2024届高考数学(人教a版)一轮复习课后习题-第三章函数与基本初等函数课时规范练9 二次函数与幂函数.docx
课时规范练9二次函数与幂函数基础巩固组1.若幂函数f(x)=(3m2-2m)x3m的图象不经过坐标原点,则实数m的值为()A.13B.-13C.-1D.12.二次函数f(x)的图象经过(0,3),(2,3)两点,且f(x)的最大值是5,则该函数的解析式是()A.f(x)=2x2-8x+11B.f(x)=-2x2+8x-1C.f(x)=2x2-4x+3D.f(x)=-2x2+4x+33.设a>0,b>0,若a2+2a=b2+3b,则()A.a<bB.a>bC.2a=3bD.3a<4b4.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在0,2上单调递增.若f(a)f(0),则实数a的取值范围是()A.0,+)B.(-,0C.0,4D.(-,04,+)5.已知函数f(x)=(m2-m-5)xm2-6是幂函数,对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,bR,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断6.已知函数f(x)=x4-x2,则下列结论错误的是()A.f(x)的图象关于y轴对称B.方程f(x)=0的解的个数为2C.f(x)在(1,+)上单调递增D.f(x)的最小值为-147.(多选)若幂函数y=f(x)的图象经过点(27,3),则幂函数f(x)在定义域上是()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数8.(多选)已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(xR),下列说法正确的是()A.若a2-b0,则f(x)在区间a,+)上单调递增B.存在aR,使得f(x)为偶函数C.若f(0)=f(2),则f(x)的图象关于x=1对称D.若a2-b-2>0,则函数h(x)=f(x)-2有2个零点9.已知函数f(x)=(x2-2x-3)(x2+ax+b)是偶函数,则f(x)的值域是. 综合提升组10.已知幂函数f(x)=x满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln 2),c=f(5-12),则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a11.(多选)若函数f(x)=(x-1)|x+a|在区间(1,2)上单调递增,则满足条件的实数a的值可能是()A.0B.2C.-2D.-312.若函数f(x)=mx2+(n-1)x+2(m>0,n>0)的单调递增区间为12,+,则1m+1n的最小值为. 13.已知函数f(x)=x2+ax+1(a>0).(1)若f(x)的值域为0,+),求关于x的方程f(x)=4的解;(2)当a=2时,函数g(x)=f(x)2-2mf(x)+m2-1在-2,1上有三个零点,求实数m的取值范围.创新应用组14.已知f(x)=x2-2x,对任意的x1,x20,3,方程|f(x)-f(x1)|+|f(x)-f(x2)|=m在0,3上有解,则实数m的取值范围是()A.0,3B.0,4C.3D.4课时规范练9二次函数与幂函数1.B解析 由题意得3m2-2m=1,解得m=1或-13,当m=1时,f(x)=x3,函数图象经过原点,不合题意;当m=-13时,f(x)=x-1,函数图象不经过原点,符合题意,故m=-13.2.D解析 二次函数f(x)的图象经过(0,3),(2,3)两点,则图象的对称轴为直线x=1.又由函数的最大值是5,可设f(x)=a(x-1)2+5(a0).于是3=a+5,解得a=-2.故f(x)=-2(x-1)2+5=-2x2+4x+3,故选D.3.B解析 因为a>0,所以a2+3a>a2+2a=b2+3b,所以a2+3a>b2+3b,又因为函数f(x)=x2+3x,在(0,+)上单调递增,且a>0,b>0,所以a>b,故选B.4.C解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图).若f(a)f(0),从图象观察可知0a4.5.A解析 因为函数f(x)=(m2-m-5)xm2-6是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=-2或m=3.因为对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以函数f(x)在(0,+)上单调递增,所以m2-6>0,所以m=3(m=-2舍去),所以f(x)=x3.对任意的a,bR,a+b>0,即a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0,故选A.6.B解析 因为f(x)=x4-x2的定义域为R,显然关于原点对称,又因为f(-x)=(-x)4-(-x)2=x4-x2=f(x),所以y=f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;令f(x)=0,即x2(x+1)(x-1)=0,解得x=0,x=1或x=-1,方程f(x)=0的解的个数为3,故B错误;令t=x2,g(t)=t2-t=t-122-14,当x>1时,函数t=x2,g(t)=t2-t都单调递增,故f(x)在(1,+)单调递增,故C正确;由当t=12时,g(t)取得最小值-14,故f(x)的最小值是-14,故D正确,故选B.7.AC解析 因为y=f(x)是幂函数,设f(x)=xa,因为其图象过点(27,3),即f(27)=27a=3,解得a=13,于是得f(x)=x13,且f(x)的定义域为R,显然f(x)在定义域R上是增函数,C正确;f(-x)=(-x)13=-x13=-f(x),则f(x)是奇函数,A正确,故选AC.8.AB解析 对于选项A,若a2-b0,则f(x)=|(x-a)2+b-a2|=(x-a)2+b-a2在区间a,+)上单调递增,故A正确;对于选项B,当a=0时,f(x)=|x2+b|显然是偶函数,故B正确;对于选项C,取a=0,b=-2,函数f(x)=|x2-2ax+b|可化为f(x)=|x2-2|,满足f(0)=f(2),但f(x)的图象不关于直线x=1对称,故C错误;对于选项D,如图,a2-b-2>0,即a2-b>2,则h(x)=|(x-a)2+b-a2|-2有4个零点,故D错误.9.-16,+)解析 因为f(x)=(x2-2x-3)(x2+ax+b)是偶函数,所以f(-3)=f(3)=0,f(1)=f(-1)=0,代入得9-3a+b=0,1+a+b=0,解得a=2,b=-3,所以f(x)=(x2-2x-3)(x2+2x-3)=(x2-3)2-4x2=x4-10x2+9=(x2-5)2-16-16,故f(x)的值域为-16,+).10.C解析 由2f(2)=f(16)可得2·2=24,因为1+=4,所以=13,即f(x)=x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增.而log42=log22log24=12,ln 2=log22log2e,5-12=15,因为1<log2e<2,所以log22log24<log22log2e,于是log42<ln 2,又因为15<12,所以5-12<log42,故a,b,c的大小关系是b>a>c,故选C.11.ABD解析 根据题意可知f(x)=x2+(a-1)x-a,x-a,-x2-(a-1)x+a,x<-a,对于y=x2+(a-1)x-a及y=-x2-(a-1)x+a,其图象的对称轴均为直线x=1-a2.当1-a2-a,即a-1时,作出f(x)的大致图象(为方便说明,略去y轴以及坐标原点,如图1).图1图2由图可知,此时要满足题意,只需使-a2或1-a21,解得a-2或a-1,故a-1;当1-a2<-a,即a<-1时,作出f(x)的大致图象(为方便说明,略去y轴以及坐标原点,如图2).由图可知,此时要满足题意,只需使-a1或1-a22,解得a-1或a-3,故a-3.综上所述,a-1或a-3.故选ABD.12.4解析 函数f(x)图象的对称轴为直线x=-n-12m=12,故m+n=1,所以1m+1n=1m+1n(m+n)=2+nm+mn2+2nm·mn=4,当且仅当m=n=12时等号成立,从而1m+1n的最小值为4.13.解(1)因为f(x)的值域为0,+),所以f(x)min=f-a2=14a2-12a2+1=0.因为a>0,所以a=2,则f(x)=x2+2x+1.因为f(x)=4,所以x2+2x+1=4,即x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1.(2)g(x)=f(x)2-2mf(x)+m2-1在-2,1上有三个零点等价于方程f(x)2-2mf(x)+m2-1=0在-2,1上有三个不同的根.因为f(x)2-2mf(x)+m2-1=0,所以f(x)=m+1或f(x)=m-1.因为a=2,所以f(x)=x2+2x+1.结合f(x)在-2,1上的图象(图略)可知,要使方程f(x)2-2mf(x)+m2-1=0在-2,1上有三个不同的根,则f(x)=m+1在-2,1上有一个实数根,f(x)=m-1在-2,1上有两个不等实数根,即1<m+14,0<m-11,解得1<m2.故m的取值范围为(1,2.14.D解析 因为f(x)=(x-1)2-1,x0,3,则f(x)min=-1,f(x)max=3.要对任意的x1,x20,3,方程|f(x)-f(x1)|+|f(x)-f(x2)|=m在0,3上有解,取f(x1)=-1,f(x2)=3,此时任意的x0,3,都有m=|f(x)-f(x1)|+|f(x)-f(x2)|=4,其他m的取值,方程均无解,则m的取值范围是4,故选D.
