备战2023年高考数学二轮大题规范保分练(六).docx
保分练(六)1.在ABC中,SABC=12,若ABC同时满足下列四个条件中的三个:0<tan Atan C<1;c=1;a=2;a2+c2>b2.(1)选出使ABC有唯一解的所有序号组合,并说明理由;(2)在(1)所有组合中任选一组,求b的值.解:(1)选择或,理由如下:因为A,B,C(0,),且A+B+C=,由得tan Atan C>0,所以tan A>0且tan C>0,所以A,C(0,2),又tan Atan C<1,即sinAcosA·sinCcosC<1,sin A·sin C<cos A·cos C,cos(A+C)>0,所以cos(-B)>0,-cos B>0,cos B<0,因为B(0,),所以B(2,).由得a2+c2-b2>0,cos B=a2+c2-b22ac>0,因为B(0,),所以B(0,2).故矛盾,同时成立,所以选或.(2)若选,SABC=12acsin B=12,即12×1×2sin B=12,所以sin B=22,因为B(2,),所以B=34,cos B=a2+c2-b22ac=2+1-b22×2×1=-22,所以b2=5,b=5.若选择,SABC=12acsin B=12,即12×1×2sin B=12,所以sin B=22,因为B(0,2),所以B=4,cos B=a2+c2-b22ac=2+1-b22×2×1=22,所以b2=1,b=1.2.如图,四棱锥PABCD的底面是边长为26 的菱形,DAB=60°,PA=PB=PD,顶点P在底面上的射影为O,侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为 2.(1)证明:BC平面POB;(2)若E为PC的中点,求点C到平面BOE的距离.(1)证明:因为四棱锥PABCD的底面是菱形,且DAB=60°,所以ABD是等边三角形.因为PA=PB=PD,所以三棱锥PABD是正三棱锥,所以顶点P在底面上的射影O为等边三角形ABD的中心,又ADBC,所以BCOB.因为BCPO,POBO=O,PO平面POB,BO平面POB,所以BC平面POB.(2)解:因为四棱锥PABCD的底面是边长为26 的菱形,DAB=60°,PA=PB=PD,顶点P在底面上的射影为O,所以OA=OB=OD=26×sin 60°×23=22,由题意得PBO就是侧棱PB与底面ABCD所成的角,因为侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为2,所以tanPBO=OPOB=OP22=2,所以OP=4.如图,连接OC交DB于点F,则OC=OF+FC=2OA=42,SBOC=12OC·FB=12×42×6=43,所以VE-BOC=13×43×2=833,PC=PO2+OC2=43.因为OE为RtPOC斜边上的中线,所以EO=12PC=23,因为PB=PO2+OB2=26,所以PB=BC,可得BE=BC2-EC2=23,所以等腰三角形OBE的面积SOBE=12×22×12-2=25.设点C到平面BOE的距离为d.由VCBOE=VEBOC,可得13×25·d=833,解得d=4155.3.某普通高中为了解本校高三年级学生数学的学习情况,对期末考试数学成绩进行分析,从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计(该校全体学生的成绩均在60,150内),按下列分组60,70),70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150作出频率分布直方图.如图,样本中成绩在70,90)内的所有数据是:72,75,77,78,81,82,85,88,89.根据往年录取数据划出预录分数线,分数区间与可能被录取院校层次如表.分数区间60,80)80,120)120,150可能被录取院校层次专科普通本科重点本科(1)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为概率,若在该校高三年级学生中任选1人,求此人能被专科院校录取的概率;(2)在选取的样本中,从可能被录取为重点本科和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研,用表示所抽取的3名学生中为专科的人数,求随机变量的分布列和数学期望.解:(1)由题意知成绩在70,80)的学生有4名,成绩在80,90)的学生有5名,由题图可知,成绩在70,80)的频率为0.008×10=0.08,则n=40.08=50,所以x=550×10=0.01,y=1-(0.04×2+0.08×2+0.1+0.12+0.16+0.24)10=0.014,样本中可能被专科院校录取的人数为50×(0.004+0.008)×10=6,抽取的50人中,可能被专科院校录取的频率是650=325,所以从该校高三年级学生中任选1人可能被专科院校录取的概率是325.(2)选取的样本中可能被专科院校录取的人数为6,可能被重点本科院校录取的人数为50×(0.012+0.008+0.004)×10=12,随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,故P(=0)=C123C183=55204,P(=1)=C61C122C183=3368,P(=2)=C62C121C183=1568,P(=3)=C63C183=5204,故随机变量的分布列为0123P55204336815685204故E()=0×55204+1×3368+2×1568+3×5204=1.4.(2022·湖北高三期末)已知点F(0,1)为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,如图,过点F的直线交抛物线于A,B两点(点A在y轴的右侧),点C在抛物线上,直线AC交y轴的正半轴于点D,且|AF|=|DF|,设直线l与抛物线相切于点B,直线l与y轴相交于点E.(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2).求证:x1x2=-4;直线AC与l平行;(2)求AEB的面积取得最小值时点A的坐标.(1)证明:由抛物线的焦点为F(0,1),得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.由题意得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4x2=-4x1,由于y=12x,所以直线l的斜率kl=12×(-4x1)=-2x1.由|AF|=|DF|,得x124+1=|yD-1|,yD=x124+2,即D(0,x124+2),所以直线AC的斜率kAC=x124+2-x1240-x1=-2x1,所以kl=kAC,即直线AC与l平行.(2)解:直线l的方程为y=-2x1(x-x2)+x224,即y=-2x1x-4x12.令x=0得y=-4x12,所以直线l与y轴的交点E(0,-4x12),所以|EF|=4x12+1,又由(1)知|x1-x2|=x1+4x1,所以SAEB=12|x1-x2|EF|=12(x1+4x1)(4x12+1)=12(16x13+8x1+x1).令f(x)=16x3+8x+x,x>0,则f(x)=-48x4-8x2+1=(x2-12)(x2+4)x4,所以当0<x<23时,f(x)单调递减,当x>23时,f(x)单调递增,故当x=23时,f(x)有最小值,即当x1=23时,AEB的面积取得最小值,此时点A的坐标为(23,3).
