2024版高考数学一轮复习第三章函数与基本初等函数课时规范练13函数与方程.docx
课时规范练13基础巩固组1.函数f(x)=ex+2x-6的零点所在的区间是()A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)答案:C解析:函数f(x)=ex+2x-6是R上的连续增函数,因为f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,所以f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).2.利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:C解析:设f(x)=log3x-3+x,则f(x)在(0,+)单调递增.因为当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时,f(x)在区间(a,b)内有零点,即方程log3x=3-x在区间(a,b)内有解.因为f(2)=log32-3+2<0,f(3)=log33-3+3=1>0,故f(2)·f(3)<0,故方程log3x=3-x在区间(2,3)内有解,即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(2,3).3.(2023·江西南昌高三检测)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间(0,1)内零点的近似值,当要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为()A.5B.6C.7D.8答案:C解析:开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,所以经过n次操作后,区间长度变为12n.因为用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间(0,1)内零点的近似值,要求精确度为0.01,所以12n<0.01,解得n7,所需二分区间的次数最少为7.4.(2023·北京大兴模拟)已知a>0,若函数f(x)=x+a,xa,lnx+2,x>a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.0,1e2B.(0,1)C.1e2,+D.1,+)答案:A解析:由x+a=0,得x=-a<a,所以x=-a是函数f(x)的一个零点,由lnx+2=0,得x=1e2,要使f(x)有两个不同的零点,则a0,1e2.5.(2023·山东济南模拟)函数f(x)=1+sin x-xsin x在区间-52,92上的所有零点之和为()A.0B.3C.6D.12答案:C解析:函数f(x)=1+sinx-xsinx的零点就是函数y=sinx与y=1x-1的图象公共点的横坐标.如图,因为函数y=sinx与y=1x-1的图象均关于点(1,0)成中心对称,且函数y=sinx与y=1x-1的图象在区间-52,92上共有6个公共点,它们关于点(1,0)对称,所以函数f(x)=1+sinx-xsinx在区间-52,92上共有6个零点,它们的和为3×2=6.故选C.6.(2023·新疆第三次适应性检测)函数f(x)=x3+2,x0,x-3+ex,x>0的零点个数为. 答案:2解析:当x0时,令x3+2=0,解得x=3-2,3-2<0,此时有1个零点;当x>0时,f(x)=x-3+ex,显然f(x)单调递增,又f12=-52+e12<0,f(1)=-2+e>0,由零点存在定理知此时有1个零点.综上,函数f(x)共有2个零点.7.(2023·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=|lnx|,x>0,x2-4|x|+5,x0,若方程f(x)-a=0有4个不同的实数解,则实数a的取值范围为. 答案:(1,5解析:由题知方程f(x)-a=0有4个不同的实数解,即f(x)=a有4个不同的实数解.作出y=f(x)图象(如图所示),可知当直线y=a与曲线y=f(x)有4个公共点时,1<a5.8.(2023·河北衡水高三检测)已知函数f(x)=xex,x0,lgx,x>0,若关于x的方程f2(x)-(a-1)f(x)-a=0有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是. 答案:-1e,0解析:当x0时,f(x)=xex,则f'(x)=(x+1)·ex,令f'(x)<0x<-1,令f'(x)>0-1<x0,所以f(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,0上单调递增,且f(-1)=-1e,f(0)=0,当x-时,f(x)0,所以-1ef(x)0(x0).画出函数f(x)的大致图象,如图所示.由f2(x)-(a-1)f(x)-a=f(x)+1·f(x)-a=0,解得f(x)=-1或f(x)=a.因为f(x)=-1与图象有一个交点,所以方程f(x)=-1有一个实根,所以f(x)=a与图象应有三个不同的交点,即方程f(x)=a有三个不相等的实根,所以a-1e,0.综合提升组9.(2023·山东省实验中学高三检测)已知函数f(x)=lnx-1x,x>0,x2+2x,x0,则函数y=ff(x)+1的零点个数是()A.2B.3C.4D.5答案:D解析:令t=f(x)+1=lnx-1x+1,x>0,(x+1)2,x0.当t>0时,f(t)=lnt-1t,则函数f(t)在(0,+)上单调递增,由于f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12>0,由零点存在定理可知,存在t1(1,2),使得f(t1)=0;当t0时,f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.作出函数t=f(x)+1,直线t=t1,t=-2,t=0的图象,如图所示.由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.综上,函数y=ff(x)+1的零点个数为5.10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x-1,1时,f(x)=x2,函数g(x)=loga(x-1),x>1,2x,x1,若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5上恰有8个零点,则实数a的取值范围为()A.(2,4)B.(2,5)C.(1,5)D.(1,4)答案:A解析:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5上恰有8个零点,则函数f(x)与函数g(x)在区间-5,5上有8个交点.由f(x+2)=f(x)知f(x)是R上周期为2的函数,作函数f(x)与函数g(x)在区间-5,5上的图象,如图所示.由图象知,当x-5,1时,f(x)与g(x)的图象有5个交点,故f(x)与g(x)的图象在1,5上有3个交点即可,则a>1,loga(3-1)<1,loga(5-1)>1,解得2<a<4.11.(2022·山东潍坊一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且f(x+1)为偶函数,当0x1时,f(x)=x,若关于x的方程|f(x)|+f(|x|)=ax有4个不同实根,则实数a的取值范围是. 答案:-25,-2929,25解析:依题意,xR,f(-x)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.则当-1x0时,f(x)=-f(-x)=-x.又f(x+1)为偶函数,即f(-x+1)=f(x+1),即f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)=f(2-x).当1x2,即02-x1时,f(x)=2-x,当2x3,即-12-x0时,f(x)=-(2-x).因此,当x-1,3时,f(x)=-x,-1x<0,x,0x<1,2-x,1x<2,-x-2,2x3.显然有f(2+x)=f(-x)=-f(x)=-f(2-x)=f(x-2),于是得f(x)是周期为4的周期函数.当0x2时,0f(x)1,当2x4时,-1f(x)0.令g(x)=|f(x)|+f(|x|),则g(-x)=|f(-x)|+f(|-x|)=|-f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=g(x),函数g(x)是R上的偶函数,y=g(x)的图象关于y轴对称,讨论x0的情况,再由对称性可得x0的情况.当x0时,g(x)=|f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(x),则0x2时,g(x)=2f(x),当2x4时,g(x)=0,当x4k,4k+4,kN*时,函数y=g(x)的图象、性质与x0,4的图象、性质一致,关于x的方程|f(x)|+f(|x|)=ax有4个不同实根,即直线y=ax与y=g(x)的图象有4个公共点,当x0时,函数y=g(x)的部分图象如图所示.观察图象知,当直线y=ax过原点(0,0)及点(9,2),即a=29时,直线y=29x与y=g(x)的图象有5个公共点,当直线y=ax过原点(0,0)及点(5,2),即a=25时,直线y=25x与y=g(x)的图象有3个公共点,当直线y=29x绕原点逆时针旋转到直线y=25x时,旋转过程中的每个位置的直线y=ax(不含边界)与y=g(x)的图象总有4个公共点,于是得,当x0时,关于x的方程|f(x)|+f(|x|)=ax有4个不同实根,有29<a<25,由对称性知,当x0时,关于x的方程|f(x)|+f(|x|)=ax有4个不同实根,有-25<a<-29,所以实数a的取值范围是-25,-2929,25.创新应用组12.高斯是世界四大数学家之一,一生成就极为丰硕.对于高斯函数y=x,x表示不超过实数x的最大整数,如1.7=1,-1.2=-2,x表示x的非负纯小数,即x=x-x.若函数y=x-1+logax(a>0,且a1)有且仅有3个零点,则实数a的取值范围为()A.(3,4B.(3,4)C.3,4)D.3,4答案:C解析:函数y=x-1+logax有且仅有3个零点,即y=logax的图象与函数y=1-x=1+x-x=1-x,0<x<1,2-x,1x<2,3-x,2x<3,4-x,3x<4,的图象有且仅有3个交点.画出函数y=1-x的图象,易知当0<a<1时,y=logax与y=1-x的图象最多有1个交点,故a>1.作出函数y=logax的大致图象,结合题意可得loga31,loga4>1,解得3a<4.
