2024届高考数学(北师大版)一轮复习试题-第八章立体几何与空间向量课时规范练37 空间向量及其运算.docx
课时规范练37空间向量及其运算基础巩固组1.已知向量a=(1,-2,3),b=(2,-1,-4),则a·b=()A.-8B.-7C.-6D.-52.已知a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若ab,则实数t的值为()A.-5B.-6C.-4D.-33.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为PD的中点,若PA=a,PB=b,PC=c,则用基a,b,c表示向量BE为()A.12a-12b+12cB.12a-32b+12cC.12a-12b-12cD.12a-12b+32c4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.OM=OA-OB-OCB.OM=15OA+13OB+12OCC.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=05.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=()A.72B.52C.310D.636.已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是()A.若|a|=2,则m=2B.若ab,则m=-1C.不存在实数,使得a=bD.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)7.若向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则向量a,b的夹角为. 8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(x,1,1)在平面ABC内,则x=. 综合提升组9.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是()A.AB与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,55,0C.AB和BC夹角的余弦值是5511D.平面ABC的一个法向量是(1,2,5)10.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列正确的是()A.BM=12a-12b+cB.AC1=a+b+cC.AC1的长为5D.cos<AB,AC1>=-6311.已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为. 12.已知空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°.点G为ABC的重心,若PG=xPA+yPB+zPC,x,y,zR,则x+y+z=;|PG|=. 13.如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=m,其中0ma,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)求证:A1FC1E;(2)若A1,E,F,C1四点共面,求证:A1F=12A1C1+A1E.创新应用组14.已知向量a,b,c是空间向量的一组基,向量a+b,a-b,c是空间向量的另外一组基,若一向量p在基a,b,c下的坐标为(1,2,3),则向量p在基a+b,a-b,c下的坐标为()A.12,32,3B.32,-12,3C.3,-12,32D.-12,32,315.已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径,P为正四面体A-BCD表面上任意一点,则PM·PN的最小值为. 课时规范练37空间向量及其运算1.A解析:由已知可得a·b=1×2-2×(-1)+3×(-4)=-8.故选A.2.B解析:因为a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),且ab,所以存在实数,使得a=b,即(t,12,-3)=(2,t+2,1),所以t=2,12=(t+2),-3=,解得=-3,t=-6.故选B.3.B解析:连接BD,如图,因为E是PD的中点,所以BE=12(BP+BD)=12(-b+BA+BC)=-12b+12(PA-PB+PC-PB)=-12b+12(a+c-2b)=12a-32b+12c.故选B.4.C解析:M与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,对于A选项,由于1-1-1=-11,所以不能得出M,A,B,C共面;对于B选项,由于15+13+121,所以不能得出M,A,B,C共面;对于C选项,由于MA=-MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量,所以M,A,B,C共面;对于D选项,由OM+OA+OB+OC=0,得OM=-OA-OB-OC,而-1-1-1=-31,所以不能得出M,A,B,C共面.故选C.5.C解析:a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),a-2b=(8,-5,1),|a-2b|=82+(-5)2+12=310.故选C.6.C解析:对于A,由|a|=2,可得12+(-1)2+m2=2,解得m=±2,故A错误;对于B,由ab,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;对于C,若存在实数,使得a=b,则1=-2,-1=(m-1),m=2,显然无解,即不存在实数,使得a=b,故C正确;对于D,若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D错误.故选C.7.23解析:根据题意,设向量a,b的夹角为,向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则向量|a|=2,|b|=2,a·b=-1.则cos=-12×2=-12.又由0,则=23.8.-1解析:设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),又AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),所以n·AB=-x+y=0,n·AC=-x+z=0,取x=1,得n=(1,1,1),P(x,1,1)在平面ABC上,AP=(x-1,1,1).则n·AP=x-1+1+1=0,x=-1.9.B解析:对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),可知ABAC,则AB与AC不共线,故A错误;对于B,AB=(2,1,0),|AB|=5,AB|AB|=255,55,0,即与AB同向的单位向量是255,55,0,故B正确;对于C,BC=(-3,1,1),cos<AB,BC>=AB·BC|AB|BC|=-55×11=-5511,即AB和BC夹角的余弦值为-5511,故C错误;对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则n·AB=2x+y=0,n·BC=-3x+y+z=0,令x=1,则y=-2,z=5,即n=(1,-2,5),故平面ABC的一个法向量为(1,-2,5),故D错误.故选B.10.B解析:由空间向量的加法法则得AC1=a+b+c,故B正确;BM=BB1+B1M=BB1+12B1D1=AA1+12(B1A1+B1C1)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c,故A错误;由已知a·b=b·c=a·c=1×1×cos60°=12,|AC1|=|a+b+c|=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+1+1+1=6,故C错误;cos<AB,AC1>=AB·AC1|AB|AC1|=a2+a·b+a·c1×6=1+12+126=63,故D错误.故选B.11.(-,-2)-2,75解析:由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),所以(ka+b)·(2a-b)=3×(k-1)+2k-4<0,解得k<75.若ka+b与2a-b反向,则ka+b=(2a-b),<0,则k=2,1=-,所以k=-2.所以ka+b与2a-b的夹角为钝角,则k<75且k-2.综上,k的取值范围是(-,-2)-2,75.12.153解析:取AC的中点D,PG=PB+BG=PB+23BD=PB+23×(PD-PB)=PB+23×12(PA+PC)-PB=13PA+13PB+13PC.又PG=xPA+yPB+zPC,空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°,则x=13,y=13,z=13,故x+y+z=1.|PG|=13PA+13PB+13PC=13(PA+PB+PC)2=13PA2+PB2+PC2+2PA·PB+2PC·PB+2PA·PC=1312+22+32+2×1×2×12+2×3×2×12+2×1×3×12=53.13.证明(1)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),E(a,m,0),F(a-m,a,0),所以A1F=(-m,a,-a),C1E=(a,m-a,-a),所以A1F·C1E=-am+a(m-a)+a2=0,所以A1FC1E,即A1FC1E.(2)因为A1,E,F,C1四点共面,所以A1E,A1C1,A1F共面.选A1E与A1C1为平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(1,2),使A1F=1A1C1+2A1E,即(-m,a,-a)=1(-a,a,0)+2(0,m,-a)=(-a1,a1+m2,-a2),所以-m=-a1,a=a1+m2,-a=-a2,解得1=12,2=1.故A1F=12A1C1+A1E.14.B解析:设向量p在基a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基a+b,a-b,c下的坐标为32,-12,3.故选B.15.-8解析:设正四面体外接球球心为O,正四面体A-BCD的外接球半径为3,设正四面体A-BCD内切球半径为r,一个面的面积为S,高为h,则VA-BCD=4×13Sr=13Sh,所以h=4r,显然r+3=h=4r,所以r=1,即|PO|min=1.PM·PN=(PO+OM)·(PO+ON)=PO2+OM·ON=PO2-91-9=-8.
