n都是负数，m nm+n mn=m mnm+n mnn= mn mn=2 mn=2 3故选A7.若函数y= ax2+4x+1的值域为0,+)，则实数a的取值不可能为(    )A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】D  解：当a=0时，y= 4x+10，即值域为0,+)，满足题意;当a0时，设f(x)=ax2+4x+1，若使函数y= ax2+4x+1的值域为0,+)，则只需f(x)=ax2+4x+1取大于等于零的实数，即只需f(x)=ax2+4x+1的图象与x轴有交点即可，因此a>0,=424a0,解得0<a4.综上，0a4.故选D8.已知函数fx=3x+1,x1x21,x>1，若n>m，且fn=fm，设t=nm，则t的最大值为(    )A.  B. 51C. 1712D. 43【答案】C 解：函数f(x)=3x+1,x1x21,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，令f(x)=4，解得x=1或x= 5，即有m1， 5n>1，可得3m+1=n21，可得m=13(n22)，则t=nm=n13(n22)=13n2+n+23，1<n 5，对称轴为n=32，当n=32时，t取最大值1712故选C二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为(    ) A. B(AC)B. uB(AC)C. Bu(AC)D. (AB)(BC)【答案】AD 解：在阴影部分区域内任取一个元素x，则xAB或xBC，故阴影部分所表示的集合为B(AC)或(AB)(BC)故选：AD10.下列命题中为真命题的是(    )A. 不等式的解集为B. 若在上具有单调性，且，那么当时，C. 函数，为同一个函数D. 已知>0，>0，则【答案】BCD11.已知x>0，y>0且3x+2y=10，则下列结论正确的是(    )A. xy的最大值为625B. 3x+ 2y的最大值为2 5C. 3x+2y的最小值为52D. x2+y2的最大值为10013【答案】BC 解：对于A选项，3x+2y=10，3x+2y2 6xy， 6xy102=5，xy256，当且仅当3x=2y，即x=53,y=52时等号成立选项A错误；对于B选项，( 3x+ 2y)2=3x+2y+2 6xy10+10=20， 3x+ 2y2 5，当且仅当3x=2y，即x=53,y=52时等号成立故选项B正确；对于C选项，3x+2y=110×(3x+2y)(3x+2y)110(13+2 36)=52，当且仅当6yx=6xy，即x=y=2时等号成立故C选项正确；对于D选项，x2+y2=(102y3)2+y2=13y240y+1009(0<y<5)，当y=2013时，取得最小值为10013，因为y取不到5，所以无最大值；故D选项错误故选BC12.对xR，x表示不超过x的最大整数十八世纪，y=x被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是(    )A. xR，xx+1B. x，yR，x+yx+yC. 函数y=xx(xR)的值域为0,1)D. 若tR，使得t3=1，t4=2，t5=3，tn=n2同时成立，则正整数n的最大值是5【答案】BCD 解：当xk,k+1)(kZ)时，x=k，则x<x+1，即xR，x<x+1，故A错误；任取x=a+b，y=c+d，aZ，b0,1)，cZ，d0,1)，则x=a，y=c，x+y=a+b+c+d，b+d0,2)，若b+d0,1)，此时x+y=a+c；若b+d1,2)，此时x+y=a+c+1；所以x+ya+c=x+y，所以x，yR，x+yx+y，B正确；由定义得xx<x+1，所以0xx<1，所以函数y=xx的值域是0,1)，C正确；若tR，使得t3=1，t4=2，t5=3，tn=n2同时成立，则1t<32，42t<43，53t<54，64t<65，nn2t<nn1，因为64=32，若n6，则不存在t同时满足1t<32，64t<65，只有n5时，存在t53,32)满足题意，故选：BCD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“xR，x2ax+5<0”为真命题，则实数a的取值范围                  【答案】a<25或a>2514.已知函数f(x)=x2+2x(x0)x2+2x(x<0)在区间1,a2上单调递增，则实数a的取值范围为          【答案】(1,3 解：函数f(x)=x2+2x(x0)x2+2x(x<0),x0时，f(x)=x2+2x=(x1)2+1，f(x)在0,1单调递增，在(1,+)上单调递减，当x<0时，f(x)=x2+2x=(x+1)21，f(x)在1,0)单调递增，在(,1)上单调递减，又f(x)的图象在x=0处连续且f(0)=0，在(,1)和(1,+)上单调递减，1,1单调递增，f(x)在1,a2上单调递增，有1<a21，即a(1,3,故答案为(1,315.已知集合A=a|关于x的方程x24x+a=1的解集只有一个元素，用列举法表示A=          【答案】174,2,2 解：已知集合A=a|x24x+a=1有唯一解，因为x24=(x+2)(x2)，有：x24=(x+2)(x2)=x+a成立，且x+a0成立；当a=2，解得：x+2=1，x=1唯一解；当a=2，同理解得：x=3唯一解；当a±2 时，解得：x24=x+a；x2xa4=0有唯一解；则=0，解得：a=174；所以，A=174,2,2，故答案为：174,2,216.已知函数的定义域为R，则的最大值是_.【答案】解：因为函数的定义域为R，所以，恒成立，所以，即，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故答案为：四、 解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)(1)设x，y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小(2)用反证法证明：65<23.【答案】(1)解：x、y是不全为零的实数，2x2+y2(x2+xy)=x2+y2xy=x12y2+34y2>0，2x2+y2>x2+xy； -5分(2) 证明：假设6523， 则6+32+5 两边平方得.即两边平方得,与矛盾所以假设不成立，原命题成立即65<23. -10分18.(本小题12.0分)（1）求方程(x1x)272(x1x)+3=0的解集.【答案】解：(1)设x1x=y，原方程化为y272y+3=0，解得y1=2,y2=32 -2分当y=2时，x1x=2，解得x=1当y=32时，x1x=32，解得x=2经检验，原方程的解集为1,2 -4分（2）求当a<0时关于x的不等式ax2+(a1) x1<0的解集.解：关于x的不等式ax2+(a1) x1<0可化为(ax1)(x+1)<0,当1<a<0时,1a<1,且原不等式可化为(x1a)(x+1)>0,其解集为x|x<1a或x>1； -6分当a=1时,1a=1,且原不等式可化为(x+1)2>0,其解集为x|x1； -8分 当a<1时,1a>1,且原不等式可化为(x1a)(x+1)>0,其解集为x|x<1或x>1a； -10分综上,1<a<0时,不等式的解集为x|x<1a或x>1；a=1时,不等式的解集为x|x1；a<1时,不等式的解集为x|x<1或x>1a. -12分19. (本小题12.0分)已知函数f(x)=x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x1|(1)当a=1时，求不等式f(x)+x2g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2+x+4，g(x)=|x+1|+|x1|=2x,x>12,1x12x,x<1,当x>1时，令x+42x，解得x4，则f(x)+x2g(x)的解集为(1,4； -2分当1x1时，令x+42，解得x2，则f(x)+x2g(x)的解集为1,1； -4分当x<1时，令x+42x，解得x43，则f(x)+x2g(x)的解集为43，1 -6分综上所述，f(x)+x2g(x)的解集为1,4； -7分(2)依题意得：x2+ax+42在x1,1恒成立，即x2ax20在1,1上恒成立， -8分则只需12a120(1)2a(1)20， -11分解得1a1，故a的取值范围是1,1  -12分20.(本小题12.0分)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值，并求出此时x的值【答案】解：(1)由题设，可把三块种植植物的矩形区域的总面积看做一个矩形面积所以：S=x8900x2=2x7200x+916, -4分x8,450. -6分(2)因为8<x<450，所以2x+7200x22x×7200x=240，-8分当且仅当2x=7200x,x=60时等号成立， -10分从而S676. -11分故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大值为676m2. -12分 21.(本小题12.0分)给定函数f(x)=x2+x+a2+a，g(x)=x2x+a2a，aR.且xR，用M(x)表示f(x)，g(x)的较大者，记为M(x)=maxf(x),g(x)(1)若a=1，试写出M(x)的解析式，并求M(x)的最小值;(2)若函数M(x)的最小值为3，试求实数a的值【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2+x+2，g(x)=x2x，令f(x)>g(x)有x>1， -1分M(x)=x2x,x1x2+x+2,x>1, -2分M(x)在(,12)上严格减，在(12,+)上严格增，当x=12时，M(x)取最小值M(12)=74； -4分(2)M(x)=f(x),xag(x),x<a, -5分当a<12时，即a>12时，M(x)在(,12)上严格减，(12,+)上严格增，M(x)min=f(12)=3，即a2+a134=0，解得a= 1412(a= 1412舍去)； -7分当12a12，即12a12时，M(x)在(,a)上严格减，在(a,+)上严格增，M(x)min=f(a)=2a2=3，解得a=± 6212,12，故此时a无解； -9分当a>12，即a<12时，M(x)在(,12)上严格减，(12,+)上严格增，M(x)min=g(12)=3，即a2a134=0，解得a=1 142(a=1+ 142舍去)， -11分综上可得a=1 142或a= 1412  -12分22. (本小题12.0分)已知定义域为R的函数f(x)满足下列条件：对任意的实数x，y都有：f(xy)=f(x)f(y)+1，当x>0时，f(x)>1(1)求f(0)；(2)求证：f(x)在R上为增函数；(3)若a3，关于x的不等式f(ax2)+f(xx2)<2对任意的x1,+)恒成立，求实数a的取值范围【答案】解：(1)由题设，令x=y=0，则有f00=f0f0+1，即f0=1 -2分(2)证明：任取x1,x2R，且x1<x2，则x2x1>0，当x>0时，fx>1，f(x2x1)>1fxy=fxfy+1，fx2x1=fx2fx1+1，fx2fx1=fx2x11>0，即fx1<fx2，故fx在R上为增函数 -6分(3)由fxy=fxfy+1，得fxy+fy=fx+1，fax2+fxx2=fax2+xx2+1， 故原不等式可化为fax2+xx2+1<2，即fx2+a+1x2<1，由(1)知f0=1，故不等式可化为fx2+a+1x2<f0， -8分又由(2)可知fx在R上为增函数，x2+a+1x2<0， -9分即x2a+1x+2>0在x1,+)上恒成立，令gx=x2a+1x+2，x1,+)，则gxmin>0成立，由a3，知a+121，则gx在1,+)上为增函数，gxmin=g1=a+4>0，即a>4，故实数a的取值范围是(4,3 -12分