2024年新高考数学大一轮复习专题三数列第4讲数列中的奇偶项问题.docx

第4讲数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列例已知数列an满足a11，a2，3(1)nan22an2(1)n10，nN*.(1)令bna2n1，判断bn是否为等差数列，并求数列bn的通项公式；(2)记数列an的前2n项和为T2n，求T2n.解(1)因为3(1)nan22an2(1)n10，所以3(1)2n1a2n12a2n12(1)2n110，即a2n1a2n12，又bna2n1，所以bn1bna2n1a2n12，所以bn是以b1a11为首项，2为公差的等差数列，所以bn1(n1)×22n1，nN*.(2)对于3(1)nan22an2(1)n10，当n为偶数时，可得(31)an22an2(11)0，即，所以a2，a4，a6，是以a2为首项，为公比的等比数列；当n为奇数时，可得(31)an22an2(11)0，即an2an2，所以a1，a3，a5，是以a11为首项，2为公差的等差数列，所以T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)n21，nN*.(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型数列中连续两项和或积的问题(anan1f(n)或an·an1f(n)；含有(1)n的类型；含有a2n，a2n1的类型；已知条件明确的奇偶项问题(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列an求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k1a2k看作一项，求出S2k，再求S2k1S2ka2k.1数列an的通项公式为an(1)n1·(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200B200C400D400答案B解析S100(4×13)(4×23)(4×33)(4×1003)4×(12)(34)(99100)4×(50)200.2已知数列an的前n项和Sn(1)n·n，若对任意的正整数n，使得(an1p)·(anp)<0恒成立，则实数p的取值范围是_答案(1,3)解析当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(1)nn(1)n1(n1)(1)n(2n1)因为对任意的正整数n，(an1p)(anp)<0恒成立，所以(1)n1(2n1)p(1)n(2n1)p<0.当n是正奇数时，化为p(2n1)p(2n1)<0，解得12n<p<2n1，因为对任意的正奇数n都成立，取n1时，可得1<p<3.当n是正偶数时，化为p(2n1)p(12n)<0，解得12n<p<2n1，因为对任意的正偶数n都成立，取n2时，可得5<p<3.联立解得1<p<3.所以实数p的取值范围是(1,3)3在数列an中，已知a11，an·an1n，记Sn为an的前n项和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列an的通项公式；(3)求Sn.解(1)因为an·an1n，所以an1·an2n1，所以，即an2an.因为bna2na2n1，所以，所以数列bn是公比为的等比数列因为a11，a1·a2，所以a2，b1a1a2，所以bn×n1，nN*.(2)由(1)可知an2an，所以a1，a3，a5，是以a11为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，为公比的等比数列，所以a2n1n1，a2nn，所以an(3)因为S2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3，又S2n1S2na2n33，