2024版高考数学一轮总复习第2章函数第4节二次函数与幂函数.docx

第四节二次函数与幂函数考试要求：1通过具体实例，结合yx，yx-1，yx2，yx12，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、教材概念·结论·性质重现1幂函数的概念一般地，函数yx称为幂函数，其中为常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数(2)x的系数为1.(3)解析式只有一项2常见的五种幂函数的图象3幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)(2)如果>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，)上是增函数(3)如果<0，则幂函数在(0，)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴4二次函数的图象与性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域R值域4acb24a，+，4acb24a单调性在b2a，+上单调递增；在，b2a上单调递减在，b2a上单调递增；在b2a，+上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数顶点b2a，4acb24a对称性图象关于直线xb2a成轴对称图形二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关5常用结论(1)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“×”(1)函数y2x12是幂函数(×)(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n<0时，幂函数yxn是定义域上的减函数(×)(4)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数(×)2已知幂函数yf(x)的图象经过点4，12，则f(2)()A14B4C22D2C解析：设f(x)x，因为图象过点4，12，所以f(4)412，解得12，所以f(2)21222.3二次函数f(x)的图象经过(0，3)，(2，3)两点，且f(x)的最大值是5，则该函数的解析式是()Af(x)2x28x11 Bf(x)2x28x1Cf(x)2x24x3 Df(x)2x24x3D解析：二次函数f(x)的图象经过(0，3)，(2，3)两点，则图象的对称轴为x1.又由函数的最大值是5，可设f(x)a(x1)25(a0)于是3a5，解得a2.故f(x)2(x1)252x24x3.故选D.4(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数yf(x)的图象经过点(3，27)，则幂函数f(x)是()A奇函数B偶函数 C增函数D减函数AC解析：设幂函数为f(x)x(为常数)，因为其图象经过点(3，27)，所以273，解得3，所以幂函数f(x)x3.因为f(x)的定义域为R，且f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)是奇函数，又30，所以f(x)在R上是增函数5已知函数y2x26x3，x1，1，则y的最小值是_1解析：因为函数y2x26x3的图象的对称轴为x32>1，所以函数y2x26x3在1，1上单调递减当x1时，y取得最小值，所以ymin2631.考点1幂函数的图象和性质基础性1幂函数yf(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是()A偶函数，且在区间(0，)上是增函数B偶函数，且在区间(0，)上是减函数C奇函数，且在区间(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在区间(0，)上是增函数D解析：设幂函数f(x)xa，则f(3)3a3，解得a12，所以f(x)x12x，是非奇非偶函数，且在区间(0，)上是增函数2若幂函数y(m23m3)·xm2m2的图象不过原点，则()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm1B解析：因为幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，所以m2m20，m23m+3=1，解得m1或2，符合题意故选B.3与函数yx121的图象关于x轴对称的图象大致是()B解析：yx12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数yx121的图象可看作由yx12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)将yx121的图象关于x轴对称后即为选项B.4若(a1)-2(32a)-2，则a的取值范围是_(，1)1，23(4，)解析：因为(a1)-2(32a)-2，又f(x)x-2为偶函数，且在(0，)上单调递减，所以a+132a，a+10， 32a0， 解得a23且a1或a4.1解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解2有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性质共同得出结论考点2二次函数的解析式综合性已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a+2b+c=1，ab+c=1，4acb24a=8， 解得a=4，b=4，c=7. 故f(x)4x24x7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x2+1212.所以m12.又根据题意函数有最大值8，所以n8，所以yf(x)ax1228.因为f(2)1，所以a212281，解得a4，所以f(x)4×x12284x24x7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即4a2a1a24a8，解得a4.故f(x)4x24x7.求二次函数解析式的策略1若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关B解析：设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mx12ax1b，Mx22ax2b.所以Mmx22x12a(x2x1)，显然与a有关，与b无关2(2022·青岛模拟)设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)x2axb满足f(a)f(b)，则f(2)()A7B5C4D2C解析：由f(x)x2axb可得函数f(x)图象的对称轴为直线xa2.又由ab，f(a)f(b)得f(x)图象的对称轴为直线xa+b2，所以a2a+b2，得2ab0，所以f(2)42ab4.故选C.考点3二次函数的图象和性质应用性考向1二次函数的图象应用(1)已知函数f(x)ax2xc，且f(x)>0的解集为(2，1)，则函数yf(x)的图象为()D解析：因为函数f(x)ax2xc，且f(x)>0的解集为(2，1)，所以2，1是方程ax2xc0的两根把x2，1分别代入方程得4a+2c=0，a1c=0，联立解得a1，c2.所以f(x)x2x2.所以函数yf(x)x2x2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(1，0)和(2，0)故选D.(2)对数函数ylogax(a>0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()A解析：若0<a<1，则ylogax在(0，)上单调递减；y(a1)x2x的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则ylogax在(0，)上单调递增，y(a1)x2x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足1解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法抓住函数的特殊性质或特殊点(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系2分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也能从图象中得到如上信息.考向2二次函数的单调性若函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数a的取值范围是()A3，0) B(，3C2，0 D3，0D解析：当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的图象对称轴为x3a2a.由f(x)在1，)上单调递减知a<0， 3a2a1，解得3a0.综上，a的取值范围为3，0.若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a_3解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.又3a2a1，所以a3.利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较考向3二次函数的最值已知函数f(x)ax22ax1在区间1，2上有最大值4，求实数a的值解：f(x)a(x1)21a.当a0时，函数f(x)在区间1，2上的值为常数1，不符合题意，舍去当a0时，函数f(x)在区间1，2上单调递增，最大值为f(2)8a14，解得a38.当a0时，函数f(x)在区间1，2上单调递减，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为38或3.将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1，2上的最大值解：f(x)(xa)21a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线xa.当a12，即a12时，fmax(x)f(2)4a5.当a12，即a12时，fmax(x)f(1)22a.综上，f(x)max4a+5，a12，22a，a12.二次函数的最值问题的类型二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.考向4二次函数中的恒成立问题已知函数f(x)x2x1，在区间1，1上不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解：由题意可知，f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0.令g(x)x23x1m，要使g(x)0在1，1上恒成立，只需使函数g(x)在1，1上的最小值大于0即可因为g(x)x23x1m在1，1上单调递减，所以g(x)ming(1)m1，由m10得m1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(，1)由不等式恒成立求参数的取值范围将问题归结为求函数的最值，依据是af(x)恒成立afmax(x)，af(x)恒成立afmin(x)1(2021·洛阳一中检测)已知函数f(x)ax2bxc.若a>b>c且abc0，则f(x)的图象可能是()D解析：由a>b>c且abc0，得a>0，c0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C.又f(0)c0，排除选项B.故选D.2(多选题)设函数f(x)ax2bxc(a0)，对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，则f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()Af(1)Bf(1)Cf(2)Df(5)ACD解析：因为对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，所以函数f(x)ax2bxc(a0)图象的对称轴是x2.当a0时，函数值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a0时，函数值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(1)和f(5)3函数f(x)ax2(a1)x3在区间1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A，13B(，0)C0，13D0，13D解析：若a0，则f(x)x3，f(x)在区间1，)上是增函数，符合题意若a0，因为f(x)在区间1，)上是增函数，故a>0， a12a1，解得0<a13.综上，0a13.故选D.4已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围为_，12解析：2ax22x30在1，1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a321x13216，易知1x(，11，)，所以当x1时，函数f(x)取最小值12，所以a12.综上，实数a的取值范围是，12.课时质量评价(九)A组全考点巩固练1若幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上单调递增，则m的值为()A1或3B1C3D2B解析：由题意得m24m41，m26m80，解得m1.2函数y3x2的图象大致是()C解析：y3x2x23，其定义域为xR，排除A，B.又0<23<1，图象在第一象限为上凸的，排除D.故选C.3(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()Af(x)xBf(x)23xCf(x)x2Df(x)3xD解析：对于A，f(x)x为R上的减函数，不合题意对于B，f(x)23x为R上的减函数，不合题意对于C，f(x)x2在(，0)上单调递减，不合题意对于D，f(x)3x为R上的增函数，符合题意4设函数f(x)x2xa(a>0)，已知f(m)<0，则()Af(m1)0Bf(m1)0Cf(m1)>0Df(m1)<0C解析：因为f(x)图象的对称轴为直线x12，f(0)a>0，所以f(x)的大致图象如图所示由f(m)<0，得1<m<0.所以m1>0.所以f(m1)>f(0)>0.5(2023·潍坊模拟)已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)>f(1)，则()Aa>0，4ab0Ba<0，4ab0Ca>0，2ab0Da<0，2ab0A解析：由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc图象的对称轴为xb2a2，所以4ab0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.6已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)_x22x3解析：由f(0)3，得c3.又f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以b21，所以b2，所以f(x)x22x3.7设函数f(x)ax22x2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围是12，+8若a+113<32a13，则实数a的取值范围是_(，1)23，32解析：不等式a+113<32a13等价于a1>32a>0或32a<a1<0或a1<0<32a，解得a<1或23<a<32.9(2023·福州模拟)二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间1，1上，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，试确定实数m的范围.解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1得c1，故f(x)ax2bx1.因为f(x1)f(x)2x，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.即2axab2x，所以2a=2， a+b=0，所以a=1， b=1，所以f(x)x2x1.(2)由题意得x2x12xm在1，1上恒成立即x23x1m0在1，1上恒成立设g(x)x23x1m，其图象的对称轴为直线x32，所以g(x)在1，1上单调递减故只需最小值g(1)0，即123×11m0，解得m1.10已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk.(1)求m的值；(2)当x1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：xA，q：xB，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围解：(1)依题意得：(m1)21m0或m2，当m2时，f(x)x-2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m0.(2)由(1)得，f(x)x2，当x1，2)时，f(x)1，4)，即A1，4)，当x1，2)时，g(x)2k，4k)，即B2k，4k)因为p是q成立的必要条件，所以BA，则2k1，4k4，即k1，k0，得0k1.故实数k的取值范围是0，1.B组新高考培优练11设函数f(x)1x，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A当a0时，x1x20，y1y20B当a0时，x1x20，y1y20C当a0时，x1x20，y1y20D当a0时，x1x20，y1y20B解析：当a0时，作出两个函数的图象，如图所示，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)因为函数f(x)1x是奇函数，所以设A关于原点对称的点为A'(x1，y1)，显然x2x10，即x1x20，y1y2，即y1y20.当a0时，由对称性知x1x20，y1y20.12(多选题)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为直线x1.下面四个结论中正确的是()Ab2>4acB2ab1Cabc0D5a<bAD解析：因为二次函数yax2bxc的图象与x轴交于两点，所以b24ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即b2a1，得2ab0，B错误；结合图象知，当x1时，y>0，即abc>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确故选AD.13(多选题)若函数f(x)(x1)(xa)在区间(1，2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是(AB)A0B2 C2D314(2022·潍坊质检)已知函数f(x)x2+x，2xc，1x，c<x3. 若c0，则f(x)的值域是_；若f(x)的值域是14，2，则实数c的取值范围是_14，+12，1解析：当c0时，即x2，0时，f(x)14，2，当x(0，3时，f(x)13，+，所以f(x)的值域为14，+.作出yx2x和y1x的图象如图所示，当f(x)14时，x12；当x2x2时，x1或x2；当1x2时，x12，由图象可知当f(x)的值域为14，2时，需满足12c1.15已知函数f(x)x22x.(1)若f(x)>a在区间1，3上恒有解，求实数a的取值范围；(2)若f(x)>a在区间1，3上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)>a在区间1，3上恒有解，等价于a<fxmax.又f(x)x22x且x1，3，当x3时，f(x)max15，故a的取值范围为a|a<15(2)f(x)>a在区间1，3上恒成立，等价于a<fxmin，又f(x)x22x且x1，3，当x1时，f(x)min3，故a的取值范围为a|a<316(2022·郑州模拟)已知函数g(x)ax22axb1(a0，b1)在区间2，3上有最大值4，最小值1.(1)求a，b的值；(2)设f(x)gxx，不等式f(2x)k·2x0对x1，1恒成立，求实数k的取值范围解：(1)g(x)ax22axb1a(x1)2ab1.若a0，则g(x)在2，3上单调递增，所以g(2)b11，g(3)3ab14，解得a1，b0；若a0，则g(x)在2，3上单调递减，所以g(2)b14，解得b3.因为b1，所以b3(舍去)综上，a1，b0.(2)因为f(x)gxx，所以f(x)x22x+1xx1x2.因为不等式f(2x)k·2x0对x1，1恒成立，所以2x12x2k·2x0对x1，1恒成立，即k12x22×12x112x12对x1，1恒成立因为x1，1，所以12x12，2，所以12x120，1，所以k0，故实数k的取值范围是(，0.