全国统考版高考数学二轮复习专题七解析几何预测题学案理.docx

解析几何一、选择题1已知直线l:kx+y+4=0(kR)是圆C:x2+y26x+2y+9=0的对称轴，过点P1，k作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（）ABCD【答案】D【解析】因为直线kx+y+4=0是圆C:x2+y26x+2y+9=0的对称轴，所以直线kx+y+4=0过圆心，即3k1+4=0，k=1，所以点P1，1，PC=2，因为圆C的半径r=1，所以切线长PA=PB=PC2r2=3，且在直角三角形中，所以APC=BPC=30°，APB=60°，所以三角形PAB的面积，故选D【点评】本题主要考了直线与圆的位置关系，以及切线长的求法，属于基础题2已知x，y都是实数，则“x+y2”是“x2+y21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】x+y2表示的区域是以±2，0，0，±2为顶点的正方形及其内部，x2+y21表示的区域是0，0为圆心，1为半径的圆及其内部，所以x2+y21能够得到x+y2成立，反之不成立，故选B【点评】本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要条件，则对的集合与q对应集合互不包含3已知圆O:x2+y2=r2r>0与x轴的交点为A、B，以A、B为左、右焦点的双曲线的右支与圆O交于P、Q两点，若直线PQ与x轴的交点恰为线段AB的一个四等分点，则双曲线的离心率等于（）ABCD【答案】A【解析】由题意可知PQ为OB的中垂线，因为点A、B的坐标分别为r，0、r，0，所以PQ方程为，联立，解得，可取，所以双曲线的焦距为2c=2r，即c=r，因为，由双曲线定义可得2a=PAPB=31r，所以双曲线的离心率，故选A【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率4过点P(x，y)作圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x2)2+(y2)2=1的切线，切点分别为AB，若PA=PB，则x2+y2的最小值为（）A2B2C22D8【答案】B【解析】如图所示，由圆的切线的性质得C1APA，C2BPB，在RtPAC1，RtPBC2中有PA2=PC121，PB2=PC221，由题知PA=PB，PC1=PC2，所以点P在线段C1C2的垂直平分线上；由题知C1(0，0)，C2(2，2)，所以C1与C2的中点Q的坐标为(1，1)，C1与C2所在直线的斜率为，P，Q所在直线l1的斜率为，直线l1的方程为y=1×(x1)+1，即y=x+2，点P(x，y)在y=x+2，所以点P的坐标满足y=x+2，所以x2+y2=x2+(x+2)2=2x24x+4=2(x1)2+22，故选B【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将x2+y2表示为只含有一个未知数x的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点P所在的一条直线，进而用一个未知数x表示出其坐标，进而求得x2+y2的最小值5已知抛物线，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点Ax1，y1，Bx2，y2，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论错误的是（）ABCD【答案】C【解析】设过抛物线C：的焦点F的直线为，代入抛物线方程得y22pmyp2=0由直线上两点Ax1，y1，Bx2，y2，则有y1y2=p2，A正确；，B正确；M点坐标为，故，当m0时，MAMB0，即AMB90°，故C错误；由，D正确，综上所述，本题选C，故选C【点评】（1）坐标法是解析几何的基本方法；（2）抛物线的焦点弦的常用性质：弦长|AB|=x1+x2+p；，；以AB为直径的圆与准线L相切6已知双曲线的左焦点为F，左顶点为A，直线交双曲线于PQ两点(P在第一象限)，直线PA与线段FQ交于点B，若FB=2BQ，则该双曲线的离心率为（）A2B3C4D5【答案】D【解析】依题意可得Aa，0，Fc，0，因为P在第一象限，所以k>0，设Px1，y1，Qx2，y2，联立直线与双曲线方程，消去y得b2a2k2x2a2b2=0，解得，所以，设Bm，n，由FB=2BQ，所以FB=2BQ，即，即，解得，即，因为B、A、P在一条直线上，所以kAP=kAB，即，即，即2ab+2ab2a2k2=2ab+c3ab2a2k2，所以2ab2a2k2=c3ab2a2k2，解得c=5a，所以，故选D【点评】本题考查双曲线的离心率的计算，关键是方程思想的应用二、填空题7已知双曲线与抛物线C2：的焦点F重合，过点F作直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x轴上方）且满足AF=3BF，若直线l只与双曲线右支相交于两点，则双曲线C1的离心率e的取值范围是_【答案】1，2【解析】设直线l的倾斜角，直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x轴上方），则为锐角，焦点，准线，准线与x轴交点记为P，过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为C、D，过B向AC作垂线，垂足为E，设直线与x轴交点记为Q，过A向x轴作垂线，垂足为G，由抛物线的定义AF=AC=GP=GF+FP，因为GF=AFcos，FP=p，所以AF=AFcos+p，BF=BD=PQ=FPFQ，因为FQ=BFcos，FP=p，所以，由，则，由直线l只与双曲线右支相交于两点，则，则，由e1，+，则1<e<2，故答案为1，2【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率8设抛物线C: y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且，则_【答案】2【解析】抛物线C: y2=4x的焦点为F1，0，设直线AB的方程为y=kx1，代入y2=4x，得k2x22k2+4x+k2=0，设Ax1，y1，Bx2，y2，则，x1x2=1，由抛物线的定义可得AF=x1+1，BF=x2+1，由，得，即，由，即，解得或x2=2（舍），所以x1=2，所以，故答案为2【点评】本题考查抛物线中过焦点的弦的性质的应用，解答本题的关键是方程联立得到x1x2=1，由抛物线的定义可得：AF=x1+1，BF=x2+1，得出，属于中档题三、解答题9已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l:y=2x+a与抛物线C交于A，B两点（1）若a=1，求FAB的面积（2）已知圆M:(x3)2+y2=4，过点P(4，4)作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证：直线DE与圆M相切【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）抛物线的焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y=2x1方程代入抛物线y2=4x，可得4x28x+1=0，|AB|=1+k2|x2x1|=5(x1+x2)24x1x1=15，点F到直线l的距离，（2）设过点P的直线方程为，由直线与圆M相切得，可得，设切线PD，PE的斜率分别为t1，t2，则，把代入抛物线方程可得，则4，y1是方程的两根，可得，同理则有，直线，即为，则圆心(3，0)到直线DE的距离为，由，代入上式，化简可得d=2，所以直线DE与圆M相切【点评】证明直线与圆相切，求出直线的方程，圆心和半径，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，化简求值等于半径即可10如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率，左顶点为A(2，0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k0)都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值【答案】（1）；（2）存在，；（3）22【解析】（1）因为椭圆的离心率，左顶点为A(2，0)，所以a=2，又，所以c=1，可得b2=a2c2=3，所以椭圆C的标准方程为（2）直线l的方程为y=k(x+2)，由，可得(x+2)(4k2+3)x+8k26=0，所以x1=2，当时，所以，因为点P为AD的中点，所以P点坐标为，则，直线l的方程为y=k(x+2)，令x=0，得E点坐标为(0，2k)，假设存在定点Q(m，n)(m0)，使得OPEQ，则kOPkEQ=1，即恒成立，所以(4m+6)k3n=0，所以，即，所以定点Q的坐标为（3）因为，所以OM的方程可设为，和联立可得M点的横坐标为，由，可得，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为22【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为Ax1，y1，Bx2，y2；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为x1+x2，x1x2形式；（5）代入韦达定理求解11已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=8x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线x=1上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E求证：直线DE过定点H(4，0)【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆C的离心率，所以，即由y2=8x，得2p=8，所以p=4，其焦点为，因为抛物线y2=8x的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以a=2，所以c=1，b=3所以椭圆C的方程为（2）由（1）可得A(2，0)，B(2，0)，设点M的坐标为(1，m)，直线的方程为将与联立，消去y整理得：4m2+27x2+16m2x+16m2108=0，设点D的坐标为xD，yD，则，故，则直线的方程为，将与联立，消去y整理得4m2+3x216m2x+16m212=0设点E的坐标为xE，yE，则，故，则，直线HD的斜率为，直线HE的斜率为因为k1=k2，所以直线DE经过定点H【点评】通过HD和HE的斜率相等来证明直线DE过定点H(4，0)是解题关键12已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，AF=3过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数，使得k1=k2恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）=3【解析】（1）因为离心率为，所以，又AF=3，所以a+c=3，解得a=2，c=1，又c2=a2b2，所以b2=3，所以椭圆方程为（2）由（1）知F1，0，A2，0，设直线PN的方程为x=my+1，Px1，y1，Nx2，y2，因为M与P关于原点对称，所以Mx1，y1，所以，若存在，使得k1=k2恒成立，所以，所以y1x2+2=y2x12，两边同乘y1得y12x2+2=y2y1x12，又因为Px1，y1在椭圆上，所以，所以，所以，当x12时，则，所以3x2x16x2+x112=4y2y1；当x1=2时，M与A重合，联立方程，消元得3m2+4y2+6my9=0，所以，所以，代入得，整理得108=36，解得=3【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形