备考2024年高考数学一轮复习第八章第3节圆的方程.docx

第3节圆的方程考试要求1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.圆的定义和圆的方程定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0 (D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.常用结论1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)·(xx2)(yy1)(yy2)0.2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.圆心在任一弦的垂直平分线上.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF>0.()答案(1)(2)×(3)×(4)解析(2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2(2)24×5m0，即m或m1时表示圆.2.已知圆C经过原点和点A(2，1)，并且圆心在直线l：x2y10上，则圆C的标准方程为_.答案解析设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，解得故圆C的标准方程为.3.已知圆C的圆心在x轴上，且过A(1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是_.答案(x2)2y210解析圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|CB|，可得|CA|2|CB|2，即(a1)21(a1)29，求得a2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|，故圆的方程为(x2)2y210.4.(选修一P102T7改编)当m_时，方程x2y24x2my2m22m10表示圆，半径最大时圆的一般方程为_.答案(1，3)x2y24x2y10解析原方程可化为(x2)2(ym)2m22m3，它表示圆时应有m22m30，得1m3.当m22m3最大时，此时m1，故此时圆的方程为x2y24x2y10.考点突破·题型剖析考点一圆的方程例1 (1)(2023·深圳模拟)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为_.答案(x3)2(y1)21解析到两直线3x4y0，3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y50，联立解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x3)2(y1)21.(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2xy10上，点(3，0)和(0，1)均在M上，则M的方程为_.答案(x1)2(y1)25解析法一设M的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得M的方程为(x1)2(y1)25.法二设M的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则M(，)，解得M的方程为x2y22x2y30，即(x1)2(y1)25.法三设A(3，0)，B(0，1)，M的半径为r，则kAB，AB的中点坐标为(，)，AB的垂直平分线方程为y3(x)，即3xy40.联立解得所以M(1，1)，r2|MA|2(31)20(1)25，M的方程为(x1)2(y1)25.感悟提升求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.训练1 (1)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)，则圆E的标准方程为_.答案y2解析法一(待定系数法)设圆E的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2y2x10，即y2.法二(几何法)因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y2(x1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|，所以圆E的标准方程为y2.(2)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(2，1)的圆C和直线xy10相切，且圆心在直线y2x上，则圆C的标准方程为_.答案(x1)2(y2)22解析根据题意，圆心在直线y2x上，则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r，又圆C过点M(2，1)且与直线xy10相切，则有解得则圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.考点二与圆有关的最值问题角度1利用几何意义求最值例2 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上.(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.解(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，的最大值为2，最小值为2.(2)设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.(3)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(1，2)的距离为，的最大值为1，最小值为1.角度2利用对称性求最值例3 已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.答案2解析因为圆C：x2y24x2y0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r的圆.设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，所以解得故A(4，2).连接AC交圆C于Q(图略)，此时，|PA|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.角度3建立函数关系求最值例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则·的最大值为_.答案12解析由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以·x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以·(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21，易知2y4，当y4时，·的值最大，最大值为6×41212.感悟提升与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如，taxby，(xa)2(yb)2形式的最值问题.(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.训练2 (1)已知实数x，y满足方程x2y24x10，则x2y2的最大值为_，最小值为_.答案7474解析x2y2表示圆(x2)2y23上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.(2)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为_.答案54解析P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.考点三与圆有关的轨迹问题例5 如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.解(1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0).由|EB|EC|，得，解得b1，所以圆的方程为x2(y1)210.(2)设P(x，y)，由于P是MN中点，由中点坐标公式，得M(2x5，2y2)，代入x2(y1)210，化简得，即线段MN的中点P的轨迹方程为.感悟提升求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.训练3 (1)自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A.8x6y210 B.8x6y210C.6x8y210 D.6x8y210答案D解析由题意，得圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8y210.(2)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为_.答案x2y225解析设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则10，a2b2100，且代入a2b2100，得4x24y2100，即点M的轨迹方程为x2y225.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.经过坐标原点，且圆心坐标为(1，1)的圆的一般方程是()A.x2y22x2y0 B.x2y22x2y0C.x2y22x2y0 D.x2y22x2y0答案C解析设圆的方程为(x1)2(y1)2R2，经过坐标原点(0，0)，则R22.所以(x1)2(y1)22，即x2y22x2y0.2.(2023·重庆模拟)若点P(1，1)在圆C：x2y2xyk0的外部，则实数k的取值范围是()A.(2，) B.C. D.(2，2)答案C解析由题意得解得2k.3.已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，ABC为直角三角形，则圆C的方程为()A.(x1)2(y1)24B.(x)2(y)22C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y2)25答案C解析圆心在弦的中垂线上，可设C(1，m)，ABC为直角三角形，|AB|2，|AC|，m0，m1，圆心坐标为(1，1)，圆的半径为，圆C的方程为(x1)2(y1)22.4.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7答案A解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin14.5.(2022·太原期末)若k，方程x2y2(k1)x2kyk0不表示圆，则k的取值集合中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析方程x2y2(k1)x2kyk0表示圆的条件为(k1)2(2k)24k>0，即5k26k1>0，解得k>1或k<.又知该方程不表示圆，所以k的取值范围为.又因为k，所以满足条件的k，即k的取值集合为.6.(多选)若实数x，y满足x2y22x0，则()A.的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为答案CD解析由题意可得方程x2y22x0表示圆心坐标为(1，0)，半径r1的圆，则为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值，设过点(1，0)的直线为yk(x1)，即kxyk0，即求直线kxyk0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kxyk0的距离dr，即1，整理可得3k21，解得k±，所以.即的最大值为，最小值为.7.(多选)(2023·潍坊调研)已知ABC的三个顶点为A(1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于ABC的外接圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1，3)B.圆M的半径为C.圆M关于直线xy0对称D.点(2，3)在圆M内答案ABD解析设ABC的外接圆M的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得所以ABC的外接圆M的方程为x2y22x6y50，即(x1)2(y3)25.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，因为直线xy0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线xy0对称.因为(21)2(33)215，故点(2，3)在圆M内.8.已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.答案(2，4)5解析依据圆的方程特征，得a2a2，解得a1或2.当a1时，方程为x2y24x8y50，整理得(x2)2(y4)225，则圆心为(2，4)，半径是5；当a2时，4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，该方程不表示圆.9.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_.答案(x2)2(y3)213或(x2)2(y1)25或或(y1)2解析依题意设圆的方程为x2y2DxEyF0，其中D2E24F>0.若过(0，0)，(4，0)，(1，1)，则解得满足D2E24F>0，所以圆的方程为x2y24x6y0，即(x2)2(y3)213；若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则解得满足D2E24F>0，所以圆的方程为x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25；若过(0，0)，(1，1)，(4，2)，则解得满足D2E24F>0，所以圆的方程为x2y2xy0，即；若过(1，1)，(4，0)，(4，2)，则解得满足D2E24F>0，所以圆的方程为x2y2x2y0，即(y1)2.10.已知两点A(0，3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP的面积的最小值为_.答案解析求ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为1，即3x4y120，圆x2y22y0，即为x2(y1)21，圆心为(0，1)，半径为1，圆心到直线AB的距离为d，P到直线AB的最小值为1，|AB|5，ABP面积的最小值为×5×.11.已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点.(1)求m2n的最大值；(2)求的最大值和最小值.解(1)易知圆C：x2y24x14y450的圆心为(2，7)，半径r2，设m2nt，将m2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d2，解得162t162，所以m2n的最大值为162.(2)记点Q(2，3)，则表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有公共点，得2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.12.已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC1.又kAC，kBC，所以·1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0).法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0).(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0).【B级能力提升】13.(多选)已知圆C过点M(1，2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2，1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4答案ACD解析因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，2)，所以设圆心坐标为(a，a)(a0)，故圆心在直线yx上，A正确；圆C的方程为(xa)2(ya)2a2，把点M的坐标代入可得a26a50，解得a1或a5，则圆心坐标为(1，1)或(5，5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x1)2(y1)21，(x5)2(y5)225，将点(2，1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为4，D正确.14.(多选)设有一组圆Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命题正确的是()A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4答案ABD解析圆心坐标为(k，k)，在直线yx上，A正确；令(3k)2(0k)24，化简得2k26k50，364040，2k26k50无实数根， B正确；由(2k)2(2k)24，化简得k24k20，16880，有两个不相等实根，经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4，D正确.15.(2023·泰安模拟)已知直线l：3x4ym0，圆C：x2y24x20，则圆C的半径r_；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB90°，则实数m的取值范围是_.答案16，4解析圆的标准方程为(x2)2y22，圆心为C(2，0)，半径为r，若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得MPN90°，而当CPl时，MPN最大，只要此最大角90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d|CP|.所以，解得16m4.16.已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积.解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y).由题设知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，点P(2，2)适合圆N的方程，易知P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM××，故POM的面积为.