2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件与概率.docx

第三节随机事件与概率考试要求：1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性2了解概率的意义及频率与概率的区别3了解两个互斥事件的概率加法公式一、教材概念·结论·性质重现1确定试验的样本空间(1)样本点和样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点(2)有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果1，2，n，则称样本空间1，2，n为有限样本空间2事件类型的判断(1)随机事件我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件随机事件一般用大写字母A，B，C，表示在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生(2)必然事件作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件(3)不可能事件空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件3事件的关系(1)互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示AB图形表示(2)互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即AB，且AB，那么称事件A与事件B互为对立事件A的对立事件记为A含义A与B有且仅有一个发生符号表示AB，AB图形表示4事件的运算(1)包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示BA(或AB)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等，记作AB(2)并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示AB(或AB)图形表示(3)交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示AB(或AB)图形表示互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生5概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)0性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()1，P()0性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)性质5：如果AB，那么P(A)P(B)性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB) P(A)P(B)P(AB)1随机事件A，B互斥与对立的区别与联系当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥2从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“×”(1)事件发生的频率与概率是相同的(×)(2)随机事件和随机试验是一回事(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生()(5)若A，B为互斥事件，则P(A)P(B)1(×)(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()2一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球下列事件为不可能事件的是()A3个都是白球B3个都是红球C至少1个红球D至多2个白球A解析：由于袋子中白球的个数为2个，摸出的3个球都是白球是不可能事情，故A选项正确摸出的3个球都是红球是随机事件，故B选项错误摸出的球至少一个红球是必然事件，故C选项错误摸出的球至多2个白球是必然事件，故D选项错误故选A3(2022·烟台期末)抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，观察朝上一面的点数，设事件A“点数为奇数”，B“点数为4”，则A与B的关系为()A互斥B相等C互为对立D相互独立A解析：事件A与B不可能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥事件4(多选题)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件M“取出的两球同色”，N“取出的两球中至少有一个黄球”，S“取出的两球至少有一个白球”，T“取出的两球不同色”，H“取出的两球中至多有一个白球”则()AM与T互为对立BN与S互斥CS与H互斥DN与H不互斥AD解析：对于选项A，事件M“取出的两球同色”，T“取出的两球不同色”，显然不可能同时发生，且也不可能都不发生，所以M和T是对立事件故选项A正确对于选项B，如果“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和S同时发生，所以N和S不是互斥事件，故B选项错误对于选项C，如果“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则S和H同时发生，所以S和H不是互斥事件，故C选项错误对于选项D，如果“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和H同时发生，所以N和H不是互斥事件，故D选项正确5容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数234542则样本数据落在区间10，40)的频率为_0.45解析：落在10，40)的频率为2+3+4200.456一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是_25解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为25考点1随机事件的关系基础性(1)(多选题)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球设事件R1“第一次摸到红球”，R“两次都摸到红球”，G“两次都摸到绿球”，M“两球颜色相同”，N“两球颜色不同”，则()AR1RBRGCRGMDMNBCD解析：由题意知，R“两次都摸到红球”，R1“第一次摸到红球”，所以RR1，故选项A错误因为R“两次都摸到红球”，G“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，所以RG，故选项B正确因为R“两次都摸到红球”，G“两次都摸到绿球”，M“两球颜色相同”，故R或G表示摸的两个球的颜色相同，所以RGM，故选项C正确因为M“两球颜色相同”，N“两球颜色不同”，由对立事件的定义可知，MN，故选项D正确(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是()A既不互斥也不对立B既互斥又对立C互斥但不对立D对立C解析：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是互斥但不对立故选C判断互斥事件、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集1同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是()A“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件在B中，当2枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件故选C2口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C)解析：显然A与D是对立事件，正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，不正确；CE为必然事件，P(CE)1，正确；P(B)45，P(C)35，不正确考点2随机事件的频率与概率基础性如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，所以用频率估计相应的概率p441000.44(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分10202030304040505060选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5因为P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9因为P(B1)P(B2)，所以乙应选择L21概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为()A49B0.5C0.51D0.49C解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为511000.512某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下4030703550岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A该校教职工具有本科学历的概率低于60%B该校教职工具有研究生学历的概率超过50%C该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%D解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p751205862.5%>60%，故A错误对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p451203837.5%<50%，故B错误对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p101201128.3%<10%，故C错误对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p151201812.5%>10%，故D正确故选D考点3互斥事件与对立事件的概率综合性考向1互斥事件的和事件某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如表所示一次购物量(件)1458912131617及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%(1)求x，y的值(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20(2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟将频率视为概率可得P(A)P(A1)P(A2)20100101000.3考向2“至多”“至少”型问题的概率经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)间接法体现了“正难则反”的思想方法考向3与其他知识的综合某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A62%B56%C46%D42%C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则P(A)0.6，P(B)0.82，P(AB)0.96，所以P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.60.820.960.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%故选C概率综合问题求解需要明确概率类型，从而选择相应概型公式求解特别注意“至多”“至少”“不少于”等语句的含义，可利用对立事件的概率快速解决1抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件AB发生的概率为()A13B12C23D56C解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果依题意P(A)2613，P(B)4623，所以P(B)1P(B)12313因为B表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与B互斥，从而P(AB)P(A)P(B)1313232某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)11 000，P(B)101 0001100，P(C)501 000120故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC因为A，B，C两两互斥，所以P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)1+10+501 000611 000，故1张奖券的中奖概率约为611 000(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)1P(AB)111 000+11009891 000，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000课时质量评价(五十八)A组全考点巩固练1(多选题)一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有()A“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B“至少有1件次品”和“都是次品”C“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D“至少有1件次品”和“都是正品”AD解析：对A，“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；对B，“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；对C，“至少有1件正品”的基本事件为“有1件正品和1件次品”，“有2件正品” ，“至少有1件次品”的基本事件为“有1件正品和1件次品”，“有2件次品” ，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；对D，由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件故选AD2若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3B0.4C0.6D0.7B解析：设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4故选B3为了了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从周髀算经、九章算术等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期，则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为()A115B715C815D1415C解析：设事件“所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，所以事件“所选2部专著都是魏晋南北朝时期的专著”为事件A因为P(A)C72C102715，所以P(A)1P(A)1715815故选C4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学的瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90名，阅读过红楼梦的学生共有80名，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60名，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5B0.6C0.7D0.8C解析：根据题意，阅读过红楼梦西游记的人数用Venn图表示如下：所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为701000.75(2023·德州模拟)某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为()A0.5B0.6 C0.7D0.8C解析：设事件A为“只用现金支付”，事件B为“只用非现金支付”，事件C为“既用现金支付又用非现金支付”，事件D为“买菜后支付”，则P(D)P(A)P(B)P(C)1因为P(A)0.2，P(C)0.1，所以P(B)0.7故选C6(多选题)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，下述结论中，正确的是()AP(A)0.55BP(B)0.18CP(C)0.27DP(BC)0.55ABC解析：依题意，P(A)551000.55，P(B)181000.18，显然事件A，B互斥，P(C)1P(AB)1P(A)P(B)0.27，事件B，C互斥，则P(BC)P(B)P(C)0.45，所以选项A，B，C都正确，选项D不正确故选ABC7从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是_事件(填“必然”“不可能”或“随机”)必然解析：从3双鞋子中，任取4只，必有两只鞋是一双，所以这个事件是必然事件8某城市的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率1101613730215130其中污染指数T50时，空气质量状况为优；50T100时，空气质量状况为良；100T150时，空气质量状况为轻微污染该城市空气质量状况达到良或优的概率为_35解析：由题意可知空气质量状况达到良或优的概率为1101613359袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：(1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少；(2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少解：(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知得PA+PB+PC=1，PA+PB=59， PB+PC=23， 解得PA=13，PB=29，PC=49，所以从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49(2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况而从9个球中取出2个球的情况共有36种，所以任取两个球，得到的两个球颜色相同概率为3+6+136518，则得到的两个球颜色不相同的概率是15181318B组新高考培优练10抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示正面朝上的点数为奇数，则下列事件中与事件A为对立事件的是()A正面朝上的点数大于3B正面朝上的点数是2的倍数C正面朝上的点数为4或6D正面朝上的点数是3的倍数B解析：对于选项A，正面朝上的点数大于3，即点数为4，5，6，与事件A有公共部分5，选项A错误对于选项B，正面朝上的点数是2的倍数，即点数为2，4，6，与事件A无公共部分，且该事件与事件A包含了所有的样本空间，选项B正确对于选项C，正面朝上的点数为4或6，与事件A是互斥事件，故选项C错误对于选项D，正面朝上的点数是3的倍数，即点数为3，6，与事件A有公共部分3，即该事件与事件A不对立故选项D错误故选B11从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()AB CDC解析：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件12(多选题)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门若同学甲必选物理，则下列说法正确的是()A甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B甲的不同的选法种数为15C已知乙同学选了物理，则他选技术的概率是16D乙、丙两名同学都选物理的概率是949BD解析：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选2门即可，即C6215(种)选法，故B正确乙同学选了物理，故他选技术的概率是13，故C错误乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是37×37949，故D正确故选BD13(2022·和平区期末)设A，B，C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P(A)14，P(C)23，则P(AB)_712解析：因为A，B，C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P(A)14，P(C)23，所以P(B)1P(C)12313，所以P(AB)P(A)P(B)141371214某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品规则如下：(1)摇号的初始中签率为0.19；(2)当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请_位好友参与到“好友助力”活动15解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加的中签率为0.90.190.71因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，所以至少需要邀请0.710.0514.2，即邀请15位好友参与到“好友助力”活动15某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2+16+36900.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y6×4504×450900；若最高气温位于区间20，25)，则Y6×3002×(450300)4×450300；若最高气温低于20，则Y6×2002×(450200)4×450100所以，Y的所有可能值为900，300，100Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36+25+7+4900.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8