广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题(解析版).docx

广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分2请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第卷选择题一单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为.故选：B.2. 空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为（ ）A. 2B. C. D. 6【答案】C【解析】A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），|AB|，故选：C3. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为直线的方程为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，.故选：B.4. 对于空间向量，若，则实数（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】因为，所以，即，所以.故选：D.5. 两圆和的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切【答案】B【解析】因为圆的圆心，半径，圆圆心，半径而,，两圆和相交.故选：B.6. 一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，共有 种取法；其中恰有1件不合格品的取法有种取法，故恰有1件不合格品的概率是，故选：A.7. 如图所示，在空间四边形中，点在上，且，为中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】.故选：B.8. 我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设（）为优美椭圆，、分别为它的左焦点和右顶点，是短轴的一个端点，则等于（ ）A. 90°B. 75°C. 60°D. 72°【答案】A【解析】，在椭圆中，所以等于故选：A二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知分别是双曲线的左右焦点，则下列正确的有（ ）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程为C. 的坐标为D. 直线与双曲线有两个公共点【答案】ABD【解析】双曲线，则，则，故A正确；双曲线的渐近线方程为，故B正确；左焦点，故C错误；直线斜率，则直线与双曲线有两个公共点，故D正确；故选：ABD.10. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ）A. 常数项是20B. 第4项的二项式系数最大C. 第3项是D. 所有项的系数的和为0【答案】AC【解析】因为展开式的通项公式为；令可得，所以常数项为，A错误；第项的二项式系数为，由组合数的性质可知当时，取到最大值，B正确；令可得，所以第三项为，C错误；令可得所有项的系数的和为0，D正确.故选：AC.11. “50米跑”是国家学生体质健康标准测试项目中的一项已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】因为服从正态分布，故，则，故A错误，B正确；5人“50米跑”的测试数据符合二项分布，即，故C正确；，故D错误；故选：BC.12. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.某高校有甲乙两家餐厅，王同学第一天去甲乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44C. 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为D. 第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为【答案】AC【解析】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，所以，因为，所以，所以有,因此选项A正确, ，因此选项B不正确；因为，所以选项C正确；，所以选项D不正确，故选：AC.第卷非选择题三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 计算：_【答案】6【解析】,故答案为：6.14. 一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则_【答案】【解析】由题知，一次射门命中次数为0次或1次，,因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，,故答案为：.15. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则_【答案】13【解析】抛物线C：的准线方程为，设，由抛物线定义得：，因AB的中点的纵坐标为5，则有，所以故答案为：13.16. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_.【答案】【解析】设双曲线的方程为，由题意得，解得，则双曲线的方程为.作直线，交双曲线于点，交渐近线于点，交轴于点.则，.根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为、高为6的柱体体积相等，故所求体积为.四解答题：本题共6小题，共70分，解答应给出文字说明证明过程及演算步骤17. 已知直线与的交点为.（1）求交点的坐标；（2）求过交点且平行于直线的直线方程.解：（1）由解得所以点的坐标是.（2）因为所求直线与平行，所以设所求直线方程为，把点坐标代入得，得.故所求的直线方程为.18. 从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）（1）甲乙两人必须跑中间两棒；（2）若甲乙两人都被选且必须跑相邻两棒解：（1）甲乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，故有种；（2）若甲乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故有种19. 已知圆，点（1）已知直线与圆相交于两点，求的长；（2）判断点与圆的位置关系，并求过点且与圆相切的直线方程解：（1）由已知可知圆心到直线的距离，圆的半径长为2，得.（2）将点代入圆的方程可得：，所以，点在圆外；当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，圆心到直线距离为2，正好等于半径，此时直线与圆相切；当直线斜率存在时，设直线：，即，圆心到直线的距离为，解得，此时直线方程为：综上可知切线的方程为或20. 2022年11月30日7时33分，翘盼已久的神舟十四航天员乘组顺利打开“家门”热烈欢迎神舟十五的亲人入驻“天宫”太空奇迹，源于一代代航天人的筚路蓝缕薪火相传为激发同学们对航天科学的兴趣，某校举办航天知识竞答，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答小明小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立记高二1班答对题目的数量为随机变量（1）若，求的分布列和数学期望；（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求的最小值解：（1）的可能取值为，高二1班答对某道题的概率，则；，则得分布列为01234则.（2）高二1班答对某道题的概率为，答错某道题的概率为则，解得，所以的最小值为21. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.（1）证明：因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，因为，所以，即.（2）解：设平面的法向量为，所以有，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.22. 已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆E的一个顶点，且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线与椭圆E相交于A、B两点，与直线相交于Q点，P是椭圆E上一点，且满足（其中O为坐标原点），试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线的焦点即为椭圆E的顶点，即，离心率为，椭圆E的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线方程代入椭圆方程，可得，代入椭圆方程可得，设T（t，0），Q（4，m4k），要使为定值，只需，在x轴上存在一点T（，0），使得