考点04指对幂函数(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版).docx

考点04 指对幂函数（核心考点讲与练）1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a>0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0，1)，即x0时，y1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(，)上是增函数在(，)上是减函数4.对数的概念一般地，对于指数式abN，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即blogaN(a>0，且a1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.5.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a>0，且a1).(2)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；loga mMnlogaM(m，nR，且m0).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).6.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数7.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳1.幂函数yx(R)图象的特征>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.4.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定.指数函数一、单选题1（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（       ）AB9CD2【答案】B【分析】将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可【详解】由函数的图象经过，则，即，当且仅当时取到等号故选：B2（2022·江西上饶·二模（理）函数的大致图像为（       ）ABCD【答案】B【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案【详解】当，函数为奇函数，排除C；，排除AD；故选：B.3（2022·河北秦皇岛·二模）设，则（       ）ABCD【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为，所以.故选：B4（2022·浙江嘉兴·二模）已知集合，则（       ）ABCD【答案】A【分析】先解出集合，再计算即可.【详解】，故.故选：A.二、多选题5（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（       ）ABCD【答案】ACD【分析】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案【详解】解：设，则，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，又，所以，即，故C正确；故选：ACD三、填空题6（2022·江苏南通·模拟预测）若，则的最小值为_【答案】【分析】把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，则，当且仅当，即时取“=”，此时，所以，当时，取最小值.故答案为：7（2022·辽宁锦州·一模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_.【答案】【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为，列式求实数a的取值范围.【详解】当时，当时，因为函数的值域为，所以，解得：.故答案为：8（2022·山西·二模（理）已知函数给出下列结论：是偶函数；在上是增函数；若，则点与原点连线的斜率恒为正其中正确结论的序号为_【答案】【分析】对于：利用偶函数的定义进行证明；对于：取特殊值：，否定结论；对于：直接表示出点与原点连线的斜率为，并判断.【详解】函数的定义域为.对于：因为，所以是偶函数.故正确；对于：取特殊值：由，得到，不符合增函数，可得错误；对于：当时，点与原点连线的斜率为.因为，所以，所以，所以.故正确；所以正确结论的序号为故答案为：9（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_【答案】【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.【详解】由题意得：有解令有解，即有解，显然无意义,当且仅当，即时取等，故答案为：.10（2022·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则_【答案】【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值.【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.对数函数一、单选题1（2022·辽宁锦州·一模）若，则x，y，z的大小关系为（       ）ABCD【答案】A【分析】首先指对互化得，再结合对数函数的性质判断的范围和大小，再结合对数函数的单调性比较x，y，z的大小关系.【详解】，且，即，根据函数的单调性可知，即 .故选：A2（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W信道内信号的平均功率S信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（       ）（附：）A20%B23%C28%D50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了.故选：B.3（2022·北京顺义·二模）函数的定义域为（       ）ABCD【答案】A【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解【详解】由题意，解得故选：A4（2022·河南新乡·二模（文）函数的部分图象大致为（       ）ABCD【答案】B【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D，再利用特殊值排除选项A、C.【详解】因为的定义域为，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项D；又，所以排除选项A；又，所以排除选项C.故选：B5（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（       ）ABCD【答案】C【分析】分析可知内层函数在上为增函数，且有，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】令，因为外层函数为减函数，所以内层函数在上为增函数，则，得，且有，解得.综上所述，.故选：C.6（2022·山西·二模（理）已知是的一个零点，是的一个零点，则（       ）ABCD或【答案】A【分析】利用导数研究函数的单调性得仅有1个零点，且，结合函数的单调性与零点的存在性定理得，根据对数运算得，进而，再根据范围得大小.【详解】解：因为，所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，因为，所以仅有1个零点，因为，所以，因为是增函数，且，所以，因为，所以，所以.故选：A二、多选题7（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数是偶函数，则（       ）AB在上是单调函数C的最小值为1D方程有两个不相等的实数根【答案】BD【分析】根据偶函数定义求得，由复合函数的单调性得出的单调性，从而可判断各选项【详解】是偶函数，则， ，恒成立，所以，A错；，由勾形函数性质知在时是增函数，又在时有且为增函数，所以在上是增函数，B正确，为偶函数，因此在上递减，所以，C错；易知时，即的值域是，所以有两个不相等的实根D正确故选：BD8（2020·全国·模拟预测）已知函数，若，且，则（       ）ABCD【答案】BCD【分析】首先根据函数的解析式得到关于直线对称，那么函数图像只取, 的部分图像，的图像将对数函数在轴下方的图像翻到上方即可，从而得到的范围，进而判断AB选项；令得到，从而得到；又时，再根据基本不等式求解范围即可.【详解】当时，.设函数，则有，故是偶函数，且最小值为0.当时，所以在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减.把的图象向左平移一个单位长度，得到函数的图象，故函数的图象关于直线对称，故可得到函数在上的图象.作出函数的大致图象，如图所示. 又，故函数的图象与轴的交点为.作平行于轴的直线，当时，直线与函数的图象有四个交点.数形结合可知，故A错误；由，得，又根据题意知，所以，即，即，所以，故B正确；令，则，得，因此，故正确；又时，且函数在上单调递增，所以，故D正确.故选：BCD【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项三、双空题9（2022·河北石家庄·二模）已知函数，若存在实数.满足，且，则_，的取值范围是_.【答案】     1     【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可.【详解】作出函数的图象，如图，因为，所以由图可知，即，且，在上单调递增，即的取值范围是.故答案为：1；四、填空题10（2022·海南·模拟预测）若对任意的且，函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为_.【答案】（2，1）【分析】根据对数函数的图象和性质，令，解得，进而得出点P坐标.【详解】令，解得，则，所以点P的坐标为（2，1）.故答案为：（2，1）.11（2022·江西赣州·二模（理）若函数在上是减函数，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据定义域可以推出，根据是减函数，且在上是减函数，可得，从而可得.【详解】由题意可得且，因为函数在上是减函数，所以，所以，即，是减函数，由于在上是减函数，所以，所以的取值范围是.故答案为：五、解答题12（2020·全国·一模（文）（1）已知，证明：；（2）已知，且，若恒成立，求实数k的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）由基本不等式可得，同理可得，的范围，化简整理即可得证.（2）利用换底公式可得，同理可将化简，代入原式，可得，又同理可将变形，代入，结合（1）结论，即可求得结果.【详解】（1）证明：由，得，即，同理，以上三式相加，得（当且仅当时取等号），故成立.（2）解：= =，根据（1），得=所以，故实数k的最大值为3.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值的能力，属中档题.幂函数一、单选题1（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（       ）ABCD【答案】C【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.【详解】A. 函数的定义域为，值域为R；B. 函数的定义域为R，值域为；C. 函数的定义域为R，值域为R；D. 函数的定义域为，值域为，故选：C2（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（       ）A8B4C2D1【答案】A【分析】由奇函数定义域的对称性得，然后可得函数解析式，计算函数值【详解】因为幂函数在上是奇函数，所以，所以，所以，故选：A3（2021·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（       ）A0B2C4D5【答案】C【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解.【详解】解：因为为幂函数所以又的图象过点即解得所以故选：C.4（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理）已知幂函数和，其中，则有下列说法：和图象都过点；和图象都过点；在区间上，增长速度更快的是；在区间上，增长速度更快的是.则其中正确命题的序号是（       ）ABCD【答案】A【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可【详解】幂函数的图象过定点，正确，在区间上，越大增长速度更快，正确，故选：A.5（2022·全国·贵阳一中二模（文）下列函数中是减函数的为（       ）ABCD【答案】D【分析】依次判断4个函数的单调性即可.【详解】A选项为增函数，错误；B选项，为增函数，错误；C选项在为增函数，在为减函数，错误；D选项为减函数，正确.故选：D.6（2022·陕西宝鸡·三模（理）若，则下列结论正确的是（       ）ABCD【答案】B【分析】对于A、B，构造函数，借助函数单调性比大小；对于C， 没有意义；对于D，取特值判断.【详解】对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，故A答案不对；对于B ，构造函数，因为单调递增，又，所以，故B答案正确；对于C，没有意义，故C答案不对；对于D，取时，故D答案不对；故选：B.二、多选题7（2022·全国·模拟预测）已知实数,且,则下列判断正确的是（       ）ABCD【答案】AD【分析】利用均值不等式可判断A；取可判断B；借助幂函数的单调性，结合可判断C；作差法可判断D【详解】由于，由均值不等式，当且仅当时等号成立选项A，当且仅当时等号成立，故A正确；选项B，由于，当时，故B错误；选项C，由于，故，即由于在单调递增，故，故C错误；选项D，由于，故，故D正确故选：AD8（2021·山东·模拟预测）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（       ）AB若，则CD若，则【答案】BCD【分析】由，根据为上的增函数，所以，再逐项分析判断即可得解.【详解】因为为上的增函数，所以.因为函数在上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误；因为函数在上单调递减，所以当，时，故B正确；因为在上单调递增，所以当时，故C正确；因为函数在上单调递增，所以当，时，故D正确.故选：BCD.9（2021·全国·模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（       ）A3e23e2Blog3e3logeClogeDee【答案】BCD【分析】由幂函数在上递减，即可判断A；根据对数性质有，即可判断B；构造函数，求导判断单调性即可判断C；根据C中的结论可判断D【详解】对于A，因为在上递减，则，所以，故A错；对于B，由于，则，故B正确；对于C，设，则当时，当时，所以函数在单调递减，则，得，故C正确；对于D，由C项知，则，即，所以，故D正确故选：BCD.10（2021·山东潍坊·三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（       ）ABCD【答案】ABD【分析】由函数图象过点可得的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得，即，单调递减过点，故A正确；为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；，根据“上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.三、填空题11（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文）写出一个同时具有下列性质的函数_；当时，；【答案】（答案不唯一）；【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式.【详解】由所给性质：在上恒正的偶函数，且，结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.故答案为：（答案不唯一）12（2022·四川泸州·模拟预测（文）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_.【答案】#【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论【详解】函数过定点，如图：结合图象可得：，故答案为：，13（2022·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是_【答案】1，（答案不唯一）【分析】根据幂函数在上的单调性得到，再根据是奇函数可以得到幂函数和幂函数都是奇函数，从而可得的很多组值.【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，因为幂函数在上单调递减，所以，又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.故答案为：1，（答案不唯一）.一、单选题1（2021·全国·高考真题）已知，则下列判断正确的是（       ）ABCD【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.2（2021·全国·高考真题（文）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）A1.5B1.2C0.8D0.6【答案】C【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，则.故选：C.3（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（       ）ABCD【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4（2020·全国·高考真题（理）若，则（       ）ABCD【答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.5（2020·全国·高考真题（理）已知55<84，134<85设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）Aa<b<cBb<a<cCb<c<aDc<a<b【答案】A【分析】由题意可得、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、的大小关系.【详解】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6（2020·全国·高考真题（文）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln193）A60B63C66D69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7（2020·全国·高考真题（文）设，则（       ）ABCD【答案】A【分析】分别将,改写为，再利用单调性比较即可.【详解】因为，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.8（2020·全国·高考真题（文）设，则（       ）ABCD【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由可得，所以，所以有，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9（2020·全国·高考真题（理）设函数，则f(x)（       ）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.二、多选题10（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（       ）A若n=1，则H(X)=0B若n=2，则H(X)随着的增大而增大C若，则H(X)随着n的增大而增大D若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)【答案】AC【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.由于，所以 ，所以 ，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题11（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是_.【答案】【分析】根据对数运算化简为，求解的值.【详解】，即，解得：.故答案为：12（2020·北京·高考真题）函数的定义域是_【答案】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x0时， ，则f(-8)的值是_.【答案】【分析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.一、单选题1. （2022·全国·模拟预测）开普勒（Johannes Kepler，15711630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）A. 0.66aB. 0.70aC. 0.76aD. 0.96a【答案】C【分析】设金星运行轨道的半长轴为，金星和地球的公转周期分别为，根据题意可得，进而结合，即可得出结果.【详解】设金星运行轨道的半长轴为，金星和地球的公转周期分别为，由开普勒定律得.因为，所以，即.因为函数在上单调递增，且，且，所以，因此，故选：C.2. （2022·全国·模拟预测）已知是函数的零点，则的值（ ）A. 为正数B. 为负数C. 等于0D. 无法确定正负【答案】B【分析】先确定函数的单调性，再确定函数零点所在的区间，即得解.【详解】解：由题可知单调递增（增函数+增函数=增函数），且，则，所以所以.故选：B3. （2022·全国·模拟预测）已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】先利用零点存在定理判断出，再由指数函数和对数函数的性质求解.【详解】因为是上的增函数，且，所以，又，所以，所以，故选：A.4. （2022·广东汕头·一模） 已知，则以下不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】，令，则，当时，当时，所以在上递增，在上递减，因为，所以，因为，所以，所以故选：C5. （2022·河北·模拟预测）设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的性质即可求解.【详解】由已知条件得，.故选: .6. （2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】由已知得，对于A、B、C选项取特例可判断；对于D选项，分，讨论判断可得选项.【详解】解：因为，所以.取，得，故A选项不正确；取，得，所以，故B选项不正确；取，得，故C选项不正确；当时，则，所以，所以，当时，则，所以，当时，所以，综上得D选项正确，故选：D.7. （2022·全国·模拟预测）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”，依次进行“n次分形”（ ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（ ）（取，）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【分析】从条件中分析出线段长度的变化规律，得到“n次分形”后折线的长度，进而建立不等式解得答案即可.【详解】图1线段长度为1，图2线段长度为，图3线段长度为，“n次分形”后线段长度为，所以要得到一个长度不小于20的分形图，只需满足，则，即得，解得，所以至少需要11次分形.故选：C.8. （2022·全国·模拟预测）设，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】，大小可利用函数在上单调递增来判断，对于和，大小关系可利用中间量法来判断.【详解】因为，.又在上单调递增，所以.又，所以，故选：C.二、多选题9. （2022·全国·模拟预测）已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【分析】利用指数大小比较和对数大小比较进行选择.【详解】因为是上的增函数，所以，故A正确；，故，故B正确；，故，故C错误；取，满足，但，故D错误.故选：AB10. （2022·山东济宁·一模）已知函数，若，则（ ）A. 在上恒为正B. 在上单调递减C. a，b，c中最大的是aD. a，b，c中最小的是b【答案】AC【分析】根据当时，即可判断A；利用导数讨论函数在上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B；结合选项A和对数函数的单调性可得即可判断C；利用作差法和结合选项B可得，根据C的分析过程可知，进而判断D.【详解】A：当时，所以，故A正确；B：函数的定义域为，令，则，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，所以在上恒成立，即函数在上单调递增，故B错误；C：由选项A可知，当时，所以，因为，所以，即；当时，得，因为，所以，即，所以中最大的是a，故C正确；D：，所以，由选项B可知函数在上单调递增，所以，即，由选项C可知，有，所以中最小的是c，故D错误；故选：AC11. （2022·山东菏泽·一模）下列结论正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若（其中e为自然对数的底数），则D. 若，则【答案】AD【分析】根据对数函数、指数函数的单调性及不等式 性质判断A，由特殊值判断BC，根据正弦函数在上的单调性判断D.【详解】由可得，即, 而是增函数，所以成立，故A正确；由可得，故，所以不成立，如，故B错误；当时，满足，故不成立，故C错误；由可知，所以，而在上单调递增，所以，故D正确.故选：AD.12. （2022·湖南永州·二模）已知定义在的偶函数，其周期为4，当时，则（ ）A. B. 的值域为C. 在上为减函数D. 在上有8个零点【答案】AB【分析】利用对数运算判断选项A正确；利用函数的单调性和奇偶性得到函数的值域为.所以选项B正确；利用函数的单调性和周期性判断选项C错误；在上有6个零点,所以该选项错误.【详解】解：，所以选项A正确；当时，是增函数，所以当时，函数的值域为，由于函数是偶函数，所以函数的值域为.所以选项B正确；当时，是增函数，又函数的周期是4，所以在上为增函数，所以选项C错误；令，所以，由于函数的周期为4，所以，所以在上有6个零点,所以该选项错误.故选：AB13. （2022·全国·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【分析】通过构造函数，可判断函数为减函数，采用，结合代换，由指数和对数函数单调性即可判断.【详解】设，则在为减函数，因为所以，因为所以，所以，即，从而所以A正确，B错误；而所以所以，所以C正确，D错误.故选：AC.