备战2023年高考数学二轮小题限时提速练(六).docx

提速练(六)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=(x,y)|y=2x-2,xy0,N=(x,y)|y=x2-5,则MN中的元素个数为(A)A.0B.1C.2D.1或2解析:联立方程组y=2x-2,y=x2-5,得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.当x=-1时,y=-4,此时xy>0,舍去;当x=3时,y=4,此时xy>0,舍去,所以MN为空集.故选A.2.若复数z满足(1+i)z=|1-i|,则z的虚部为(D)A.-2iB.-2 C.-22i D.-22解析:因为(1+i)z=|1-i|,所以z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=22-22i,故z的虚部为-22.故选D.3.已知直线l1:x+y+m=0,l2:x+m2y=0,则“l1l2”是“m=1”的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由题意,直线l1:x+y+m=0,直线l2:x+m2y=0,因为l1l2,可得m2=1,解得m=±1,所以“l1l2”是“m=1”的必要不充分条件.故选B.4.若cos(+4)=34,则sin 2=(B)A.18 B.-18C.38 D.-38解析:令x=+4,则=x-4,且cos x=34,则sin 2=sin2(x-4)=sin(2x-2)=-cos 2x=1-2cos2x=-18.故选B.5.若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2 ,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=(B)A.12 B.13 C.2D.3解析:化简(a-2b)·(a+3b)=a2+a·b-6b2=4-|b|-6|b|2=3,|b|=13或|b|=-12(舍去).故选B.6.已知正三棱锥PABC的高为2,侧棱与底面ABC成45°角,则点A到侧面PBC的距离为(D)A.3B.23 C.355 D.655解析:如图所示,设点P在底面ABC的射影为点O,则O为等边三角形ABC的中心,且PO=2,侧棱PA与底面ABC所成的角为PAO=45°,延长AO交BC于点M,则M为BC的中点,所以PO=AO=2,OM=12AO=1,所以PM=PO2+OM2=5.过点A在平面PAM内作ANPM,垂足为点N,因为PB=PC,M为BC的中点,则BCPM,同理可得BCAM.因为PMAM=M,所以BC平面PAM,因为AN平面PAM,所以ANBC.因为ANPM,PMBC=M,所以AN平面PBC,所以线段AN的长度即为点A到平面PBC的距离.由等面积法可得AM·PO=PM·AN,可得AN=AM·POPM=3×25=655.故选D.7.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-3,0),M(0,4),点P为双曲线右支上的动点,且MPF周长的最小值为14,则双曲线的离心率为(A)A.32 B.3 C.2D.233解析:因为F(-3,0),M(0,4),所以|MF|=5,因为MPF周长的最小值为14,所以|MF|+|MP|+|PF|的最小值为14,即|MP|+|PF|的最小值为14-5=9.如图所示,设右焦点为F2(3,0),则|PF|-|PF2|=2a,即|PF|=|PF2|+2a,则|MP|+|PF|=|MP|+|PF2|+2a|MF2|+2a,即M,P,F2三点共线时最小,此时|MF2|=|MF|=5,即最小值为5+2a=9,得2a=4,a=2,因为c=3,所以离心率e=ca=32.故选A.8.已知0<<2,0<<2,且3-2sin =9-,则(D)A.<2B.>2C.>2D.<2解析:设f(x)=x-sin x,x(0,2),则f(x)=1-cos x>0,即f(x)在(0,2)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0,故x>sin x,因为3-2sin =9-,所以3+=2sin +9=2sin +32<2+32,令g(x)=3x+x,所以g()<g(2),显然g(x)单调递增,所以<2.故选D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z的共轭复数为z,若iz=1+i,则(AC)A.z的实部是1B.z的虚部是-iC.z=1+i D.|z|=2解析:因为iz=1+i,所以z=1+ii=(1+i)ii2=1-i,所以z=1+i,|z|=12+(-1)2=2,z的实部为1,虚部为-1.故选AC.10.已知a=2ln2,b=e,c=3ln3(其中e为自然对数的底数),则a,b,c的大小关系为(AD)A.a>bB.b>cC.c=aD.c<a解析:令f(x)=xlnx,x(1,+),则f(x)=lnx-1(lnx)2,所以当x>e时f(x)>0,当1<x<e时f(x)<0,所以f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增,所以f(x)min=f(e)=eln e=e,所以a>b,c>b,又2ln2-3ln3=2ln3-3ln2ln2×ln3=ln 32-ln 23ln2×ln3=ln9-ln8ln2×ln3>0,所以a>c,所以a>c>b.故选AD.11.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,点M是侧面BB1C1C内的一个动点,且OM平面C1A1D,则以下关系一定正确的是(BD)A.OMDC1B.VM-C1A1D=VC-C1A1DC.OMB1CD.OMBD1解析:如图所示,因为B1CA1D,B1C平面C1A1D,A1D平面C1A1D,所以B1C平面C1A1D,AB1平面C1A1D,又B1CAB1=B1,所以平面ACB1平面C1A1D,因为OM平面C1A1D,所以MB1C,则OM与DC1不一定平行,故A错误;由已知,得直线CM平面C1A1D,所以点C与点M到平面C1A1D的距离必然相等,故VM-C1A1D=VC-C1A1D,故B正确;根据中位线可知,M可取BC1的中点,此时OMDC1,B1CA1D,因为A1D与DC1不垂直,所以OM与B1C不垂直,故C错误;根据正方体的性质易知,D1BAC,D1BB1C,又ACB1C=C,所以D1B平面ACB1,由已知得OM平面ACB1,所以OMBD1,故D正确.故选BD.12.设函数f(x)=x-ln|x|x,则下列选项正确的是(BCD)A.f(x)为奇函数B.函数y=f(x)-1有两个零点C.函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D.过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条解析:f(x)的定义域为x|x0,f(-x)=-x-ln|x|-x=x+ln|x|x±f(x),所以f(x)是非奇非偶函数,A选项错误.由y=f(x)-1=x-ln|x|x-1=-ln|x|x=0,解得x=±1,所以B选项正确.y=f(x)+f(2x)=x-ln|x|x+2x-ln|2x|2x,令g(x)=x-ln|x|x+2x-ln|2x|2x-2,g(x)的定义域为x|x0,g(-x)+g(x)=-x-ln|x|-x+-2x-ln|2x|-2x+x-ln|x|x+2x-ln|2x|2x-4=0,所以g(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称,C选项正确.设f(x)图象上一点(t,f(t),当x>0时,f(x)=1-lnxx,f(x)=lnx-1x2,则f(t)=1-lntt,f(t)=lnt-1t2,故过点(t,f(t)的切线方程为y-(1-lntt)=lnt-1t2(x-t),将点(0,0)代入上式得-(1-lntt)=lnt-1t2·(0-t),整理得2ln t-t-1=0,构造函数h(t)=2ln t-t-1(t>0),h(t)=2t-1=2-tt,h(t)在区间(0,2)上,h(t)>0,h(t)单调递增;在区间(2,+)上,h(t)<0,h(t)单调递减.h(2)=2ln 2-3=ln 4-ln e3<0,所以h(t)<0,即方程2ln t-t-1=0无解,所以当x>0时,不存在过原点的切线.当x<0时,f(x)=x-ln(-x)x=1-ln(-x)x,f(x)=-1-ln(-x)x2=ln(-x)-1x2,则f(t)=1-ln(-t)t,f(t)=ln(-t)-1t2,故过点(t,f(t)的切线方程为y-1-ln(-t)t=ln(-t)-1t2(x-t),将点(0,0)代入上式得0-1-ln(-t)t=ln(-t)-1t2(0-t),整理得2ln(-t)-1-t=0,构造函数m(t)=2ln(-t)-1-t(t<0),m(t)=2t-1=2-tt<0,所以在区间(-,0)上,m(t)单调递减,m(-1)=2ln 1-1-(-1)=0,所以m(t)有唯一零点t=-1,所以当x<0时,存在唯一一条过原点的切线,所以D选项正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a,b满足a=(4,0),b=(m,1),|a|=a·b,则a与b的夹角为.解析:由题意知,向量a=(4,0),b=(m,1).因为|a|=a·b,可得4m+0×1=4,解得m=1,即b=(1,1),可得|b|=2,所以cos<a,b>=a·b|a|b|=44×2=22,又因为<a,b>0,所以<a,b>=4.答案:414.曲线y=ln x-2x在x=1处的切线的倾斜角为,则sin+cossin-2cos=.解析:由已知f(x)=1x+2x2,所以tan =f(1)=3,sin+cossin-2cos=tan+1tan-2=3+13-2=4.答案:415.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的23(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为.解析:设沙漏上、下两个圆锥的底面半径为r,右侧圆锥形沙堆的高为h,题图中左侧圆锥形沙堆的体积V1=13(2r3)22h3=881r2h,右侧圆锥形沙堆的体积V2=13r2h,由V1=V2得h=827h.答案:82716.已知数列an满足a1=2,n2·an+1=2(n+1)2·an,Sn为数列an的前n项和,则Sn= .解析:由n2·an+1=2(n+1)2·an,得an+1(n+1)2=2×ann2,又a112=2,所以数列ann2是等比数列,公比为2,所以ann2=2×2n-1=2n,即an=n2·2n.Sn=1×2+22×22+32×23+n2×2n,×2得2Sn=1×22+22×23+(n-1)2×2n+n2×2n+1,由-得,-Sn=1×2+3×22+5×23+(2n-1)×2n-n2×2n+1,由×2得,-2Sn=1×22+3×23+5×24+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1-n2×2n+2,由-得,Sn=2+2×22+2×23+2×2n-(2n-1)×2n+1+n2×2n+1=2+8(1-2n-1)1-2-(2n-1)×2n+1+n2×2n+1=(n2-2n+3)×2n+1-6.答案:(n2-2n+3)·2n+1-6