2024年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第6讲导数的简单应用.docx

第6讲导数的简单应用考情分析1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题考点一导数的几何意义与计算核心提炼1导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)2导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同(3)切点既在切线上，又在曲线上例1(1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)lnx，则f(2)的值为()A.BC.D答案B解析f(x)x23xf(2)lnx，f(x)2x3f(2)，令x2，得f(2)43f(2)，解得f(2).(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_答案(e,1)解析设A(x0，ln x0)，又y，则曲线yln x在点A处的切线方程为yln x0(xx0)，将(e，1)代入得，1ln x0(ex0)，化简得ln x0，解得x0e，则点A的坐标是(e,1)易错提醒求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点跟踪演练1(1)直线2xy10与曲线yaexx相切，则a等于()AeB2eC1D2答案C解析设切点为(n，aenn)，因为yaex1，所以切线的斜率为aen1，切线方程为y(aenn)(aen1)(xn)，即y(aen1)xaen(1n)，依题意切线方程为y2x1，故解得a1，n0.(2)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()AysinxBylnxCyexDyx3答案A解析对函数ysinx求导，得ycosx，当x0时，该点处切线l1的斜率k11，当x时，该点处切线l2的斜率k21，所以k1·k21，所以l1l2；对函数ylnx求导，得y恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yex求导，得yex恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yx3求导，得y3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.考点二利用导数研究函数的单调性核心提炼利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况例2已知f(x)a(xlnx)，aR.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，当x(0,1)时，f(x)>0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)<0，f(x)单调递减，若a>0，f(x).(1)当0<a<2时，>1，当x(0,1)或x时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x时，f(x)<0，f(x)单调递减(2)当a2时，1，在x(0，)内，f(x)0，f(x)单调递增(3)当a>2时，0<<1，当x或x(1，)时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x时，f(x)<0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0<a<2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a2时，f(x)在(0，)内单调递增；当a>2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增易错提醒(1)在求单调区间时“定义域优先”(2)弄清参数对f(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏跟踪演练2(1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，对任意x(0，)，有f(x)sin x>f(x)cos x，且f(x)f(x)0，设a2f ，bf ，cf ，则()Aa<b<cBb<c<aCa<c<bDc<b<a答案A解析构造函数g(x)，xk，kZ，g(x)>0，所以函数g(x)在区间(0，)上是增函数，因为f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，g(x)，所以函数g(x)是偶函数，所以g<g<gg，代入解析式得到2f <f <f ，故a<b<c.(2)已知f(x)(x22ax)lnxx22ax在(0，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A1B1C(0,1 D1,0)答案B解析f(x)(x22ax)lnxx22ax，f(x)2(xa)lnx，f(x)在(0，)上是增函数，f(x)0在(0，)上恒成立，当x1时，f(x)0满足题意；当x>1时，lnx>0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立xa>1a，1a0，解得a1；当0<x<1时，lnx<0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立，xa<1a，1a0，解得a1.综上所述，a1.考点三利用导数研究函数的极值、最值核心提炼1由导函数的图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由yf(x)的图象可以看出yf(x)的函数值的正负，从而可得到函数yf(x)的单调性，可得极值点2求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值例3(1)若函数f(x)ex(m1)lnx2(m1)x1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为()A(e2，e) B.C.D(，e1)答案D解析由题可得f(x)ex2(m1)，x>0，因为函数f(x)ex(m1)lnx2(m1)x1恰有两个极值点，所以函数f(x)ex2(m1)(x>0)有两个不同的变号零点令ex2(m1)0，等价转化成m1(x>0)有两个不同的实数根，记h(x)，所以h(x)，当x时，h(x)>0，此时函数h(x)在此区间上单调递增，当x时，h(x)>0，此时函数h(x)在此区间上单调递增，当x(1，)时，h(x)<0，此时函数h(x)在此区间上单调递减，作出h(x)的简图如图，要使得m1有两个不同的实数根，则h(1)>m1，即e>m1，整理得m<1e.(2)已知函数f(x)axex(1lna)x(a>0，a1)，对任意x1，x20,1，不等式|f(x1)f(x2)|alnae4恒成立，则a的取值范围为()A.B2，eCe，) D(e，)答案C解析依题意，得alnae40, 因为f(x)axlnaex1lna(ax1)lnaex1，当a>1时，对任意的x0,1，ax10，lna>0，ex10，恒有f(x)0；当0<a<1时，对任意x0,1，ax10，lna<0，ex10，恒有f(x)0，所以f(x)在0,1上是增函数，则对任意的x1，x20,1，不等式|f(x1)f(x2)|alnae4恒成立，只需f(x)maxf(x)minalnae4，因为f(x)maxf(1)ae1lna，f(x)minf(0)112，所以ae1lna2alnae4，即alna1alna0，即(1a)(1lna)0，所以lna1，从而有ae，而当ae时，式显然成立故选C.易错提醒利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：(1)不能忽略函数f(x)的定义域(2)f(x0)0是可导函数在xx0处取得极值的必要不充分条件(3)函数的极小值不一定比极大值小(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到跟踪演练3(1)若x是函数f(x)lnxkx的极值点，则函数f(x)lnxkx有()A极小值2B极大值2C极小值1D极大值1答案B解析由题意得f(x)k，fek0，ke.由f(x)e0，得x，当x时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)<0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的极大值为f lne×2.(2)已知点M在圆C：x2y24y30上，点N在曲线y1lnx上，则线段MN的长度的最小值为_答案1解析由题可得C(0,2)，圆C的半径r1.设N(t,1lnt)(t>0)，令f(t)|CN|2，则f(t)t2(1lnt)2(t>0)，所以f(t)2t2(1lnt).令(t)t2lnt1(t>0)，易知函数(t)在(0，)上单调递增，且(1)0，所以当0<t<1时，f(t)<0；当t>1时，f(t)>0，所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(t)minf(1)2.因为|MN|CN|11，所以线段MN的长度的最小值为1.专题强化练一、单项选择题1(2020·全国)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x1答案B解析f(1)121，切点坐标为(1，1)，f(x)4x36x2，所以切线的斜率为kf(1)4×136×122，切线方程为y12(x1)，即y2x1.2若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是()A1,0B1，)C0,3D3，)答案D解析由条件知f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，函数y2x在上为减函数，y<2×3.a3.3已知函数f(x)满足f(x)f(1)·ex1f(0)xx2，则f(x)的单调递增区间为()A(，0) B(，1)C(1，) D(0，)答案D解析由题意得f(x)f(1)ex1f(0)x，令x1，则f(1)f(1)f(0)1，f(0)1，令x0，则f(0)f(1)e1，f(1)e，f(x)exxx2，f(x)ex1x，令g(x)ex1x，则g(x)ex1>0.g(x)为增函数，又g(0)0，当x>0时，g(x)>0，即f(x)>0，即f(x)在(0，)上单调递增4设函数f(x)定义在区间(0，)上，f(x)是函数f(x)的导函数，f(x)xlnxf(x)>0，则不等式>0的解集是()A.B(1，)C.D(0,1)答案B解析构造新函数g(x)lnxf(x)，则g(1)0，g(x)f(x)lnxf(x)因为f(x)xlnxf(x)>0，又x>0，所以f(x)lnxf(x)>0，所以g(x)>0，所以函数g(x)lnxf(x)在(0，)上单调递增而>0可化为lnxf(x)>0，等价于g(x)>g(1)，解得x>1，所以不等式>0的解集是(1，)5若对x1，x2(m，)，且x1<x2，都有<1，则m的最小值是()注：(e为自然对数的底数，即e2.71828)A.BeC1D.答案C解析由题意，当0m<x1<x2时，由<1，等价于x1lnx2x2lnx1<x2x1，即x1lnx2x1<x2lnx1x2，故x1(lnx21)<x2(lnx11)，故<，令f(x)，则f(x2)<f(x1)，又x2>x1>m0，故f(x)在(m，)上单调递减，又由f(x)，令f(x)<0，解得x>1，故f(x)在(1，)上单调递减，故m1.6已知直线l既是曲线C1：yex的切线，又是曲线C2：ye2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为()A2B1Ce2De2答案B解析设直线l与曲线C1：yex相切于点，与曲线C2：ye2x2相切于点，由yex，得，由ye2x2，得，直线l的方程为或ye2xe2x2(xx2)，则解得x1x22，直线l的方程为ye2e2(x2)，令y0，可得x1，直线l在x轴上的截距为1.二、多项选择题7(2020·唐山模拟)设函数f(x)，则下列说法正确的是()Af(x)的定义域是(0，)B当x(0,1)时，f(x)的图象位于x轴下方Cf(x)存在单调递增区间Df(x)有且仅有两个极值点答案BC解析由题意知，函数f(x)满足解得x>0且x1，所以f(x)的定义域为(0,1)(1，)，故A不正确；f(x)，当x(0,1)时，ex>0，lnx<0，所以f(x)<0，所以f(x)在(0,1)上的图象在x轴的下方，故B正确；因为f(x)，设g(x)lnx(x>0)，则g(x)，所以当x>0时，g(x)>0，函数g(x)单调递增，g(1)0<0，g(e2)2>0，所以f(x)>0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，故C正确；函数yf(x)只有一个零点x0，且x0>1，当x(0,1)(1，x0)时，f(x)<0，函数单调递减，当x(x0，)时，f(x)>0，函数单调递增，所以函数f(x)只有一个极小值点，故D不正确8已知f(x)ex2x2有且仅有两个极值点，分别为x1，x2(x1<x2)，则下列不等式中正确的有(参考数据：ln20.6931，ln31.0986)()Ax1x2<Bx1x2>Cf(x1)f(x2)<0Df(x1)f(x2)>0答案AD解析由题意得f(x)ex4x，则fff(2)e28<0.由ln31.0986，得>ln3，所以f>0，从而<x1<，2<x2<，所以x1x2<.因为f(0)1，所以易得f(x1)>1.因为f(2ln3)98ln3>0，所以x2<2ln3.因为f(x2)0，所以f(x2)4x22x.设g(x)4x2x2，得g(x2)>g(2ln3)>g(2.2)0.88>1，所以f(x1)f(x2)>0.三、填空题9已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于_答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意得g(x)0在(1,2)上恒成立，2x2a在(1,2)上恒成立，a2.a2.10已知函数f(x)ax有两个极值点，则实数a的取值范围是_答案解析设f(x)的导数为f(x)，因为函数f(x)ax有两个极值点，所以方程f(x)a0有两个不相等的实数根，令g(x)，则g(x)的图象与直线ya有两个不同交点，又g(x)，由g(x)0得x1，所以当x<1时，g(x)>0，即g(x)单调递增；当x>1时，g(x)<0，即g(x)单调递减所以g(x)maxg(1)，又g(0)0，当x>0时，g(x)>0，所以作出函数g(x)的简图如图所示，因为g(x)的图象与直线ya有两个不同交点，所以0<a<，即<a<0.11(2020·北京市第171中学模拟)已知函数f(x)e2x3，g(x)ln，若f(m)g(n)成立，则nm的最小值为_答案ln2解析设e2m3lnk(k>0)，则m，令h(k)nm，所以h(k)，h(k)在(0，)上为增函数，且h0，当k时，h(k)<0，当k时，h(k)>0，所以h(k)在上单调递减，在上单调递增，所以h(k)minhln2，即nm的最小值为ln2.12已知函数f(x)，m1，e，x1,2，g(m)f(x)maxf(x)min，则关于m的不等式g(m)的解集为_答案解析由f(x)，得f(x)，m1，e，x1,2，f(x)0，函数f(x)在区间1,2上单调递增，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)，g(m)f(x)maxf(x)min，令，得m，又m1，e，m.故不等式g(m)的解集为.四、解答题13设函数f(x)ax32x2xc(a>0)(1)当a1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)在(，)上无极值点，求a的取值范围解f(x)3ax24x1.(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)x32x2x1，f(x)3x24x1，由f(x)>0，解得x<或x>1；由f(x)<0，解得<x<1.所以函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减，所以函数f(x)的极小值是f(1)132×12111.(2)若f(x)在(，)上无极值点，则f(x)在(，)上是单调函数，即f(x)3ax24x10或f(x)3ax24x10恒成立由a>0，f(x)0恒成立的充要条件是(4)24×3a×10，即1612a0，解得a.显然，f(x)0不恒成立，综上，a的取值范围为.14已知函数f(x)lnxa2x2ax(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)lnxx2x，其定义域是(0，)，f(x)2x1.令f(x)0，即0，解得x或x1.x>0，x1.当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0.函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，即单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)方法一f(x)lnxa2x2ax，其定义域为(0，)，f(x)2a2xa.当a0时，f(x)>0，f(x)在区间(0，)上为增函数，不符合题意；当a>0时，f(x)<0(x>0)等价于(2ax1)(ax1)>0(x>0)，即x>.此时f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a1；当a<0时，f(x)<0(x>0)等价于(2ax1)(ax1)>0(x>0)，即x>.此时f(x)的单调递减区间为，解得a.综上所述，实数a的取值范围是1，)方法二f(x)lnxa2x2ax，x(0，)，f(x).由f(x)在(1，)上是减函数，可得g(x)2a2x2ax10在(1，)上恒成立当a0时，10，不符合题意；当a0时，可得即a1或a.实数a的取值范围是1，)