2024版高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第4节正弦定理余弦定理及应用.docx

第四节正弦定理、余弦定理及应用考试要求：1掌握正弦定理、余弦定理2能用正弦定理、余弦定理解三角形一、教材概念·结论·性质重现1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinAbsinBcsinC2Ra2b2c22bc cos A；b2c2a22ca cos B；c2a2b22ab cos C变形(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C(2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R.(3)abcsin Asin Bsin C(4)a sin Bb sin A，b sin Cc sin B，a sin Cc sin Acos Ab2+c2a22bc；cos Bc2+a2b22ac；cos Ca2+b2c22ab若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题2三角形解的个数A为锐角A为钝角或直角图形关系式ab sin Ab sin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解表中A为锐角时，a<b sin A，无解；A为钝角或直角时，ab，a<b均无解3三角形的面积公式(1)S12ah(h表示边a上的高)(2)S12bc sin A12ac sin B12ab sin C(3)S2R2·sin A·sin B·sin C(R为ABC的外接圆半径)(4)Sabc4R(R为ABC的外接圆半径)(5)S12r(abc)(r为ABC的内切圆半径)(6)Sppapbpc，p12(abc)4常用结论在ABC中，常用以下结论：(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin (AB)sin C；cos (AB)cos C；tan (AB)tan C；sin A+B2cos C2；cos A+B2sin C2.(5)tan Atan Btan Ctan A·tan B·tan C.(6)A>Ba>bsin A>sin Bcos A<cos B.(7)射影定理：ab·cos Cc·cos B；ba·cos Cc·cos A；ca·cos Bb·cos A.(8)在任意ABC中，任意两个内角的余弦值的和大于零(9)在锐角ABC中，任意一个内角的正弦值都大于其他两个内角的余弦值二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“×”(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形()(2)在ABC中，asinAa+b+csinA+sinB+sinC.()(3)在ABC中，“a2b2>c2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件()(4)在ABC中，若sin A sin B<cos A cos B，则此三角形是钝角三角形()2(多选题)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若ca cos B(2ab)·cos A，则下列结论可能正确的有()AA2BBACB2DBCAB解析：在ABC中，由ca cos B(2ab)·cos A，则sin Csin A cos B(2sin Asin B)cos A.即sin (AB)sin A cos B(2sin Asin B)·cos Ax cos Asin B2sin A cos Asin B cos Asin B cos Asin Acos Acos A(sin Bsin A)0，则cos A0或sin Bsin A，所以A2或BA.3在ABC中，a3，b5，sin A13，则sin B()A15B59C53D1B解析：根据正弦定理asinAbsinB，有3135sinB，得sin B59.故选B.4在ABC中，A60°，AC4，BC23，则ABC的面积为_23解析：因为23sin60°4sinB，所以sin B1，所以B90°，所以AB2，所以SABC12×2×2323.5已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，A45°.若三角形有两解，则边b的取值范围是_(2，22)解析：如图，ABC有两解的充要条件是b sin 45°<2<b，解得2<b<22.故b的取值范围是(2，22)考点1正弦定理、余弦定理的基本应用基础性1在ABC中，cos C23，AC4，BC3，则cos B()A19B13C12D23A解析：由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC cos C42322×4×3×239，所以AB3，所以cos BAB2+BC2AC22AB·BC9+9162×3×319.2(2021·全国甲卷)在ABC中，已知B120°，AC19，AB2，则BC()A1B2C5D3D解析：由余弦定理，得cos 120°22+BC21922×2BC.化简得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去)故选D.3若ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则ABC外接圆的半径为_928解析：不妨设b2，c3，cos A13，则a2b2c22b2·cos A9，a3.又sin A1cos2A223，外接圆半径为Ra2sinA32×223928.4(2021·全国乙卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B60°，a2c23ac，则b_22解析：由题意，得SABC12ac sin B3，即12ac·323，解得ac4.由余弦定理，得b2a2c22ac cos B3ac2ac·128，解得b22(负值舍去)1解答T3时易忽略b<cB<C而出现增根2正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素3正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系考点2判断三角形的形状应用性设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b cos Cc cos Ba sin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定B解析：因为b cos Cc cos Ba sin A，由正弦定理得sin B cos Csin C cos Bsin2A，所以sin(BC)sin2A，即sinAsin2A.又sinA>0，所以sin A1，所以A2，故ABC为直角三角形判断三角形形状的方法(1)化边：根据正余弦定理将角转化为边，然后通过因式分解、配方等得出边的相应关系(2)化角：根据正、余弦定理将边转化为角，通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论(多选题)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的有()A若sin A>sin B，则A>BB若sin 2Asin 2B，则ABC一定为等腰三角形C若cos2Acos2Bcos2C1，则ABC为直角三角形D若ABC为锐角三角形，则sinA<cos BAC解析：对于A，根据正弦定理asinAbsinB，由sin A>sin B，可推出a>b，则A>B，即A正确；对于B，取A15°，B75°，则sin 2Asin 2B，而ABC不是等腰三角形，即B错误；对于C，cos2Acos2Bcos2C(1sin2A)(1sin2B)(1sin2C)1，则sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理可得a2b2c2，故ABC为直角三角形，即C正确；对于D，若ABC为锐角三角形，取A80°，B40°，此时sin80°>cos 40°sin 50°，即sin A>cos B，故D错误故选AC.考点3解三角形的综合问题综合性考向1三角形的边、角计算问题在3b cos A2c sin C3a cos B，cos22+CcosC54这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_(1)求角C；(2)若AB3，AC2，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：(1)若选条件：因为3b cos A2c sin C3a cos B，由正弦定理可得3(sin B cos Asin A cos B)2sin2C，所以3sin(AB)2sin2C.因为ABC，可得ABC，所以3sinC2sin2C.因为sinC0，所以sin C32.又因为ABC为锐角三角形，所以C3.若选条件：因为cos22+CcosC54，所以(sin C)2cos C540，即1cos2CcosC540，所以cos2CcosC140，解得cos C12.因为ABC为锐角三角形，所以C3.(2)因为AB3，AC2，由正弦定理得sin BAC·sinCAB22.因为ABC为锐角三角形，所以B4，则A512.因为CE是角C的平分线，所以ACE6，故CEA6512512，所以ACEA，则AEC为等腰三角形，所以ACCE2，故CE的长为2.正、余弦定理的一般用法原则(1)“已知两角和一边”采用正弦定理(只有一解)(2)“已知两边和其中一边的对角”既可以采用正弦定理，又可以采用余弦定理(3)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理考向2与面积有关的问题ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+C2b sin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A+C2sin B sin A.因为sin A0，所以sin A+C2sin B.由ABC180°，可得sin A+C2cos B2，故cos B22sin B2cos B2.因为cos B20，所以sin B212，所以B60°.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC34a.由正弦定理得acsinAsinCsin120°CsinC32tanC+12.由于ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.由(1)知AC120°，得30°C90°，所以12a2，从而38SABC32.因此，ABC面积的取值范围是38，32.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S12ab sin C12ac sin B12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化(2022·浙江卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a5c，cos C35.(1)求sin A的值；(2)若b11，求ABC的面积解：(1)因为cos C350，所以C0，2，且sin C1cos2C45，由正弦定理可得：asinAcsinC，即有sin AasinCcacsin C54×4555.(2)因为4a5ca54cc，所以AC，故A0，2，又因为sin A55，所以cos A255，所以sin Bsin (AC)sin (AC)sin A·cos Ccos A sin C11525.由正弦定理可得：asinAcsinCbsinB55，所以a55sin A5，所以SABC12ab sin C12×5×11×4522.已知ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2b22c28，则ABC面积的最大值为()A55B255C355D53四字程序读想算思ABC面积的最大值1面积的表达式2以谁为变量用适当的变量表示S转化与化归a2b22c281S12ah.2S12ab sin C3边作变量4角作变量5海伦公式S214a2b2·(1cos2C)S2sinC32cosC1基本不等式2函数最值3三角函数的性质思路参考：余弦定理角化边二次函数的最值B解析：因为a2b22c28，即a2b282c2，所以S214a2b2sin2C14a2b2(1cos2C)14a2b21a2+b2c22ab214a2b283c221614a2+b22283c22165c416c2516c285245，故当a2b2125，c285时，S2有最大值45，所以ABC面积的最大值为255.思路参考：设高转化，利用基本不等式B解析：如图，过点C作CDAB于点D.设ADm，BDn，CDh.因为a2b22c28，所以m2n22h22c28.因为m2n2m+n22c22，当且仅当mn时取等号故m2n22h22c2c222h22c25c222h225ch45S，所以S255，当且仅当mn，c255h时取等号所以ABC面积的最大值为255.思路参考：利用海伦公式Sppapbpc基本不等式B解析：p12(abc)，则pa12(bca)，pb12(acb)，pc12(abc)，所以Sppapbpc14a+b2c2c2ba2144a2b2a2+b2c22.因为a2b22c28，所以S144a2b283c22，4a2b2(a2b2)2(82c2)2，所以S1482c2283c221416c25c4.当c285时，S2有最大值45.所以ABC面积的最大值为255.思路参考：建系设点B解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系不妨令x1>0，y2>0，设A(x1，0)，B(x1，0)，C(x2，y2)因为a2b22c28，所以x1x22+y22+x1+x22+y22+8x128，所以5x12+x22+y224.因为Sx1y2，所以25S5x12+y224x224，所以S255，当且仅当x20，5x12y222时取等号所以ABC面积的最大值为255.1本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助三角函数的性质求最值对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元2基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力3基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2b2c2bc，a3，则ABC的周长的最大值为_9解析：因为a2b2c2bc，所以bcb2c2a2，所以cosAb2+c2a22bc12.因为A(0，)，所以A3.方法一：因为a3，所以由正弦定理得asinAbsinBcsinC33223，所以b23sin B，c23sin C，则abc323sin B23sin C323sin B23sin 23B333sin B3cos B36sin B+6.因为B0，23，所以当B3时，周长取得最大值9.方法二：因为a3，所以由余弦定理得9b2c2bc，所以(bc)23bc9，所以(bc)293bc3·b+c22，所以(bc)236.因为bc>0，所以0<bc6，当且仅当bc时取“”，所以abc9，所以ABC周长的最大值为9.课时质量评价(二十九)A组全考点巩固练1边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为()A90°B120°C135°D150°B解析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5.设长为7的边所对的角为，则最大角与最小角的和是180°，由余弦定理可得，cos 25+64492×5×812，易得60°，则最大角与最小角的和是180°120°，故选B.2在ABC中，已知A3，2a2cb，那么ca()A38B37C715D815B解析：根据余弦定理得cos 60°c2+2a2c2a222a2cc12，化简得3a210ac7c20，则(3a7c)(ac)0.又因为2a2cb>0，有a>c，所以ca37，故选B.3ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A()A34B3C4D6C解析：由余弦定理得a2b2c22bc cos A2b22b2cos A2b2(1cos A)因为a22b2(1sin A)，所以cos Asin A因为cos A0，所以tan A1.因为A(0，)，所以A4.故选C.4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若23a cos C3b cos C3c cos B，则角C的大小为()A6B4C3D23A解析：因为23a cos C3b cos C3c cos B，所以23sin A cos C3sin B cos C3sin C cos B，所以23sin A·cos C3sin (CB)3sin A因为A，C(0，)，所以sin A0，cos C32.又C(0，)，所以C6.故选A.5(多选题)在ABC中，下列说法正确的是()A若a cos Ab cos B，则ABC为等腰三角形B若a40，b20，B25°，则ABC必有两解C若ABC是锐角三角形，则sin Acos BD若cos 2Acos 2Bcos 2C1，则ABC为锐角三角形BC解析：对于A，由正弦定理可得sin A cos Asin B cos B，所以sin 2Asin 2B，所以AB或AB90°，所以ABC为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，a sin B40sin 25°40sin 30°40×1220，即a sin Bba，所以ABC必有两解，故B正确；对于C，因为ABC是锐角三角形，所以AB2，即2A2B0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin Asin 2Bcos B，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式可得12sin2A12sin2B12sin2C1，即sin2Asin2Bsin2C0，即a2b2c20，所以cosC0，即C为锐角，不能说明ABC为锐角三角形，故D错误. 6已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1a+b+1b+c3a+b+c，则角B_3解析：因为 1a+b+1b+c3a+b+c，所以 b2a2c2ac.又由余弦定理得 cos Ba2+c2b22ac12，且B(0，)，解得 B3.7在ABC中，设BCa，ABc，ABC为锐角且满足lg alg clg sin Blg 2，则ABC的形状是_等腰直角三角形解析：由题可知lg alg clg sin Blg 2.因为lg alg clg ac，lg 2lg (2)-1lg 22，所以lg aclg sin Blg 22，得到acsin B22.因为B是锐角，所以B45°，cos B22.因为ac22，所以a212c2，b2a2c22ac·cos B12c2c22·22c2·2212c2c2c212c2，所以a2b212c2，所以a2b2c2.因此三角形ABC的形状是等腰直角三角形8已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a_时，满足条件“b2，A30°”的ABC有两个(写出一个a的具体数值即可)(1，2)内任一数解析：由正弦定理得asinAbsinB，所以sin BsinAa1a.若满足条件的ABC有两个，则1a<1且a<b2，所以1<a<2.故答案为(1，2)内任一数9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos22+AcosA54.(1)求A；(2)若bc33a，证明：ABC是直角三角形(1)解：由已知得sin2AcosA54，即cos2AcosA140.所以cosA1220，cos A12.由于0A，故A3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin Bsin C33sin A.由(1)知BC23，所以sin Bsin 23B33sin 3，即12sin B32cos B12，所以sin B312.由于0B23，B36，故B2.从而ABC是直角三角形10(2022·北京卷)在ABC中，sin 2C3sin C.(1)求C；(2)若b6，且ABC的面积为63，求ABC的周长解：(1)因为sin 2C3sin C，所以2sin C cos C3sin C，又sin C0，所以2cos C3，所以cos C32，因为0C，所以C6.(2)因为ABC的面积为63，所以12ab sin C63，又b6，C6，所以12×a×6×1263，所以a43，又cos Ca2+b2c22ab，所以32432+62c22×43×6，所以c23，所以abc663，所以ABC的周长为663.B组新高考培优练11(多选题)在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是()Ab7，c3，C30°Bb5，c4，B45°Ca6，b33，B60°Da20，b30，A30°BC解析：对于A，因为b7，c3，C30°，所以由正弦定理可得sin BsinCc7×123761，无解；对于B，因为b5，c4，B45°，所以由正弦定理可得sin CcsinBb4×2252251，且cb，有一解；对于C，因为a6，b33，B60°，所以由正弦定理可得sin AasinBb6×32331，A90°，此时C30°，有一解；对于D，因为a20，b30，A30°，所以由正弦定理可得sin BsinAa30×1220341，且ba，所以B有两个值，有两解12(多选题)对于ABC，有如下判断，其中正确的是()A若cos Acos B，则ABC为等腰三角形B若AB，则sin Asin BC若a8，c10，B60°，则符合条件的ABC有两个D若sin2Asin2Bsin2C，则ABC是钝角三角形ABD解析：对于A，若cosAcos B，则AB，所以ABC为等腰三角形，故正确；对于B，若AB，则ab，由正弦定理asinAbsinB2R，得2R sin A2R sin B，即sin Asin B成立，故正确；对于C，由余弦定理可得b82+1022×8×10×1284，只有一解，故错误；对于D，若sin2Asin2Bsin2C，则根据正弦定理得a2b2c2，cosCa2+b2c22ab<0，所以C为钝角，所以ABC是钝角三角形，故正确13(多选题)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a22，b2，则角B可以是()A15°B30° C45°D75°AB解析：cos Ba2+c2b22ac8+c222×22c6+c242c2c8+324c2324c·2c832，当且仅当324c2c8，c6时等号成立，所以cos B32，1，B(0°，30°，所以AB选项正确，CD选项错误故选AB.14在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos Bcb20，a272bc，bc，则bc_2解析：由a cos Bcb20及正弦定理可得sin A cos Bsin CsinB20.因为sin Csin (AB)sin A cos Bcos Asin B，所以sinB2cos A sin B0.因为sin B0，所以cos A12，即A23.由余弦定理得a272bcb2c2bc，即2b25bc2c20，又bc，所以bc2.15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin Asin B54sin C，且ABC的周长为9，ABC的面积为3sin C，则c_，cos C_414解析：因为sin Asin B54sin C，所以由正弦定理得ab5c4.因为ABC的周长为9，所以abcc5c49，解得c4.因为ABC的面积等于3sin C，所以12ab sin C3sin C，整理得ab6.由于ab5c45，故a+b=5，ab=6， 解得a=2，b=3 或a=3，b=2，所以cos Ca2+b2c22ab14.16(2022·聊城三模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin Cc cos B6.(1)求角B；(2)若b4，求ABC周长的最大值解：(1)由正弦定理及b sin Cc cos B6，知sin B sin Csin C cos B6，因为sin C0，所以sin Bcos B632cos B12sin B，即sin B30，因为B(0，)，所以B3.(2)由余弦定理知，b2a2c22ac cos B，所以16a2c2ac(ac)23ac(ac)23·14(ac)214(ac)2，所以(ac)264，即ac8，当且仅当ac4时，等号成立，所以ABC周长为abc8412，故ABC周长的最大值为12.17(2022·烟台三模)在(2bc)cos Aa cos C，a sin B3b cos A，a cos C3c sin Abc，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答问题：已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足_，且c4，b3.(1)求ABC的面积；(2)若D为BC的中点，求ADC的余弦值.注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分解：(1)若选：因为(2bc)cos Aa cos C，由正弦定理得(2sin Bsin C)cos Asin A cos C，即2sin B cos Asin C cos Asin A cos C，所以2sin B cos Asin B.因为0B，所以sin B0，可得cos A12，因为0A，故A3.若选，a sin B3b cos A，由正弦定理可得sin A sin B3sin B cos A，因为sin B0，可得sin A3cos A，可得tan A3，因为A(0，)，可得A3.若选，a cos C3c sin Abc，由正弦定理可得sin A cos C3sin A sin Csin Bsin C，又因为sin Bsin (AC)sin A cos Ccos A sin C，可得3sin Acos A1，可得sin A612，因为A(0，)，可得A66，56，可得A66，可得A3.所以SABC12bc sin A12×4×3×sin 333.(2)在ABC中，由余弦定理可得，a2b2c22bc cos A9162×3×4×1213，故a13，在ABD中，2AD·BD cos ADBAD2BD216，在ACD中，2AD·CD cos ADCAD2CD29，又BDCD132，ADCADB，两式相加可得，AD2374，即AD372，在ACD中，由余弦定理得cos ADCAD2+CD2AC22AD·CD374+13492×372×1327481481.