2024版高考数学一轮总复习第6章立体几何第2节空间点直线平面之间的位置关系.docx

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求：1借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义2了解可以作为推理依据的基本事实和定理3能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题一、教材概念·结论·性质重现1平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内三点不一定能确定一个平面当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行2空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点1两条异面直线不能确定一个平面2不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：0，2.(3)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况4常用结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“×”(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过点A的任意一条直线(×)(3)没有公共点的两条直线是异面直线(×)(4)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线(×)2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线C解析：由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾3如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30°B45° C60°D90°C解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求角，又B1D1B1CD1C，所以D1B1C60°.4已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnlDmnC解析：由已知，l，所以l.又因为n，所以nl，C正确5下列关于异面直线的说法正确的是_(填序号)若a，b，则a与b是异面直线；若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；若a，b不同在平面内，则a与b异面；若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知中说法正确考点1平面的基本性质综合性(1)在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点如果EFHGP，则点P()A一定在直线BD上B一定在直线AC上C在直线AC或BD上D不在直线AC上，也不在直线BD上B解析：如图所示，因为EF平面ABC，HG平面ACD，EFHGP，所以P平面ABC，P平面ACD又因为平面ABC平面ACDAC，所以PAC(2)如图，若直线l与平面相交于点O，A，Bl，C，D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_共线解析：因为ACBD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面，则直线CD因为lO，所以O.又因为OAB，所以O直线CD，所以O，C，D三点共线共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定的直线上(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()D解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面考点2异面直线所成的角综合性已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，点A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A34B34C54D54B解析：如图，设BC的中点为D，连接A1D，AD，A1B，易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)设三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，则AD32，A1D12，A1B22. 由余弦定理，得cos A1ABA1A2+AB2A1B22A1A·AB1+1122×1×134.本例中若把条件改为“在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC120°，AB2，BCCC11”，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_105解析：把三棱柱ABC­A1B1C1补成四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如图所示连接C1D，BD，则AB1与BC1所成的角为BC1D(或其补角)由题意可知BC12，BD22+122×2×1×cos60°3，C1DAB15.可知BC12BD2C1D2，所以BC1D为直角三角形，所以cos BC1D25105.用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角(3)三求：解三角形，求出所作的角若求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角(2021·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A2B3C4D6D解析：方法一：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1BC1，所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角，即PBC1.不妨设该正方体的棱长为2a，则BC122a，PC1PB12a，PBPB12+BB126a，所以BC12PC12PB2，所以C1PB90°，则sinPBC1PC1BC12a22a12，所以PBC16.故选D方法二：如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1BC1，因此PBC1为异面直线PB与AD1所成的角易知A1BC1为等边三角形，所以A1BC13.在正方形A1B1C1D1中因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以PBC112A1BC16.故选D考点3空间两条直线的位置关系综合性考向1异面直线的判断如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD是正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则() ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线B解析：如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，MC因为CDE为正三角形，所以EFCD设CD2，则EF3，MC3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD22，NF1，BCCD因为平面ECD平面ABCD，所以EF平面ABCD，BC平面ECD，所以EFNF，BCCM，所以在RtEFN中，EN2，在RtMCB中，BM7，所以BMEN.易知BM，EN是相交直线故选B考向2平行或相交直线的判定如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是() A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行D解析：如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E2ED，可得M为AD的中点连接BF并延长，交AD于点N.因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED112，MFBF12，所以MEED1MFBF，所以EFBD1.1空间中两直线位置关系的判定方法2异面直线的判定定理平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线1已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能D解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误2(多选题)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是()AGH与EF平行BBD与MN为异面直线CGH与MN成60°角 DDE与MN垂直BCD解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DEMN.故BCD正确3(多选题)(2022·临沂二模)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E, F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中成立的是()AEF与BB1垂直 BEF与BD垂直CEF与CD异面 DEF与A1C1异面ABC解析：如图所示，连接A1B，由几何关系可得点E为A1B的中点，且BFFC1.由三角形中位线的性质可得EFA1C1，即EF与A1C1不是异面直线，很明显，EF与CD异面，由几何关系可得A1C1BB1，A1C1BD，则EFBB1，EFBD综上可得，选项D中的结论不成立故选ABC课时质量评价(三十三)A组全考点巩固练1若直线上有两个点在平面外，则()A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内D解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内2(多选题)下列命题是真命题的为()A空间四点共面，则其中必有三点共线B空间四点不共面，则其中任意三点不共线C空间四点中有三点共线，则此四点共面D空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面BC解析：对于平面四边形来说不成立，故A是假命题；若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故B是真命题；由B的分析可知C是真命题；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D是假命题3(2022·威海模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A直线AA1B直线A1B1C直线A1D1D直线B1C1D解析：通过图象易知：直线AA1、直线A1B1、直线A1D1与直线EF不在同一平面内，直线B1C1与EF在同一平面内且不平行，故直线B1C1与EF相交故选D4若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定D解析：构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A，B，C故选D5空间中有三条线段AB，BC，CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A平行B异面C相交或平行D平行或异面或相交均有可能D解析：如图，可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况故选D6已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F，G分别为AA1，D1C1，BC的中点，过E，F，G的平面截正方体的截面面积为()A3B2C33D32C解析：如图，分析正方体结构可以得知，该截面为一个边长为2的正六边形，此正六边形分成6个全等的三角形，所以其面积为6×12×2×2×3233.故选C7在三棱锥S­ABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_平行解析：如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG123SM，SN为SAC的中线，且SG223SN，所以在SMN中，SG1SMSG2SN，所以G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，所以MNBC，所以G1G2BC8如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_2解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1DAD因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.9如图，在三棱锥P­ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC2，AB2，AC23，PA2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC12×2×2323，三棱锥P­ABC的体积为V13SABC·PA13×23×2433.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中，DE2，AE2，AD2，cos ADEAD2+DE2AE22·AD·DE22+2222×2×234.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.B组新高考培优练10在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BAC90°，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30°B45° C60°D90°C解析：如图，延长CA到点D，使得ADAC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DA1BDB，所以A1DB为等边三角形，所以DA1B60°.故选C11(多选题)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA13，则()A异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为225B异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为35CA1B平面B1D1CD点B1到平面A1BD1的距离为125ACD解析：因为A1BD1C，所以B1D1C或其补角即为异面直线A1B与B1D1所成角又因为B1D142，D1C5，B1C5，所以cos B1D1CB1D12+D1C2B1C22B1D1·D1C225，故A正确，B错误因为A1BD1C，A1B平面B1D1C，D1C平面B1D1C，所以A1B平面B1D1C，故C正确设点B1到平面A1BD1的距离为h.因为VB­A1B1D1VB1­A1BD1，即13×12A1B1·A1D1·B1B13×12A1B·A1D1·h，解得h125，故D正确故选ACD12(多选题)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点在此几何体中，给出下列结论，其中正确的是()A直线BE与直线CF异面B直线BE与直线AF异面C直线EF平面PBCD平面BCE平面PADBC解析：将平面展开图还原成直观图如图所示因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EFAD又四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以EFBC，所以B，C，F，E四点共面所以直线BE与直线CF共面，不是异面直线，故A错误因为E平面PAD，AF平面PAD，点E不在直线AF上，B平面PAD，所以直线BE与直线AF为异面直线，故B正确因为EFBC，BC平面PBC，EF平面PBC，所以EF平面PBC，故C正确假设平面BCE平面PAD，即平面BCFE平面PAD，又平面BCFE平面PADEF，作PMEF，垂足为M，可得PM平面BCE，但由题中条件无法证得PM平面BCE，故假设不成立，故D错误13(2022·广东一模)如图为四棱锥A­DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中ADAF，G1DG2F.E是线段DF的中点，请写出四棱锥A­DEFG中一对一定相互垂直的异面直线：_(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)AE，DF(或AE，DG，或AE，GF或AG，DF)解析：如图所示，连接DF和GE，相交于点O，连接AO，因为DGFG，DEEF，GEGE，所以GDEGFE，所以DGOFGO，又因为DGFG，GOGO，所以DGOFGO，所以DOOF，GODGOF2，所以DFOE，因为ADAF，ODOF，所以AODF，因为AOOEO，AO，OE平面AOE，所以DF平面AOE，又AE平面AOE，所以DFAE.14在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是_0，3解析：连接DA1，DB(图略)，则CB1DA1，所以A1DP(或其补角)为异面直线DP与CB1所成的角，点P与B重合时，A1DP最大，为3；当点P与A1无限接近时，A1DP趋近于零，故异面直线DP与CB1所成角的取值范围是0，3.15如图，在侧棱长为3的正三棱锥A­BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于23，求动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度解：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是EFGH，如图所示，则BEBH23.在直角三角形BAH中，cos HBA32332，所以HBA6，HBG4612，所以HG23×1236，同理EF36.在直角三角形HAE中，HAE2，AHAE232323，所以HE 3×232.在等边三角形BCD中，CBD3，所以GF23×3233.则所求曲线的长度为363632233332.16如图，在四棱锥P­ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC，ABDC，AB2AD2CD2，点E是PB的中点(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由(2)若PC2，求三棱锥P­ACE的体积(1)证明：存在PA的中点G满足条件连接GE，GD，则GE是三角形PAB的中位线，所以GEAB又由已知ABDC，所以GEDC，所以G，E，C，D四点共面(2)解：因为E是PB的中点，所以VP­ACEVB­ACE12VP­ACB由题易知ACBC，所以SABC12AC·BC12×2×21，VP­ACB13PC·SABC23，所以VP­ACE13.