2024届高考数学(北师大版)一轮复习教案-第五章　必刷小题10　平面向量与复数.docx

必刷小题10平面向量与复数一、单项选择题1(2022·临沂模拟)设向量a(1，x)，b(x,9)，若ab，则x等于()A3 B0 C3 D3或3答案D解析由ab，得9x20，所以x±3.2(2023·长沙模拟)设z(12i)|34i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析因为z(12i)|34i|5，所以z12i，所以z的共轭复数为12i，它在复平面内对应的点(1，2)在第四象限3已知向量a，b满足|a|1，a·b1，则a·(2ab)等于()A4 B3 C2 D0答案B解析因为|a|1，a·b1，所以a·(2ab)2a2a·b213.4(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|1，|b|2，a(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案C解析由题可知，|a|1，|b|2，a·(ab)|a|2a·b0a·b1，cosa，b.a，b0，向量a与b的夹角为.5.如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn等于()A0 B1 C2 D3答案C解析如图，连接AO，由O为BC的中点可得，()，M，O，N三点共线，1，即mn2.6定义：|a×b|a|·|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，a·b6，则|a×b|等于()A8 B8 C8或8 D6答案A解析由已知可得cos ，0，sin ，|a×b|a|·|b|sin 8.7(2023·日照模拟)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且3，则·的值为()A B. C1 D8答案B解析如图所示，把ABC放在直角坐标系中，由于ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，A，点D，E分别是边AB，BC的中点，D，E，设F(x，y)，3，F，(1,0)，·.8(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则·的最小值是()A B C1 D答案C解析如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，·x21y2x2y211，当且仅当P在原点时，取等号故·的最小值是1.二、多项选择题9(2022·潍坊模拟)若复数z123i，z21i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是()A.RB.·C若z1m(mR)是纯虚数，那么m2D若，在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则|5答案BC解析对于A，i，A错误；对于B，z1·z2(23i)(1i)5i，5i；又·(23i)(1i)5i，·，B正确；对于C，z1m2m3i为纯虚数，m20，解得m2，C正确；对于D，由题意得(2，3)，(1，1)，(3,2)，|，D错误10已知向量a(2,1)，b(1，1)，c(m2，n)，其中m，n均为正数，且(ab)c，则下列说法正确的是()Aa与b的夹角为钝角B向量a在b上的投影数量为C2mn4Dmn的最大值为2答案CD解析对于A，向量a(2,1)，b(1，1)，则a·b211>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影数量为a·，B错误；对于C，ab(1,2)，若(ab)c，则n2(m2)，变形可得2mn4，C正确；对于D，由2mn4，且m，n均为正数，得mn(2m·n)22，当且仅当m1，n2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确11瑞士数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半这个定理就是著名的欧拉线定理设ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论正确的是()A.2B.0C设BC边的中点为D，则有3D.答案AB解析如图，对于A项，由题意得2，AHBC，所以2，所以A选项正确；对于B项，设D为BC的中点，2，所以0，所以B选项正确；对于C项，因为D为BC的中点，G为ABC的重心，所以2，2，AGHDGO，所以AGHDGO，所以2，故C选项错误；对于D项，向量，的模相等，方向不同，故D选项错误12(2023·潍坊模拟)已知向量(1,2)，将绕原点O旋转30°，30°，60°到，的位置，则下列说法正确的是()A.·0B|C.··D点P1的坐标为答案ABC解析由题意作图如图所示，·0，故选项A正确；PP1与PP2所对的圆心角相等，|，故选项B正确；·|cos 60°.·|cos 60°，故选项C正确；若点P1坐标为，则|，故选项D错误三、填空题13设e1，e2为一基组，已知向量e1ke2，2e1e2，3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是_答案2解析因为e1ke2，2e1e2，3e13e2，所以e12e2，若A，B，D三点共线，则，所以存在实数使得，故e1ke2(e12e2)，所以1，k2.14已知i是虚数单位，则_.答案解析因为i2 021i，2 0222 0222 022i2 022i21，所以|1i|.15.(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，3，E为边BC的中点，若，则_.答案解析连接AC，如图所示，()，所以，则.16(2023·济宁模拟)等边ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则··的最大值为_答案8解析ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0)，B(1，)，C(1，)，设P(2cos ，2sin )，则(22cos ，2sin )，(12cos ，2sin )，(12cos ，2sin )，则··(22cos )(12cos )2sin (2sin )(2cos 1)2(2sin )(2sin )42cos 2sin 44cos，0··8，则··的最大值为8.