备战2023年高考数学二轮专题复习专题二 平面向量、三角函数与解三角形培优提能6 向量极化恒等式.docx
培优提能6向量极化恒等式1.极化恒等式:a·b=14(a+b)2-(a-b)2几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN,O是对角线交点.则:(1)PM·PN=14|PQ|2-|NM|2(平行四边形模式);(2)PM·PN=|PO|2-14|NM|2(三角形模式).典例(1)(2022·山东菏泽二模)已知半径为1的圆O上有三个动点A,B,C,且|AB|=2,则AC·BC的最小值为. (2)(2020·天津卷)如图,在四边形ABCD中,B=60°,AB=3,BC=6,且AD=BC,AD·AB=-32,则实数的值为;若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DM·DN的最小值为. (3)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,PM·PN的取值范围是.解析:(1)法一因为|AB|=2,又|OA|=|OB|=1,所以|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以AOB=2.以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则x2+y2=1.AC=(x-1,y),BC=(x,y-1),所以AC·BC=x(x-1)+y(y-1)=x2+y2-x-y=-x-y+1,设-x-y+1=t,即x+y+t-1=0,依题意直线x+y+t-1=0与圆有交点,所以|t-1|1+11,得1-2t1+2,所以AC·BC的最小值为1-2.法二(极化恒等式)如图,取AB的中点为D,连接CD,则AC·BC=CA·CB=|CD|2-14|BA|2=|CD|2-12|ED|2-12=(1-22)2-12=1-2.(2)法一(极化恒等式)依题意得ADBC,BAD=120°,由AD·AB=|AD|AB|·cos BAD=-32|AD|=-32,得|AD|=1,因此=|AD|BC|=16.取MN的中点E,连接DE(图略),则DM+DN=2DE,DM·DN=14(DM+DN)2-(DM-DN)2=|DE|2-14|NM|2=|DE|2-14.注意到线段MN在线段BC上运动时,DE的最小值等于点D到直线BC的距离,即AB·sin B=332,因此|DE|2-14的最小值为(332)2-14=132,即DM·DN的最小值为132.法二因为AD=BC,所以ADBC,则BAD=120°,所以AD·AB=|AD|AB|·cos 120°=-32,解得|AD|=1.因为AD,BC同向,且BC=6,所以AD=16BC,即=16.在四边形ABCD中,作AOBC于点O,则BO=AB·cos 60°=32,AO=AB·sin 60°=332.以O为坐标原点,以BC和AO所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.如图,设M(a,0),不妨设点N在点M右侧,则N(a+1,0),且-32a72.又D(1,332),所以DM=(a-1,-332),DN=(a,-332),所以DM·DN=a2-a+274=(a-12)2+132,所以当a=12时,DM·DN取得最小值132.(3)由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为23.当弦MN的长度最大时,MN为内切球的直径.设内切球的球心为O,则PM·PN=|PO|2-|ON|2=|PO|2-1,由于P为正方体表面上的动点,故|OP|1,3,所以PM·PN0,2.答案:(1)1-2(2)16132(3)0,2利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化,体现了向量的几何属性,特别适用于以三角形为载体,含有线段中点的向量问题.触类旁通(1)已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则(PA+PB)·PC的最小值为()A.-14B.-13C.-12D.-1(2)如图所示,正方形ABCD的边长为1,A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC·OB的最大值是. (3)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点.BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值为. 解析:(1)PA+PB=2PO,所以(PA+PB)·PC=2PO·PC,取OC的中点D(图略),由极化恒等式得,PO·PC=|PD|2-14|OC|2=|PD|2-14,又|PD|min2=0,所以(PA+PB)·PC的最小值为-12.故选C.(2)如图,取BC的中点M,AD的中点N,连接MN,ON,则OC·OB=|OM|2-14.因为OMON+NM=12AD+AB=32,当且仅当O,N,M三点共线时取等号,所以OC·OB的最大值为2.(3)设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.根据向量的极化恒等式,有AB·AC=|AD|2-|DB|2=9n2-m2=4,FB·FC=|FD|2-|DB|2=n2-m2=-1.联立解得n2=58,m2=138,因此EB·EC=|ED|2-|DB|2=4n2-m2=78,即BE·CE=78.答案:(1)C(2)2(3)78
