2024届高考数学一轮总复习第五章三角函数课时规范练28三角函数中的综合问题.docx
课时规范练28三角函数中的综合问题1.在x=6是函数f(x)图象的一条对称轴,12是函数f(x)的一个零点,函数f(x)在区间a,b上单调递增,且b-a的最大值为2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知函数f(x)=2sin xcosx-6-12(0<<2),求f(x)在区间-2,2上的单调递减区间. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2.(2022全国乙,理17)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cos A=2531,求ABC的周长.3.(2022山东烟台一模)如图,四边形ABCD中,AB2+BC2+AB·BC=AC2.(1)若AB=3BC=3,求ABC的面积;(2)若CD=3BC,CAD=30°,BCD=120°,求ACB的值.4.(2022湖南益阳一模)在sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab;(a+2b)cos C+ccos A=0;3asinA+B2=csin A这三个条作中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)求角C的大小;(2)若c=4,求AB的中线CD长度的最小值.5.若f(x)=sin(x+)>0,0<<2的部分图象如图所示,f(0)=12,f512=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角三角形ABC中,若A>B,fA-B212=35,求cosA-B2,并证明sin A>255.6.在ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分BAC.(1)若sinABC=55,求cosBAC;(2)若AD=AC,且ABC的面积为7,求BC.课时规范练28三角函数中的综合问题1.解f(x)=2sinxcosx-6-12=2sinxcosxcos6+sinxsin6-12=3cosxsinx+sin2x-12=32sin2x-12cos2x=sin2x-6.若x=-6是函数f(x)图象的一条对称轴,则-36=k+2(kZ),即-3=k+23(kZ),因此=-3k-2(kZ).又0<<2,所以当k=-1时,=1,则f(x)=sin2x-6.若12是函数f(x)的一个零点,则12×2-6=k,即6=k+6(kZ),因此=6k+1(kZ).又0<<2,所以当k=0时,=1,所以f(x)=sin2x-6.若f(x)在区间a,b上单调递增,且b-a的最大值为2,则T=22,故=1,所以f(x)=sin2x-6.由2+2k2x-632+2k(kZ),得3+kx56+k(kZ),令k=0,得3x56;令k=-1,得-23k-6.又-2x2,所以f(x)在区间-2,2上的单调递减区间为-2,-6,3,2.2.(1)证明 sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinB·sinCcosA-sinBsinAcosC,由正弦定理及余弦定理,得ca·a2+c2-b22ac-cb·b2+c2-a22bc=bc·b2+c2-a22bc-ba·a2+b2-c22ab,化简整理,得2a2=b2+c2.(2)解a=5,b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=252bc=2531,bc=312.b+c=b2+c2+2bc=9,a+b+c=14.故ABC的周长为14.3.解(1)在ABC中,cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=-AB·BC2AB·BC=-12,因为0°<B<180°,所以B=120°.SABC=12AB·BCsin120°=12×3×1×32=334.(2)设ACB=,则ACD=120°-,ADC=30°+,BAC=60°-.在ACD中,由ACsin(30°+)=CDsin30°,得AC=sin(30°+)sin30°CD.在ABC中,由ACsin120°=BCsin(60°-),得AC=sin120°sin(60°-)BC.联立上式,并由CD=3BC得3sin(30°+)sin30°=sin120°sin(60°-),整理得sin(30°+)sin(60°-)=14,所以sin(60°+2)=12,因为0°<<60°,所以60°<60°+2<180°,所以60°+2=150°,解得=45°,即ACB的值为45°.4.解(1)选择条件:由sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab及正弦定理,得ab+ba+1=c2ab,即a2+b2-c2=-ab,由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12,因为0<C<,所以C=23.选择条件:由(a+2b)cosC+ccosA=0及正弦定理,得(sinA+2sinB)cosC+sinCcosA=0,即sinAcosC+cosAsinC=-2sinBcosC,即sin(A+C)=-2sinBcosC.在ABC中,A+B+C=,所以sin(A+C)=sin(-B)=sinB,即sinB=-2cosCsinB,因为0<B<,所以sinB0,所以cosC=-12,因为0<C<,所以C=23.选择条件:由3asinA+B2=csinA及正弦定理,得3sinA·sinA+B2=sinCsinA,因为0<A<,sinA0,所以3sinA+B2=sinC.在ABC中,A+B+C=,则sinA+B2=cosC2,故3cosC2=2sinC2cosC2.因为0<C<,所以cosC20,则sinC2=32,故C=23.(2)因为ADC+BDC=,所以4+CD2-b22×2×CD+4+CD2-a22×2×CD=0,整理得2CD2=a2+b2-8,在三角形ABC中,由余弦定理得42=a2+b2-2abcos23=a2+b2+ab.因为aba2+b22,当且仅当a=b时取等号,所以16=a2+b2+aba2+b2+12(a2+b2)=32(a2+b2),即a2+b2323,所以2CD2=a2+b2-8323-8=83,即CD233,即CD长度的最小值为233.5.解(1)由f(0)=12,得sin=12.又0<<2,故=6.由f512=0,得sin·512+6=0,所以·512+6=2k+(kZ),即=2+24k5(kZ).由>0,结合函数图象可知12·2>512,所以0<<125.又kZ,所以k=0,从而=2,因此f(x)=sin2x+6.(2)由fA-B212=sin(A-B)=35,因为0<B<A<2,所以0<A-B<2,故cos(A-B)=45.因为cos(A-B)=2cos2A-B2-1,于是cosA-B2=1+cos(A-B)2=31010.所以sinA-B2=1-cos2A-B2=1010.又A+B>2,故A=A+B2+A-B2>4+A-B2.又y=sinx在区间0,2上单调递增,且A0,2,4+A-B20,2,所以sinA>sin4+A-B2=sin4cosA-B2+cos4sinA-B2=22×31010+1010=255.6.解(1)AB=2AC,AB>AC,ABC<ACB,ABC为锐角,即cosABC=1-15=255.ACsinABC=ABsinACB,sinACB=255.ACB(0,),cosACB=±55.cosBAC=-cos(ABC+ACB)=sinABCsinACB-cosABCcosACB.当cosACB=55时,cosBAC=55×255255×55=0.当cosACB=-55时,cosBAC=55×255+255×55=45.cosBAC=0或45.(2)设CAD=DAB=,由于SABC=SACD+SADB,故12AC·ADsin+12AB·ADsin=12AB·ACsin2,由AD=AC,AB=2AC可得3sin=4sincos.sin0,cos=34,sin=1-cos2=74,SABC=12AC·ABsin2=2AC2sincos=7,解得AC2=83.又cos2=2cos2-1=18,BC=AC2+4AC2-2AC·2ACcos2=23.
