备战2023年高考数学二轮复习微专题小练习专练27.docx

专练27高考大题专练(二)解三角形的综合运用12021·全国新高考卷记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BD sin ABCa sin C.(1)证明：BD b；(2)若AD2DC，求cos ABC.22020·全国卷ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinB sin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值3.2020·新高考卷在ac，c sin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分42022·新高考卷，18记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若C，求B；(2)求的最小值5.2022·山东新高考质量测评联合调研监测在cos cos B，a sin Ac(sin Csin A)b sin B，tan Atan B这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中问题：在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b2，_(1)求角B；(2)求a2c的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分62022·河北石家庄模拟在cos C，a sin Cc cos ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答问题：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，D是边BC上一点，BD5，AD7，且_，试判断CD和BD的大小关系_注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2AsinB sin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C82022·全国乙卷(理)，17记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (AB)sin B sin (CA).(1)证明：2a2b2c2；(2)若a5，cos A，求ABC的周长专练27高考大题专练(二)解三角形的综合运用1解析：(1)由题设，BD，由正弦定理知：，即，BD，又b2ac，BDb，得证(2)由题意知：BDb，AD，DC，cos ADB，同理cos CDB，ADBCDB，整理得2a2c2，又b2ac，2a2，整理得6a411a2b23b40，解得或，由余弦定理知：cos ABC，当时，cos ABC>1不合题意；当时，cos ABC；综上，cos ABC.2解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2AC·AB.由余弦定理得BC2AC2AB22AC·AB cos A由得cos A.因为0<A<，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin (AB)3cos Bsin B.故BCACAB3sin B3cos B32sin .又0<B<，所以当B时，ABC周长取得最大值32.3解析：方案一：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c1.方案二：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由c sin A3，所以cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.方案三：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在4解析：(1)由已知条件，得sin 2Bsin A sin 2Bcos Acos A cos 2B.所以sin 2Bcos Acos A cos 2Bsin A sin 2Bcos Acos (A2B)cos (BC)cos (BC)2Bcos (BC)cos (BC)2cos B cos C，所以2sin B cos B2cos B cos C，即(sin Bcos C)cos B0.由已知条件，得1cos 2B0，则B，所以cos B0，所以sin Bcos C.又0B，所以B.(2)由(1)知sin Bcos C0，则BC，所以sin Asin (BC)sin (2C)cos 2C.由正弦定理，得4sin2C52545，当且仅当sin2C时，等号成立，所以的最小值为45.5解析：(1)选择：由coscos B，得cos Bsin Bcos B，即sin Bcos B，所以sin ，因为0<B<，所以<B<，故B，所以B.选择：由正弦定理，a sin Ac(sin Csin A)b sin B可化为a2c2b2ac，由余弦定理，得cos B，因为0<B<，所以B，选择：由正弦定理，得，又tan Atan B.由tan Atan B，得，因为sin C>0，所以tan B，因为0<B<，所以B.(2)在ABC中，由(1)及b2，4，故a4sin A，c4sin C，所以a2c4sin A8sin C4sin A8sin 4sin A4cos A4sin A8sin A4cos A4sin (A)，因为0<A<且为锐角，所以存在角A使得A，所以a2c的最大值为4.6解析：设ABx，在ABD中由余弦定理可得：49x2252·x·5·cos x2255x，即x25x240，解得x8.方案一选条件.由cos C得sin C，ABC，sin Asin (BC)××，在ABC中由正弦定理可得：，解得：BC10，CDBD5.方案二选条件.由正弦定理可得：a2R sin A，c2R sin C，代入条件a sin Cc cos 得：sin A sin Csin C·cos A sin Csin A sin C，sin A sin Ccos A sin C，因为A为三角形内角，所以tan A，故A，所以ABC为等边三角形，所以BC8，CD3，所以CD<BD.7解析：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2AsinB sin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0°<A<180°，所以A60°.(2)由(1)知B120°C，由题设及正弦定理得sin Asin (120°C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos (C60°).由于0°<C<120°，所以sin (C60°)，故sin Csin (C60°60°)sin (C60°)cos 60°cos (C60°)sin 60°.8解析：(1)证明：sin C sin (AB)sin B sin (CA)，sin C sin A cos Bsin C cos A sin Bsin B sin C cos Asin B cos C sin A，sin C sin A cos B2sin B sin C cos Asin B cos C sin A.由正弦定理，得ac cos B2bc cos Aab cos C.由余弦定理，得b2c2a2.整理，得2a2b2c2.(2)由(1)知2a2b2c2.又a5，b2c22a250.由余弦定理，得a2b2c22bc cos A，即2550bc，bc.bc9，abc14.故ABC的周长为14.