2024版高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第1节平面向量的概念与线性运算.docx

第一节平面向量的概念与线性运算考试要求：1了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义2理解平面向量的几何表示和基本要素3掌握平面向量加、减运算，数乘运算及运算规则，理解其几何意义一、教材概念·结论·性质重现1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量向量由方向和长度确定，与位置没有关系零向量长度为0的向量其方向是任意的，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±aa平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行(或共线)相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0解决向量概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否满足条件，要特别注意零向量的特殊性2平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)平行四边形法则减法向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法三角形法则数乘实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(1)|a|a|(2)当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得ba4常用结论(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP12(OA+OB).(2)若G是ABC的重心，D是BC边的中点，则GA+GB+GC0.AG13(AB+AC)GD12(GB+GC)16(AB+AC)(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB+DC2EF.(4)OAOBOC(，为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是1.(5)(ab)2(ab)22(|a|2|b|2)二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“×”(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)若ab，bc，则ac.(×)(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上(×)(4)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反(×)2如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()AAP13ABBAQ23ABCBP23ABDAQBPD解析：由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误3设D为ABC所在平面内一点， BC3CD，则()AAD13AB+43ACBAD13AB43ACCAD43AB+13ACDAD43AB13ACA解析：由题意得ADAC+CDAC+13BCAC+13AC13AB13AB+43AC.4已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OAa，OBb，则DC_，BC_(用a，b表示)baab解析：如图，DCABOBOAba，BCOCOBOAOBab.5设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_12解析：因为向量a，b不平行，所以a2b0.又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则=，1=2，解得12.考点1向量的相关概念基础性1下面说法正确的是()A平面内的单位向量是唯一的B所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C所有的单位向量都是共线的D所有单位向量的模相等D解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误当单位向量的起点不同时，其终点就不一定在同一个圆上，所以选项B错误当两个单位向量的方向不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误因为单位向量的模都等于1，所以选项D正确2给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A0B1C2D3D解析：假命题，两向量共线要看其方向而不是起点或终点假命题，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量故假命题有3个，故选D.3(多选题)下列命题正确的是()A若|a|b|，则abB若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件C若ab，bc，则acD两向量a，b相等的充要条件是|a|b|且abBC解析：A不正确两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|b|推不出ab.B正确若ABDC，则|AB|DC|且ABDC.又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD是平行四边形反之，若四边形ABCD是平行四边形，则ABDC且ABDC，又AB与DC方向相同，因此ABDC.C正确因为ab，所以a，b的长度相等且方向相同因为bc，所以b，c的长度相等且方向相同所以a，c的长度相等且方向相同，所以ac.D不正确当ab，但方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件1解答此类问题的关键是准确理解向量的有关概念，否则易出错如第2题第项易忽视0时a，b为任意向量而致错；第3题中的A选项易误认为“模相等，两个向量就相等”而忽略方向2对平面向量概念理解的几点注意(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈(4)非零向量a与aa的关系：aa是与a同方向的单位向量考点2平面向量的线性运算综合性考向1向量的线性运算(1)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()AabB|a|b|CabD|a|>|b|A解析：方法一：因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2.所以a2b22a·ba2b22a·b.所以a·b0.所以ab.方法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设ABa，ADb，由|ab|ab|知|AC|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.(2)在等腰梯形ABCD中，AB2CD，M为BC的中点，则AM()A12AB+12ADB34AB+12ADC34AB+14ADD12AB+34ADB解析：因为AB2CD，所以AB2DC.又M是BC的中点，所以AM12(AB+AC)12(AB+AD+DC)12AB+AD+12AB34AB+12AD.1本例(2)条件不变，用AB，AD表示DM.解：DMDC+CM12(AB+CB)12(AB+ABAC)AB12ACAB12(AD+DC)AB12AD+12AB34AB12AD.2本例(2)中，若CM2MB，其他条件不变，用AB，AC表示AM.解：AMAB+BMAB+13BCAB+13(ACAB)23AB+13AC.1平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2三种运算的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算考向2利用向量的线性运算求参数问题在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点若AOABBC，其中，R，则等于()A1B12C13D23D解析：由于AB2，ABC60°，AD为BC边上的高，所以BD1.由题意易得ADAB+BDAB+13BC，则2AOAB+13BC，即AO12AB+16BC.所以12，16，故12+1623.根据平面向量的线性运算求参数问题可以研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值或范围1(2022·新高考卷)在ABC中，点D在边AB上，BD2DA.记CAm，CDn，则CB()A3m2nB2m3nC3m2nD2m3nB解析：如图，CDCA+ADCA+12DBCA+12(CBCD)CA+12CB12CD，所以12CB32CDCA，即CB3CD2CA3n2m.2(2022·聊城模拟)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)若AOxAB(1x)AC，则x的取值范围是()A0，12B0，13C12，0D13，0D解析：设COyBC，因为BC3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y0，13，所以AOAC+COACyBCACy(ACAB)yAB(1y)AC.因为AOxAB(1x)AC，所以xy，所以x13，0.考点3共线向量定理及应用应用性设a，b是不共线的两个非零向量(1)若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值(1)证明：因为AB(3ab)(2ab)a2b，BC(a3b)(3ab)2a4b2AB，所以AB与BC共线，且有公共点B.所以A，B，C三点共线(2)解：因为8akb与ka2b共线所以存在实数，使得8akb(ka2b)，所以(8k)a(k2)b0.因为a与b不共线，所以8k=0，k2=0822±2，所以k2±4.即实数k的值为4或4.1证明向量共线的方法应用向量共线定理对于向量a，b(b0)，若存在实数，使得ab，则a与b共线2证明A，B，C三点共线的方法若存在实数，使得ABAC，则A，B，C三点共线3解决含参数的共线问题的方法经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值1设a，b是不共线的两个向量，已知BAa2b，BC4a4b，CDa2b，则()AA，B，D三点共线BB，C，D三点共线CA，B，C三点共线DA，C，D三点共线D解析：因为CABABC3a6b，所以CA3CD，所以CA与CD共线又因为它们有公共点C，所以A，C，D三点共线2(2022·日照月考)已知O为ABC内一点，且AO12(OB+OC)，ADtAC.若B，O，D三点共线，则t的值为()A14B13C12D23B解析：如图，以OB，OC为邻边作平行四边形，其对角线相交于点E.因为AO12(OB+OC)，所以点O为线段AE的中点因为ADtAC，B，O，D三点共线，所以AOAB(1)ADAB(1)tAC.又AO12AE12×12(AB+AC)14AB+14AC，所以=14， 1t=14，解得t13.3如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N.若ABmAM，ACnAN，则mn的值为()A1B2 C3D4B解析：连接AO，如图因为O为BC的中点，所以AO12(AB+AC)m2AM+n2AN.因为M，O，N三点共线，所以m2+n21，所以mn2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若ACa，BDb，则AF()A14a12bB23a13bC12a14bD13a23b四字程序读想算思用基底表示AF1三角形法则，平行四边形法则2以谁为基底选择不同的三角形，利用三角形法则转化与化归O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，E是OD的中点，AE的延长线与CD交于F1AFAG+GF，如何表示AG，GF？2AC+CF，如何表示CF？3AD+DF，如何表示AD，DF？4利用方程组思想与向量相等解决1在AGF中表示2在ACF中表示3在ADF中表示4直接设AFxACyBD，利用向量相等求系数1向量的线性运算法则2向量相等的条件3平行线的性质思路参考：利用AG，GF表示AF.B解析：由题意可知DEFBEA，所以DEBEDFBA13.又由ABCD可得DFDC13，所以DFFC12.如图，作FGBD交AC于点G，所以FGDOCGCOCFCD23，所以GF23OD13BD13b.因为AGAO+OGAO+13OC12AC+16AC23AC23a，所以AFAG+GF23a13b.思路参考：利用AC，CF表示AF.B解析：如图，作OGFE交DC于点G.由DEEO，得DFFG.又由AOOC，得FGGC，于是CF23CD23×12(ba)13b13a，所以AFAC+CF23a13b.思路参考：利用AD，DF表示AF.B解析：如图，作OGFE交DC于点G.由DEEO，得DFFG.又由AOOC，得FGGC，于是DF13DC1312b+12a，那么AFAD+DF12a+12b+1312b+12a23a13b.思路参考：利用AC，BD表示AF.B解析：如图，作OGFE交DC于点G.由DEEO，得DFFG.又由AOOC，得FGGC，故AFAD+DFAD+13DCAD+13AB.设AFxACyBD.因为ACAD+AB，BDADAB，所以AF(xy)AD(xy)AB，于是x+y=1，xy=13，解得x=23，y=13，所以AF23AC+13BD23a13b.1本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形法则或平行四边形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决2本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性3基于课程标准，解答本题一般需要良好的读图识图能力、运算求解能力、推理能力本题的解答体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养如图，在直角梯形ABCD中，DC14AB，BE2EC，且AErABsAD，则2r3s()A1B2C3D4C解析：解法一：由题图可得AEAB+BEAB+23BCAB+23(BA+AD+DC)13AB+23AD+DC13AB+23AD+14AB12AB+23AD.因为AErABsAD，所以r12，s23，则2r3s123.解法二：因为BE2EC，所以AEAB2(ACAE)，整理，得AE13AB+23AC13AB+23(AD+DC)12AB+23AD，以下同法一解法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由DC14AB 得DCAB，且AB4DC.又BE2EC，所以E为PB的中点，且AP43AD.于是，AE12(AB+AP)12AB+43AD12AB+23AD.以下同法一解法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m0，h0.由AErABsAD，得(4m，2h)r(4m，0)s(3m，3h)，所以4m=4mr+3ms，2=3s， 解得r=12，s=23，所以2r3s123.课时质量评价(二十六)A组全考点巩固练1设a，b是非零向量，则“a2b”是“aabb”成立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件B解析：由a2b可知，a，b 方向相同，aa，bb表示 a，b 方向上的单位向量，所以aabb成立；反之不成立故选B.2(2023·泰安模拟)已知向量a和b不共线，向量ABamb，BC5a3b，CD3a3b，若A，B，D三点共线，则m()A3B2C1D2A解析：由题意得BDBC+CD2a6bAB(amb)，解得m3.3(多选题)设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使aa+bb0成立的是()Aa2bBa2bCabDabAD解析：aa+bb0，aabb，a与b的方向相反故选AD.4向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则ab()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e2C解析：结合图形易得，ae14e2，b2e1e2，故abe13e2.5设D为ABC所在平面内一点，AD12AB+32AC.若BCCD (R)，则()A2B3C2D3C解析：因为BCCD (R)，所以ACABADAC，即AD1AB+1AC.又因为AD12AB+32AC，所以1=12，+1=32，解得2.6若AP12PB，AB(1)BP，则_52解析：因为AP12PB，所以AP+PBAB32PB32BP.所以132，52.7已知菱形ABCD的边长为2，BAD120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BEEC，CD2CF，则|AE+AF|_3解析：根据题意，菱形ABCD的边长为2，BAD120°，则BAC60°，必有AC2，又由BEEC，CD2CF，则E是BC的中点，F是CD的中点，则AEAB+BE，AFAD+DF，则AE+AFAB+BE+AD+DF32(AB+AD)32AC，而AC2，则|AE+AF|3.8经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OPmOA，OQnOB，m，nR，求1n+1m的值解：设OAa，OBb，则OG13(ab)，PQOQOPnbma，PGOGOP13(ab)ma13ma13b.由P，G，Q共线得，存在实数使得PQPG，即nbma13ma13b，则m=13m，n=13， 消去，得1n+1m3.9已知a，b不共线，OAa，OBb，OCc，ODd，OEe，设tR，如果3ac，2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由解：由题设知，CDdc2b3a，CEec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有t3+3k=0，t2k=0， 解得t65.故存在实数t65使C，D，E三点在一条直线上B组新高考培优练10如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的三等分点，ABa，ACb，则AD()Aa12bB12abCa12bD12abD解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且CD12AB12a，所以ADAC+CDb12a.11(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD中，A90°，B30°，AB23，BC2，点E在线段CD上若AEADAB，则的取值范围是()A0，1B0，3C0，12D12，2C解析：如图所示，过点C作CFAB，垂足为F.在RtBCF中，B30°，BC2，所以CF1，BF3.因为AB23，所以AF3.由四边形AFCD是平行四边形，可得CDAF312AB.因为AEAD+DEADAB，所以DEAB.因为DEDC，DC12AB，所以012.12(多选题)设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQasin ·b，其中(0，2)，QR2ab.若P，Q，R三点共线，则角的值可以为()A6B516C76D116CD解析：因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2ab0.即QR0.因为P，Q，R三点共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数，使PQQR，所以asin ·b2ab，所以1=2， sin=，解得sin 12.又(0，2)，故可为76或116.13(多选题)设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A若AM12AB+12AC，则点M是边BC的中点B若AM2ABAC，则点M在边BC的延长线上C若AMBMCM，则点M是ABC的重心D若AMxAByAC，且xy12，则MBC的面积是ABC面积的12ACD解析：若AM12AB+12AC，则点M是边BC的中点，故A正确若AM2ABAC，即有AMABABAC，即BMCB，则点M在边CB的延长线上，故B错误若AMBMCM，即AM+BM+CM0，则点M是ABC的重心，故C正确如图，AMxAByAC，且xy12，可得2AM2xAB2yAC，设AN2AM，则M为AN的中点，则MBC的面积是ABC面积的12，故D正确故选ACD.14直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量OA(1cos )OBsin OC(是锐角)总成立，则_45°解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数，使得BABC，所以OAOB(OCOB)，即OA(1)OBOC，所以1=1cos，=sin， 所以sin cos ，因为是锐角，所以45°.15如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量APmABnAF(m，n为实数)，求mn的最大值解：如图所示，设点O为正六边形的中心，则AOAB+AF.当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点连接OP，则APAO+OP.因为OP与FB共线，所以存在实数t，使得OPtFB，所以此时mn1t1t2，取得最小值所以APAO+OPAB+AFt(ABAF)(1t)AB(1t)AF.当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点P时，AP52AO52(AB+AF)52AB+52AF，此时mn5，取得最大值