2024版高考数学一轮复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练16利用导数研究函数的单调性.docx
课时规范练16基础巩固组1.在下列区间中,函数f(x)=1+lnxx在以下哪个区间上单调递减()A.(0,1)B.(0,e)C.(1,e)D.1e,e答案:C解析:由于f'(x)=(1+lnx)'·x-(1+lnx)·(x)'x2=-lnxx2,且当x(1,e)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,e)上单调递减,故选C.2.(2023·天津一中高三检测)已知函数f(x)=mx3+3(m-1)x2-m2+1(m>0)的单调递减区间是(0,4),则m=()A.3B.13C.2D.12答案:B解析:函数f(x)=mx3+3(m-1)x2-m2+1(m>0),则导数f'(x)=3mx2+6(m-1)x,令f'(x)<0,即3mx2+6(m-1)x<0,m>0,f(x)的单调递减区间是(0,4),0,4是方程3mx2+6(m-1)x=0的两根,0+4=2(1-m)m,0×4=0,m=13.3.已知函数f(x)=2x-log2x,则不等式f(x)>0的解集是()A.(0,1)B.(-,2)C.(2,+)D.(0,2)答案:D解析:f(x)=2x-log2x的定义域为(0,+),因为在(0,+)上,f'(x)=-2x21xln2<0,所以f(x)=2x-log2x在(0,+)上单调递减,又f(2)=22-log22=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).4.(2023·重庆万州二中高三检测)已知函数f(x)=x33+ax22+ax+1存在三个单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,4)B.0,4C.(-,0)(4,+)D.(-,04,+)答案:C解析:函数f(x)=x33+ax22+ax+1,可得f'(x)=x2+ax+a,因为函数f(x)存在三个单调区间,可得f'(x)有两个不相等的实数根,则满足=a2-4a>0,解得a<0或a>4,即实数a的取值范围是(-,0)(4,+).5.(2023·广东广州模拟)已知函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是()A.2f'(2)<f(4)-f(2)<2f'(4)B.2f'(2)<2f(2)<f(4)-f(2)C.2f'(2)<2f'(4)<f(4)-f(2)D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2)答案:A解析:由图可知,经过点(2,f(2)和点(4,f(4)的割线的斜率大于曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率,且小于曲线y=f(x)在点(4,f(4)处的切线斜率,即f'(2)<f(4)-f(2)4-2<f'(4),所以2f'(2)<f(4)-f(2)<2f'(4).故选A.6.(多选)(2023·山东淄博模拟)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是()A.ln 2>2eB.ln 3<3eC.ln >eD.ln3ln<3答案:ACD解析:构造函数f(x)=lnx-xe(x>0),f'(x)=1x1e=e-xex,所以在区间(0,e)上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在区间(e,+)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(e)=lne-1=0,故f(x)0,当且仅当x=e时等号成立.即lnx-xe0,lnxxe,当且仅当x=e时等号成立.所以ln2<2e,ln<e,AC选项错误,ln3<3e,B选项正确.构造函数g(x)=lnxx(x>0),g'(x)=1-lnxx2,所以在区间(0,e)上,g'(x)>0,g(x)单调递增;在区间(e,+)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(3)>g(),ln33>lnln3ln>3,D选项错误.故选ACD.7.(2023·广东珠海高三检测)已知函数f(x)=asin x+2cos x在区间-3,-4上单调递增,则a的取值范围为. 答案:-2,+)解析:因为函数f(x)=asinx+2cosx在x-3,-4上单调递增,所以f'(x)=acosx-2sinx0在区间-3,-4上恒成立,即a2tanx在x-3,-4上恒成立,由y=2tanx在-2,0上单调递增知,ymax=2tan-4=-2,所以a-2.8.(2023·福建漳州高三检测)若函数f(x)=x33a2x2+4x+1在区间(1,4)上不单调,则实数a的取值范围是. 答案:(4,5)解析:函数f(x)=x33a2x2+4x+1,f'(x)=x2-ax+4.若函数f(x)在区间(1,4)上不单调,则f'(x)=x2-ax+4在(1,4)上存在变号零点,由x2-ax+4=0得a=x+4x,令g(x)=x+4x,x(1,4),g'(x)=(x+2)(x-2)x2,g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,而g(2)=2+42=4,g(1)=1+41=5,g(4)=4+44=5,4<a<5.故a的取值范围是(4,5).9.已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-3<0的解集为. 答案:(-1,1)解析:根据题意,对于函数f(x)=x(2x-2-x),定义域为R,且有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.函数f(x)=x(2x-2-x),其导数f'(x)=2x-2-x+xln2·(2x+2-x),当x>0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+)上单调递增;又f(1)=2-12=32,由2f(x)-3<0可得f(x)<f(1),所以|x|<1,解得-1<x<1,即不等式的解集是(-1,1).10.已知f(x)=ex-ax-1.(1)当a=2时,讨论f(x)的单调区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=ex-2x-1,定义域为R.f'(x)=ex-2.令f'(x)>0,即ex-2>0,解得x>ln2;令f'(x)<0,即ex-2<0,解得x<ln2.当a=2时,函数f(x)的单调递增区间是(ln2,+),单调递减区间为(-,ln2).(2)f(x)=ex-ax-1,xR,f'(x)=ex-a.f(x)在R内单调递增,即f'(x)=ex-a0恒成立,xR时,ex(0,+),a0,即a的取值范围为(-,0.综合提升组11.(2022全国甲,理12)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b答案:A解析:因为a=3132=1-132,构造函数h(x)=1-12x2-cosx,x0,2,则g(x)=h'(x)=-x+sinx,g'(x)=-1+cosx0,所以g(x)在0,2上单调递减,g(x)g(0)=0,即h'(x)0,则h(x)在0,2上单调递减,所以h14=a-b<h(0)=0,即a<b.又cb=4sin14cos14=tan1414,显然当x0,2时,tanx>x,所以cb>1,即b<c.综上可得c>b>a.故选A.12.(2023·河北石家庄高三检测)若函数f(x)=(x2+mx)ex在-12,1上存在单调递减区间,则m的取值范围是. 答案:-,32解析:f'(x)=(2x+m)ex+(x2+mx)ex=x2+(m+2)x+mex,则原问题等价于f'(x)<0在-12,1上有解,即x2+(m+2)x+m<0在-12,1上有解,即m<-x2-2xx+1在-12,1上有解,设h(x)=-x2-2xx+1,x-12,1,因为h(x)=-x2-2xx+1=-(x+1)+1x+1,且h(x)=-(x+1)+1x+1在-12,1上单调递减,所以当x=-12时,h(x)max=-12+1+1-12+1=32,所以m<32.13.(2022·北京,20)已知函数f(x)=exln(1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在0,+)上的单调性;(3)证明:对任意的s,t(0,+),有f(s+t)>f(s)+f(t).解:(1)由题得f'(x)=ex·ln(1+x)+ex·11+x=ex·ln(1+x)+11+x,故f'(0)=e0·ln(1+0)+11+0=1,f(0)=e0ln(1+0)=0,因此曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=x.(2)由(1)知g(x)=f'(x)=ex·ln(1+x)+11+x,x0,+),则g'(x)=ex·ln(1+x)+21+x1(1+x)2=ex·ln(1+x)+2x+1(1+x)2=ex·ln(1+x)+11+x+x(1+x)2.由于x0,+),故ln(1+x)0,11+x>0,x(1+x)20,所以对任意x0,+),g'(x)>0恒成立,故g(x)在0,+)上单调递增.(3)证明:设函数F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).因为t>0,所以x+t>x>0.因为g(x)在0,+)上单调递增,所以g(x+t)>g(x),即g(x+t)-g(x)>0,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+)上单调递增.又因为s>0,所以F(s)>F(0),即f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).又f(0)=0,所以f(s+t)>f(s)+f(t).创新应用组14.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f'(x)-f(x)>1,f(1)=3,则下列结论中不正确的是()A.f(4)>ef(3)B.f(4)>4e3-1C.f(-4)>e2f(-2)D.f(-4)<-4e2-1答案:C解析:设g(x)=f(x)+1ex,其导数g'(x)=f'(x)·ex-f(x)+1·exe2x=f'(x)-f(x)-1ex,又当x>0时,f'(x)-f(x)>1,即f'(x)-f(x)-1>0,则当x>0时,有g'(x)>0,即g(x)在区间(0,+)上单调递增,依次分析选项:对于A,g(x)在区间(0,+)上单调递增,有g(4)>g(3),即f(4)+1e4>f(3)+1e3,变形可得f(4)+1>ef(3)+e,则有f(4)>ef(3)+e-1>ef(3),A正确;对于B,g(x)在区间(0,+)上单调递增,有g(4)>g(1),即f(4)+1e4>f(1)+1e1=4e,变形可得f(4)>4e3-1,B正确;对于C,g(x)在区间(0,+)上单调递增,有g(4)>g(2),即f(4)+1e4>f(2)+1e2,变形可得f(4)+1>e2f(2)+e2,又f(x)为奇函数,故-f(-4)+1>-e2f(-2)+e2,则有f(-4)<e2f(-2)+1-e2<e2f(-2),C错误;对于D,由B选项的结论,f(4)>4e3-1,即-f(-4)>4e3-1,变形可得f(-4)<1-4e3,而1-4e3-(-4e2-1)=2-4e3+4e2=2-4e2(e-1)<0,则有f(-4)<1-4e3<-4e2-1,D正确.
