江西科技学院附属中学2021-2022学年高二下学期阶段性测试(期中)数学理科试卷.docx

江科附中2021-2022学年第二学期阶段性测试高二年级数学（理科）试卷 卷面分数：150分；考试时间：120分钟； 命题人、审题人：高二数学备课组一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1（ ）Ai B-i C1 D-12函数y=x2x的单调递减区间为（ ）A（1,1 B（0,1 C1，+） D（0，+）3圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（       ）A10B15C30D604已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（ ）A 1010 B 15 C 35 D 310105设为坐标原点，为双曲线：（）的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（       ）ABCD6“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（       ）A21B22C23D247的展开式中，含项的系数为（       ）A120B40CD8某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A 80种 B 90种 C 120种 D 150种9已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ）A 15 B 415 C 25 D 141510甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A B C D 11六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示若此正八面体的棱长为，则它的内切球的表面积为（       ）ABCD12已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)<fx，且f(0)=2，则不等式f(x)2ex<0的解集为()A (2，+) B (，2) C (0，+) D (，0)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13个相同的小球全部放入个不同的盒子中，每个盒子至少放个小球，有_ 种放法14攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为_.15已知点、在椭圆上，为坐标原点，直线与的斜率之积为，设，若点在椭圆上，则的值为_16在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为_三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分12分）设.求：展开式中各二项式系数的和；展开式中各项系数的和； 的值.18（本题满分12分）已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望19（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP平面ABCD（）求证：CBPD；（）求二面角C-PB-A的余弦值20（本题满分12分）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作切线的垂线交轴于点.（1） 若，求此抛物线与线段以及线段所围成的封闭图形的面积.（2） 求证：；21（本题满分12分）已知，其中（1）若，求在处的切线；（2）若，当时，对任意的都有，求的取值范围选考题：请考生在第22、23二题中任选一题做答22【选修4-4：坐标系与参数方程】（本题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求OAB的面积23【选修4-5：不等式选讲】（本题满分10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1（ ）Ai B-i C1 D-1【答案】D2函数y=x2x的单调递减区间为（ ）A（1,1 B（0,1 C1，+） D（0，+）【答案】B【解析】：y=x2 lnx的定义域为（0，+），y=，由y0得：0x1，函数y=x2 lnx的单调递减区间为（0，1，故选B .3圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（       ）A10B15C30D60【答案】A4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（ ）A 1010 B 15 C 35 D 31010【答案】D【解析】：连BA1，则在正四棱柱中可得BA1CD1，A1BE即为异面直线BE与CD1所成角（或其补角）设AA1=2AB=2，则在A1BE中，BE=2,EA1=1,BA1=5，由余弦定理得cosA1BE=(2)2+(5)2122×2×5=31010，异面直线BE与CD1所成角的余弦值为31010故选D5设为坐标原点，为双曲线：（）的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（       ）ABCD【答案】C【详解】设，渐近线方程为：，因为，所以的直线方程为：，因为，所以由，解得，所以.故选：C.6“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（       ）A21B22C23D24【答案】B【解析】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数.因为只有第12项的二项式系数最大，所以n为偶数，故，解得，故选：B7的展开式中，含项的系数为（       ）A120B40CD【答案】B【详解】由，可得含的项为：，故含项的系数为40.故选：B.8某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A 80种 B 90种 C 120种 D 150种【答案】D【解析】将5名教师分配至三个中学，需要先对教师分组，后分配，分组：教师分组有两种情况：一是：3、1、1分组，分组情况共：C53=10种，二是：2、2、1分组，分组情况共：C52C32A22=15种，所以一共有25种分组情况，将三组分配至三所学校共：25×A33=150种情况.9已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ）A 15 B 415 C 25 D 1415【答案】A【解析】记经过4次测试恰好将2个次品全部找出为事件A，则P(A)=C21C31A42A64=15故选A10甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.故选D.11六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示若此正八面体的棱长为，则它的内切球的表面积为（       ）ABCD【答案】C【解析】设正八面体内切球半径，给正八面体标出字母如下图所示，连接和交于点，因为，所以，又和交于点，所以平面，所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，设内切球与平面切于点，所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以，因为正八面体的棱长为，所以，所以，因为，所以，即，所以正八面体内切球的表面积为：.故选：C.12已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)<fx，且f(0)=2，则不等式f(x)2ex<0的解集为()A (2，+) B (，2) C (0，+) D (，0)【答案】C【解析】：构造函数g（x）=f(x)ex，则函数的导数为g（x）=f'(x)exf(x)ex(ex)2，f（x）f（x），g（x）0，即g（x）在R上单调递减；又f（0）=2，g（0）=f(0)e0=2，则不等式f（x）2ex0化为f(x)ex2，它等价于g（x）2，即g（x）g（0），x0，即所求不等式的解集为（0，+）故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13个相同的小球全部放入个不同的盒子中，每个盒子至少放个小球，有_ 种放法【答案】14攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为_【答案】15已知点、在椭圆上，为坐标原点，直线与的斜率之积为，设，若点在椭圆上，则的值为_【答案】【解析】设点、，则，且.由题设，点在椭圆上，则即，得.故答案为：.16在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为_【答案】588【解析】先种B、E两块，共A42=12种方法，再种A、D,分A、E相同与不同，共A31+A21A21=7种方法，同理种C、F共有7种方法，总共方法数为N=12×7×7=588三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分12分）设.求：展开式中各二项式系数的和；展开式中各项系数的和； 的值.【解析】令注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和令，得展开式中各项系数的和 法一：由令，得又法二：由二项式的展开式知，又，18（本题满分12分）已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望【解析】解：（1）由题意知，所有的选派方法共有种，其中有3名女生的选派方法共有种，所以选出的 4 名同学中至多有2名女生的选派方法数为种 （2）X 的可能取值为 0，1，2，3，.，X 的分布列为：X0123P19（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP平面ABCD（）求证：CBPD；（）求二面角C-PB-A的余弦值【答案】(1)见证明；(2) 【解析】解：（1）连，交于点，连由平面，平面.又 又 又 ，又 （2）由（1）知，以为坐标原点，为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，则轴.由平面几何知识易得，则于是，设平面的法向量为.则，即，取，则，则同理可求得平面的一个向量于是分析知二角面的余弦值为.20（本题满分12分）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作切线的垂线交轴于点。（1） 若，求此抛物线与线段以及线段所围成的封闭图形的面积。（2） 求证：；【答案】(1) 。（2）利用抛物线定义证明【解析】：(1) 从而直线的方程为，与抛物线方程联立得，即 弓形的面积为 ，三角形的面积为所以所求的封闭图形的面积为 。 6分（2）证明：如图，焦点,设 7分由，知， 8分直线的方程为：， 令，得，点， 则。由抛物线定义知，即，直线的方程为 ，令得到 所以，故。 21（本题满分12分）已知，其中（1）若，求在处的切线；（2）若，当时，对任意的都有，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】：（1）当，时，所以，因为，所以，即，故切线方程是，整理得（2）当时，因为时，整理得，令，因为，当时，即在时是减函数；当时，即在上是增函数，所以故选考题：请考生在第22、23二题中任选一题做答22【选修4-4：坐标系与参数方程】（本题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求OAB的面积【解析】（1）C1（R），C2：-2cos-4sin=0；（2）【详解】（1）由题意，因为，代入，可得C1的极坐标方程为，解得，由，可化为，代入可得C2的极坐标方程为，即（2）将代入，解得将代入，解得故OAB的面积为23【选修4-5：不等式选讲】（本题满分10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：.【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）解：，由绝对值得几何意义可得和上述不等式中的等号成立， 不等式的解集为； （2）由绝对值得几何意义易得的最小值为3， ，