高考数学人教a版一轮复习第八章 立体几何与空间向量解答题专项四 第2课时 求空间角.docx
解答题专项四立体几何中的综合问题第2课时求空间角解答题专项练1.(2022·全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)证明:BDPA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.(1)证明:PD平面ABCD,BD平面ABCD,PDBD.取AB的中点E,连接DE.CD=1,BE=12AB=1,CDBE,四边形CDEB是平行四边形,DE=CB=1.DE=12AB,ABD为直角三角形,AB为斜边,BDAD.PD平面PAD,AD平面PAD,且PDAD=D,BD平面PAD.又PA平面PAD,BDPA.(2)解:由(1)知,PD,AD,BD两两垂直,以点D为坐标原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,其中BD=AB2-AD2=3.则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),PD=(0,0,-3),PA=(1,0,-3),AB=(-1,3,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则PA·n=0,AB·n=0,即x-3z=0,-x+3y=0,取x=3,则y=z=1,则n=(3,1,1).设直线PD与平面PAB所成的角为,则sin =|cos<PD,n>|=|PD·n|PD|n|=|-3|3×5=55,直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为55.2.(2022·广东茂名二模)如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=12AB=12AA1,E,F分别为A1D,CC1的中点.(1)证明:EF平面ABCD;(2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值.(1)证明:取AA1的中点G,连接EG,FG,AC,因为EGAD,EG平面ABCD,AD平面ABCD,所以EG平面ABCD,因为AGCF,AG=CF,所以四边形AGFC是平行四边形,FGAC,又FG平面ABCD,AC平面ABCD,所以FG平面ABCD,因为FGEG=G,所以平面EFG平面ABCD,因为EF平面ABCD,所以EF平面ABCD.(2)解:设CD=BC=12AA1=12AB=2,由AD=CD=BC,得DAB=ABC=60°,易知ACBC,所以AC=42-22=23,由题意知CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(23,0,0),A1(23,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(3,-1,0),E323,-12,2,所以EC1=-323,12,2,BC1=(0,-2,4),设平面C1EB的一个法向量为n= (x,y,z),由n·EC1=0,n·BC1=0,得-33x+y+4z=0,y-2z=0,取z=1,得n=233,2,1,连接BD,因为BDAD,BDAA1,ADAA1=A,所以BD平面AA1D,所以平面AA1D的一个法向量为DB=(-3,3,0),所以cos<DB,n>=-2+623×193=21919,所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为21919.3.(2022·山东泰安二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且DAB=60°,PD=AD,PD平面ABCD,M为BC中点,PN=PB(0<<1).(1)求证:平面DMN平面PAD;(2)当取何值时,二面角B-DN-M的余弦值为155.(1)证明:底面ABCD为菱形,DCB=DAB=60°,DBC为正三角形,M为BC中点,DMBC,又BCAD,DMAD,PD平面ABCD,DM平面ABCD,DMPD.又PDAD=D,PD,AD平面PAD,DM平面PAD,又DM平面DMN,平面DMN平面PAD.(2)解:由(1)知,DA,DM,DP两两垂直,以D为坐标原点,DA,DM,DP的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2a,DM=2asin 60°=3a,则D(0,0,0),B(a,3a,0),P(0,0,2a),M(0,3a,0),A(2a,0,0),C(-a,3a,0).PB=(a,3a,-2a),AC=(-3a,3a,0),PN=PB(0<<1),N(a,3a,2a(1-),DN=(a,3a,2a(1-),DM=(0,3a,0),设n=(x,y,z)为平面DNM的一个法向量,则n·DN=0,n·DM=0,ax+3ay+2a(1-)z=0,3ay=0,取z=,则x=2(-1),y=0,n=(2(-1),0,).连接AC,ACBD,ACPD,BDPD=D,故AC平面DNB,AC为平面DNB的一个法向量.|cos<n,AC>|=|n·AC|n|AC|=|-6a(-1)|4(-1)2+2·23a=155,解得=12,当=12时,二面角B-DN-M的余弦值为155.4.(2022·山东枣庄一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,过点D1作出正方体ABCD-A1B1C1D1的截面,使得该截面平行于平面BEF.(1)作出该截面与正方体表面的交线,并说明理由;(2)求BD1与该截面所在平面所成角的正弦值.(截面:用一个平面去截一个几何体,平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.)解:(1) 设G,H分别是棱BC,CC1的中点,顺次连接D1,A,G,H,则四边形D1AGH即为所求的截面.理由如下:因为点G,H分别是棱BC,CC1的中点,故BC1GH,又BC1D1A,所以GHD1A,而两平行直线确定一个平面,所以四边形D1AGH为平面图形.因为点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,故D1AEF,又D1A平面BEF,EF平面BEF,所以D1A平面BEF.因为EB=AB-AE,D1H=D1C1-HC1,AB=D1C1,AE=HC1,所以EB=D1H.又E,B,D1,H不共线,所以EBD1H,又D1H平面BEF,EB平面BEF,所以D1H平面BEF,又D1AD1H=D1,D1A平面D1AGH,D1H平面D1AGH,所以平面D1AGH平面BEF.(2)易知BD1与该截面所在平面所成角的正弦值,即BD1与平面BEF所成角的正弦值.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B(2,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(1,0,2),故BE=(0,-2,1),EF=(-1,0,1),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),则m·BE=-2y+z=0,m·EF=-x+z=0,令z=2,可得m=(2,1,2),又BD1=(-2,-2,2),所以cos<m,BD1>=m·BD1|m|BD1|=-23×23=-39,故BD1与平面BEF所成角的正弦值为39,即BD1与该截面所在平面所成角的正弦值为39.
