2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练40两条直线的位置关系北师大版.docx
课时规范练40基础巩固组1.(2023·山东青岛模拟)设集合A=(x,y)|y=2x-3,B=(x,y)|4x-2y+5=0,则AB=()A.B.(118,14)C.(18,-114)D.(-18,-134)答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故AB=.2.(2023·江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为()A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,3)D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a,b),则a2-b+42+1=0,b-4a=-1,解得a=3,b=1.3.(多选)(2023·山东青岛高三开学考试)已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(mR),则()A.直线l2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l1l2C.当m=2时,l1l2D.当l1l2时,两直线l1,l2之间的距离为1答案:ACD解析:对于A,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(mR)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,令x-y+2=0,2x-y+5=0,则x=-3,y=-1,因此直线l2过定点(-3,-1),故A正确;对于B,当m=1时,l1:4x-3y+4=0,l2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)0,故两直线不垂直,故B错误;对于C,当m=2时,l1:4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,44=-3-394,故两直线平行,故C正确;对于D,当l1l2时,则满足m+24=-(m+1)-32m+54m=2,此时l1:4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为542+(-3)2=1,故D正确.故选ACD.4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后,再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()A.33B.6C.210D.25答案:C解析:由题意直线AB的方程为x+y=4,设P关于直线AB的对称点Q(a,b),则ba-2=1,a+22+b2=4,解得a=4,b=2,即Q(4,2).又P关于y轴的对称点为T(-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=(-2-4)2+(0-2)2=210.5.(2023·福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线xcos23+y-1=0互相垂直,则a=. 答案:4解析:由题意得a2·cos23=-1,解得a=4.6.已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为. 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当ABl时,直线l的斜率k=kAB=-13,则直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(2023·湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c1=0和3x-4y+c2=0,则|c1-c2|=()A.23B.25C.2D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c2=0的交点为A,联立x+2y+1=0,3x-4y+c2=0,解得x=-c2+25,y=c2-310,故A-c2+25,c2-310.同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c1=0的交点为B,则B-c1+25,c1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c1=0的交点为C,则C-c1+65,c1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c2=0的交点为D,则D-c2+65,c2-910.由菱形的性质可知ACBD,且AC,BD的斜率均存在,所以kAC·kBD=-1,则c2-310-c1-910-c2+25+c1+65·c1-310-c2-910-c1+25+c2+65=-1,即36-(c2-c1)2416-(c2-c1)2=-1,解得|c1-c2|=25.8.(2023·河北大名高三检测)已知点P(-2,2),直线l:(+2)x-(+1)y-4-6=0,则点P到直线l的距离的取值范围为. 答案:0,42)解析:把直线l:(+2)x-(+1)y-4-6=0化为(2x-y-6)+(x-y-4)=0,联立2x-y-6=0,x-y-4=0,解得x=2,y=-2,即直线l过定点M(2,-2).又kPM=-2-22-(-2)=-1,且+2+1×(-1)-1,所以直线PM与l不垂直,所以点P到直线l的距离的最大值小于|PM|=(2+2)2+(-2-2)2=42,即点P到直线l的距离的取值范围为0,42).9.(2023·四川成都七中高三检测)已知ABC的顶点B(5,1),AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0.(1)求直线AB的方程.(2)在两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0;BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC的方程. 解:(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB的斜率为k=-2.又因为ABC的顶点B(5,1),所以直线AB的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选:角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0,由2x+y-11=0,x+2y-13=0,解得x=3,y=5,所以点A(3,5).设点B关于x+2y-13=0的对称点B'(x0,y0),则y0-1x0-5×(-12)=-1,x0+52+2×y0+12-13=0,解得x0=375,y0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC上,所以kAC=5-2953-375=211.所以直线AC的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0.若选:BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0,由2x+y-11=0,2x-y-5=0,解得x=4,y=3,所以点A(4,3).设点C(x1,y1),则BC的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x121+y12-5=0,即2x1-y1-1=0,所以点C在直线2x-y-1=0上.又点C在直线x-2y-5=0上,由x-2y-5=0,2x-y-1=0,解得x=-1,y=-3,即C(-1,-3),所以kAC=-3-3-1-4=65.所以直线AC的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(2,0),B(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为. 答案:x-y+2=0解析:设ABC的重心为G,垂心为H,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G-23,43.由题,ABC的边AC上的高线所在直线方程为x=0,直线BC:y=x+4,A(2,0),所以ABC的边BC上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立x=0,y=-x+2H(0,2).所以欧拉线GH的方程为y-2=2-430-(-23)x,即x-y+2=0.
