备战2023年高考数学二轮专题复习考点过关检测33__立体几何中的向量方法(2).docx
考点过关检测33_立体几何中的向量方法(2)12022·辽宁实验中学月考已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线AC、BD交于点O，OPOA4，OB3，OP底面ABCD，设点M满足(0<<1)(1)若三棱锥PMBD体积是，求的值；(2)若直线PA与平面MBD所成角的正弦值是，求的值22022·湖北武汉一中月考如图1，在平行四边形ABB1A1中，ABB160°，AB4，AA12，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1.(1)求证：AB1CC1；(2)若AB1，求二面角CAB1A1的余弦值3.2022·福建福清模拟如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，DCAB，PAADDC1，AB2，E为棱PB上一点(1)若E为棱PB的中点，求证：直线CE平面PAD；(2)若E为棱PB上存在异于P、B的一点，且二面角EACB的平面角的余弦值为，求直线AE与平面ABCD所成角的正弦值4.2022·山东广饶一中月考如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D平面CC1D1D，且CC1CDDD1C1D11.(1)证明：AD平面CC1D1D；(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为，求点D到平面AA1C的距离考点过关检测33立体几何中的向量方法(2) 参考答案1解析：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OAOB，因为OP底面ABCD，所以OPOA、OPOB，所以OA、OB、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设M(x，y，z)，(x，y，z4)，(4x，y，z)，因为(0<<1)，所以，于是，所以M，过M作MM1OC于M1，过M作MNOP于N，所以VPMBDVPBCDVMBCD·SBCD·(OPMM1)··BD·OC·PN·6·4·，解得.(2)由(1)知(4,0，4)，(0,3,0)，设平面MBD的一个法向量为m(u，v，w)，令u1，m(1,0，)，设直线PA与平面MBD所成的角为，所以sin ，解得或3(舍去)2解析：(1)证明：取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，在平行四边形ABB1A1中，ABB160°，AB4，AA12，C，C1分别为AB，A1B1的中点，ACC1，B1CC1为正三角形，则AOCC1，OB1C1C，又AOOB1O，C1C平面OAB1，AB1平面OAB1，AB1CC1；(2)ABB160°，AB4，AA12，C，C1分别为AB，A1B1的中点，AC2，OA，OB1，若AB1，则OA2OBAB，则三角形AOB1为直角三角形，则AOOB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，B1(0，0)，C1(1,0,0)，A(0,0，)，则(2,0,0)，则(2,0,0)，(0，)，(1,0，)，设平面AB1C的法向量为n(x，y，z)，则，即令z1，则y1，x，则n(，1,1)，设平面A1B1A的法向量为m(x，y，z)，则，令z1，则x0，y1，即m(0,1,1)，则cos m，n.由于二面角CAB1A1是钝二面角，二面角CAB1A1的余弦值是.3解析：(1)证明：取PA的中点F，连EF，DF，E为PB的中点，EFAB且EFAB，又CDAB，且CDAB，EFCD，所以四边形CDFE为平行四边形，CEDF，又CE平面PAD，DF平面PAD，故直线CE平面PAD.(2)以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在射线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)设E(x，y，z)，则(x，y，z1)，(0,2，1)E在棱PB上，可设(0<<1)故(x，y，z1)(0,2，1)，解得，即E(0,2，1)，易知平面ACB的法向量为u(0,0,1)，设平面ACE的法向量v(x2，y2，z2)，(0,2，1)，(1,1,0)，即，即.取x21，则y21，z2，故v.因为二面角EACB的平面角的余弦值为，所以|cosu，v|，即，即22212122，解得.E，.因为z轴平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)设AE与平面ABCD所成角为，则sin .故AE与平面ABCD所成角的正弦值为.4解析：(1)在梯形CC1D1D中，因为CC1CDDD1C1D11.所以DD1C1，连接DC1，由余弦定理可得DC1.DCDDD1C，DC1DD1平面AA1D1D平面CC1D1D且交于DD1，DC1平面CC1DD1，DC1平面AA1D1D，又AD平面AA1D1D，ADDC1.ADDC，DCDC1D，AD平面CC1D1D.(2)连接A1C1，由(1)可知：A1D1平面CC1D1D，以D1为原点，以、分别为x轴、y轴正半轴，过D1作垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：A1D1平面CC1D1D，A1CD1即为A1C与平面CC1D1D所成的角，A1CD.在RtA1CD1中，因为CD1，所以A1D13，则：D1(0,0,0)，A1(3,0,0)，D，C，C1(0,2,0)所以(3,2,0)，(0,1,0)设平面AA1C1C的一个法向量为n(x，y，z)，则，则，令x2得：n(2,3，)，故点D到平面AA1C的距离为：d，所以点D到平面AA1C的距离为.
